Informatyka MIMUW

Dotychczas wyznaczaliśmy ekstrema funkcji określonej w pewnym otwartym podzbiorze $\displaystyle U$ przestrzeni unormowanej $\displaystyle X$ (przy czym w praktycznych przykładach zajmowaliśmy się przykładami, gdy $\displaystyle X=\mathbb{R}^n$, $\displaystyle n=1,2,3,\dots$). Równie ważne z praktycznego punktu widzenia są także rozważania polegające na wyznaczaniu ekstremów funkcji $\displaystyle F:X\mapsto\mathbb{R}$ zacieśnionej do zbioru, który nie jest otwarty w $\displaystyle X$.

Przykład 9.16.

Wyznaczmy najmniejszą i największą wartość funkcji

$\displaystyle F(x,y,z)=x -2y +2z$
na sferze

$\displaystyle x^2+y^2+z^2=1.$

Sfera ta jest zbiorem domkniętym i ograniczonym, jest więc zwarta. Stąd na na mocy twierdzenia Weierstassa o osiąganiu kresów przez funkcję ciągłą wnioskujemy, że wielomian $\displaystyle F(x,y,z)=x -2y +2z$ osiąga na tej sferze zarówno wartość najmniejszą, jak i największą. Nasze dotychczasowe doświadczenie podpowiada nam, że zadanie można by sprowadzić do badania funkcji dwóch zmiennych np. poprzez odwikłanie zmiennej

$\displaystyle z(x,y)=\sqrt{1-x^2-y^2} \text{ lub } z(x,y)=-\sqrt{1-x^2-y^2}$

z równania sfery i zbadania funkcji dwóch zmiennych $\displaystyle (x,y)$ danych w kole $\displaystyle x^2+y^2 < 1$ wzorami:

$\displaystyle f_1: (x,y)\mapsto F\big(x,y,\sqrt{1-x^2-y^2}\big)=x-2y+2\sqrt{1-x^2-y^2},$

$\displaystyle f_2: (x,y)\mapsto F\big(x,y,-\sqrt{1-x^2-y^2}\big)=x-2y-2\sqrt{1-x^2-y^2}.$

Niezbyt skomplikowane (choć nieco żmudne rachunki) prowadzą do wyznaczenia ekstremów tych funkcji, a co za tym idzie: wartości ekstremalnych funkcji $\displaystyle F$ na danej sferze.

Podamy jednak pewną metodę, która pozwala wyznaczać ekstremum funkcji $\displaystyle F: X\mapsto \mathbb{R}$ zacieśnionej do poziomicy zerowej $\displaystyle \{G=0\}$ pewnej funkcji $\displaystyle G: X\mapsto Y$ również w przypadku, gdy odwikłanie zmiennej z równania $\displaystyle G=0$ nie jest tak proste jak w podanym przykładzie.

Sprecyzujmy jednak wpierw problem.

Niech $\displaystyle X, Y$ będą przestrzeniami Banacha i niech $\displaystyle G: X\mapsto Y$, $\displaystyle F:X\mapsto \mathbb{R}$ będą funkcjami.

Definicja 9.17.

Mówimy, że funkcja $\displaystyle F$ osiąga ekstremum warunkowe w punkcie $\displaystyle a$ przy warunku $\displaystyle a\in \{G=0\}$, jeśli zacieśnienie funkcji $\displaystyle F$ do poziomicy $\displaystyle \{G=0\}$ osiąga ekstremum w tym punkcie. Prawdziwe jest następujące twierdzenie, które stanowi podstawę metody mnożników Lagrange'a.

Niech $\displaystyle X, Y$ będą przestrzeniami Banacha.

Twierdzenie 9.18.

Niech $\displaystyle F: X\mapsto \mathbb{R}$, $\displaystyle G: X\mapsto Y$ będą funkcjami różniczkowalnymi w otoczeniu punktu regularnego $\displaystyle a$ poziomicy $\displaystyle \{G=0\}$ (co - przypomnijmy - oznacza, że różniczka $\displaystyle d_a G$ jest suriekcją przestrzeni $\displaystyle X$ na $\displaystyle Y$). Jeśli funkcja $\displaystyle F$ osiąga ekstremum warunkowe w punkcie regularnym $\displaystyle a$ poziomicy zerowej funkcji $\displaystyle G$, to istnieje funkcjonał liniowy i ciągły $\displaystyle \Lambda: Y\mapsto\mathbb{R}$ taki, że zachodzi równość $\displaystyle d_a F=\Lambda \circ d_a G$.

Prawdziwe jest również twierdzenie, które na podstawie określoności drugiej różniczki pozwala stwierdzić, czy funkcja $\displaystyle F$ osiąga minimum, czy maksimum warunkowe w punkcie $\displaystyle a\in\{G=0\}$.

Twierdzenie 9.19.

Niech $\displaystyle F: X\mapsto \mathbb{R}$, $\displaystyle G: X\mapsto Y$ będą funkcjami dwukrotnie różniczkowalnymi w otoczeniu punktu regularnego $\displaystyle a$ poziomicy $\displaystyle \{G=0\}$. Jeśli istnieje funkcjonał liniowy i ciągły $\displaystyle \Lambda: Y\mapsto\mathbb{R}$ taki, że zachodzi równość $\displaystyle d_a F=\Lambda \circ d_a G$ oraz forma kwadratowa

$\displaystyle X\ni h\mapsto\big(d^2_a F-\Lambda \circ d_a^2 G \big)(h,h)\in\mathbb{R}$

jest dodatnio określona (odpowiednio: ujemnie określona) na podprzestrzeni $\displaystyle X_1:=\{h\in X, d_aG(h)=0\}$ przestrzeni $\displaystyle X$, to funkcja $\displaystyle F$ osiąga w punkcie $\displaystyle a$ minimum (odpowiednio: maksimum) warunkowe.

Definicja 9.20.

Funkcjonał $\displaystyle \Lambda$, który występuje w wypowiedzi obu powyższych twierdzeń, nazywamy funkcjonałem Lagrange'a.

Dowody obu twierdzeń pomijamy (można je znaleźć np. w podręczniku Krzysztofa Maurina, Analiza. Część I. Elementy, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1977). Podamy jednak interpretację tego twierdzenia w kilku najczęściej spotykanych sytuacjach.

Uwaga 9.21.

Jeśli $\displaystyle f, g : \mathbb{R}^2\mapsto \mathbb{R}$ są funkcjami różniczkowalymi, problem znalezienia ekstremum warunkowego funkcji $\displaystyle f$ przy warunku $\displaystyle \{g=0\}$ sprowadza się do znalezienia punktu $\displaystyle a$ na poziomicy $\displaystyle \{g=0\}$ oraz stałej $\displaystyle \lambda$, która reprezentuje funkcjonał Lagrange'a. Jeśli bowiem ekstremum to jest realizowane, to - zgodnie z podanym twierdzeniem - istnieje funkcjonał liniowy $\displaystyle \Lambda : \mathbb{R}\mapsto \mathbb{R}$ dany wzorem $\displaystyle \Lambda (x)=\lambda x$ taki, że różniczka $\displaystyle d_a f=\lambda d_a g$, o ile punkt $\displaystyle a$ jest punktem regularnym poziomicy $\displaystyle \{g=0\}$. Przypomnijmy, że w przypadku, gdy $\displaystyle g: \mathbb{R}^2\mapsto \mathbb{R}$, punkt $\displaystyle a$ jest regularny, jeśli rząd różniczki

$\displaystyle d_a g=\frac{\partial g(a)}{\partial x}dx+\frac{\partial g(a)}{\partial y}dy$

wynosi 1. Wystarczy więc sprawdzić, czy w punkcie $\displaystyle a$ różniczka $\displaystyle d_a g\neq 0$, czyli czy którakolwiek pochodna cząstkowa $\displaystyle \frac{\partial g(a)}{\partial x}$ lub $\displaystyle \frac{\partial g(a)}{\partial y}$ jest różna od zera. Zagadnienie sprowadza się do znalezienia punktów, w których zeruje się różniczka funkcji pomocniczej

$\displaystyle \Phi(x,y): =f(x,y)-\lambda g(x,y),$

gdzie stałą $\displaystyle \lambda$ (nazywaną tradycyjnie mnożnikiem Lagrange'a) wyznaczamy z układu równań

$\displaystyle \left\{\begin{align*} d_{(x,y)}\Phi=0 \\ g(x,y)=0\end{align*} \right. \text{ czyli } \left\{\begin{align*} & \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}=\lambda \frac{\partial g}{\partial x} \\ & \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}=\lambda \frac{\partial g}{\partial y} \\ & \displaystyle (x,y)=0.\end{align*} \right.$

Uwaga 9.22.

Jeśli $\displaystyle f, g : \mathbb{R}^3\mapsto \mathbb{R}$ są funkcjami różniczkowalnymi, problem znalezienia ekstremum warunkowego funkcji $\displaystyle f$ przy warunku $\displaystyle \{g=0\}$ sprowadza się do znalezienia - podobnie jak w poprzednim przypadku - punktu $\displaystyle a$ na poziomicy $\displaystyle \{g=0\}$ oraz stałej $\displaystyle \lambda$, która reprezentuje funkcjonał Lagrange'a. Jeśli bowiem ekstremum to jest realizowane to - zgodnie z podanym twierdzeniem - istnieje funkcjonał liniowy $\displaystyle \Lambda : \mathbb{R}\mapsto \mathbb{R}$ dany wzorem $\displaystyle \Lambda (x)=\lambda x$, taki, że różniczka $\displaystyle d_a f=\lambda d_a g$, o ile punkt $\displaystyle a$ jest punktem regularnym poziomicy $\displaystyle \{g=0\}$. Przypomnijmy, że w przypadku, gdy $\displaystyle g: \mathbb{R}^3\mapsto \mathbb{R}$ punkt $\displaystyle a$ jest regularny, jeśli rząd $\displaystyle d_a g$ (odwzorowania liniowego z $\displaystyle \mathbb{R}^3$ do $\displaystyle \mathbb{R}$) jest maksymalny, czyli wynosi $\displaystyle 1$. Wystarczy więc sprawdzić, czy w punkcie $\displaystyle a$ różniczka

$\displaystyle d_a g=\frac{\partial g(a)}{\partial x}dx+\frac{\partial g(a)}{\partial y}dy+\frac{\partial g(a)}{\partial z}dz$
nie zeruje się, czyli czy któraś z pochodnych cząstkowych $\displaystyle \frac{\partial g(a)}{\partial x}$, $\displaystyle \frac{\partial g(a)}{\partial y}$, $\displaystyle \frac{\partial g(a)}{\partial z}$ jest różna od zera. Zagadnienie można sprowadzić do znalezienia punktów, w których zeruje się różniczka funkcji pomocniczej

$\displaystyle \Phi(x,y,z): =f(x,y,z)-\lambda g(x,y,z),$

gdzie stałą $\displaystyle \lambda$ wyznaczamy z układu równań

$\displaystyle \left\{\begin{align*} d_{(x,y,z)}\Phi=0 \\ g(x,y,z)=0\end{align*} \right. \text{ czyli } \left\{\begin{align*} & \displaystyle\frac{\partial f}{\partial x}=\lambda \frac{\partial g}{\partial x} \\ & \displaystyle\frac{\partial f}{\partial y}=\lambda \frac{\partial g}{\partial y} \\ & \displaystyle\frac{\partial f}{\partial z}=\lambda \frac{\partial g}{\partial z} \\ & \displaystyle (x,y,z)=0.\end{align*} \right.$

Przykład 9.23.

Powróćmy do zadania polegającego na wyznaczeniu najmniejszej i największej wartości funkcji $\displaystyle f(x,y,z)=x -2y +2z$ na sferze $\displaystyle x^2+y^2+z^2=1$. Rozwiążemy je metodą mnożników Lagrange'a opisaną w poprzednich uwagach. Dana sfera jest poziomicą zerową funkcji $\displaystyle g(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-1$. Wykazaliśmy już, że każdy punkt sfery jest regularny. Niech $\displaystyle \Phi(x,y,z)=f(x,y,z)-\lambda g(x,y,z)$. Rozwiązujemy układ równań

$\displaystyle \left\{\begin{align*} & \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}=\lambda \frac{\partial g}{\partial x} \\ & \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}=\lambda \frac{\partial g}{\partial y} \\ & \displaystyle \frac{\partial f}{\partial z}=\lambda \frac{\partial g}{\partial z} \\ & \displaystyle g(x,y,z)=0\end{align*}\right . \text{ czyli } \left\{\begin{align*} & \displaystyle 1=2\lambda x \\ & \displaystyle-2=2\lambda y \\ & \displaystyle 2=2\lambda z \\ & \displaystyle x^2+y^2+z^2=1. \end{align*} \right.$

Układ ten spełniają liczby

$\displaystyle x=-\frac{1}{3},y=\frac{2}{3}, z=-\frac{2}{3}, \lambda=-\frac{3}{2}$

oraz

$\displaystyle x=\frac{1}{3}, y=-\frac{2}{3}, z=\frac{2}{3}, \lambda=\frac{3}{2}.$

Ponieważ sfera jest zbiorem zwartym, wystarczy wyznaczyć wartości funkcji w obu punktach i porównać je, gdyż zgodnie z twierdzeniem Weierstrassa o osiąganiu kresów przez funkcję ciągłą na zbiorze zwartym, w jednym z tych dwóch punktów funkcja $\displaystyle f$ musi osiągać kres dolny, a w drugim kres górny wartości na sferze $\displaystyle \{g=0\}$. Mamy

$\displaystyle f\big(-\frac{1}{3}, \frac{2}{3}, -\frac{2}{3} \big)=-3, \ \ f\big(\frac{1}{3}, -\frac{2}{3}, \frac{2}{3} \big)=3,$

czyli $\displaystyle f$ osiąga w pierwszym z tych punktów wartość najmniejszą równą $\displaystyle -3$, a w drugim punkcie - wartość największą na sferze równą $\displaystyle 3$.

Uwaga 9.24.

Jeśli funkcja $\displaystyle F: \mathbb{R}^3\mapsto \mathbb{R}$, zaś $\displaystyle G:\mathbb{R}^3\mapsto \mathbb{R}^2$, zagadnienie znalezienia ekstremów warunkowych funkcji $\displaystyle F$ przy warunku $\displaystyle \{G=0\}$ sprowadza się do znalezienia punktów zbioru $\displaystyle \{G=0\}$, w których zeruje się różniczka funkcji $\displaystyle \Phi(x,y,z):=F(x,y,z)-\Lambda \circ G(x,y,z)$. Funkcjonał Lagrange'a $\displaystyle \Lambda$ w tym przypadku jest odwzorowaniem liniowym z $\displaystyle \mathbb{R}^2\mapsto \mathbb{R}$, jest więc reprezentowany przez macierz złożoną z dwóch liczb: $\displaystyle \lambda_1$, $\displaystyle \lambda_2$. Funkcja $\displaystyle G=(g_1, g_2)$ jest zestawieniem dwóch funkcji $\displaystyle g_1, g_2$ o wartościach rzeczywistych, stąd

$\displaystyle \Phi(x,y,z)=F(x,y,z)-\Lambda G(x,y,z)=F(x,y,z)-\lambda_1 g_1 (x,y,z)-\lambda_2 g_2 (x,y,z).$

Metoda mnożników Lagrange'a sprowadza się więc do znalezienia rozwiązań układu równań

$\displaystyle \left\{\begin{align*} d_{(x,y,z)}\Phi=0 \\ G(x,y,z)=0\end{align*} \right. \text{ czyli } \left\{\begin{align*} & \displaystyle\frac{\partial F}{\partial x}=\lambda_1 \frac{\partial g_1}{\partial x}+\lambda_2 \frac{\partial g_2}{\partial x} \\ & \displaystyle\frac{\partial F}{\partial y}=\lambda_1 \frac{\partial g_1}{\partial y}+\lambda_2 \frac{\partial g_2}{\partial y} \\ & \displaystyle\frac{\partial F}{\partial z}=\lambda_1 \frac{\partial g_1}{\partial z} +\lambda_2 \frac{\partial g_2}{\partial z} \\ & \displaystyle g_1(x,y,z)=0 \\ & \displaystyle g_2(x,y,z)=0\end{align*} \right.$

w punktach regularnych poziomicy $\displaystyle \{G=0\}$, czyli tych, w których rząd różniczki $\displaystyle d_{(x,y,z)}G$ jest maksymalny (tj. równy $\displaystyle 2$, gdyż różniczka $\displaystyle d_{(x,y,z)}G$ jest odwzorowaniem liniowym z $\displaystyle \mathbb{R}^3$ do $\displaystyle \mathbb{R}^2$). Zwróćmy uwagę, że funkcja $\displaystyle F$ może osiągać ekstremum w punktach, które należą do poziomicy $\displaystyle \{G=0\}$ a nie są regularne. Metoda mnożników Lagrange'a nie rozstrzyga w tym przypadku o istnieniu ekstremum.

Przykład 9.25.

Wyznaczmy najmniejszą i największą wartość funkcji

$\displaystyle F(x,y,z)=x-y-2z$

na przecięciu się dwóch walców

$\displaystyle x^2+z^2=1, \ \ y^2+z^2=1.$

Zauważmy, że każdy z walców z osobna nie jest zbiorem zwartym, gdyż nie jest ograniczony, lecz ich przecięcie jest zbiorem zwartym (gdyż jest zbiorem domkniętym i ograniczonym, zawartym między innymi w sześcianie $\displaystyle [-1,1]\times [-1,1]\times [-1,1]$). Podany warunek można opisać za pomocą poziomicy zerowej funkcji $\displaystyle G(x,y,z)=(x^2+z^2-1, y^2+z^2-1)$. Zbadaliśmy już, że spośród punktów poziomicy $\displaystyle \{G=0\}$ tylko dwa nie są regularne: $\displaystyle (0,0, 1)$ oraz $\displaystyle (0,0,-1)$. Poza tymi dwoma punktami możemy zastosować metodę mnożników Lagrange'a, która sprowadza się do wyznaczenia rozwiązań układu równań:

$\displaystyle \left\{\begin{align*} & \displaystyle \frac{\partial F}{\partial x}=\lambda_1 \frac{\partial g_1}{\partial x}+\lambda_2 \frac{\partial g_2}{\partial x} \\ & \displaystyle \frac{\partial F}{\partial y}=\lambda_1 \frac{\partial g_1}{\partial y}+\lambda_2 \frac{\partial g_2}{\partial y} \\ & \displaystyle \frac{\partial f}{\partial z}=\lambda_1 \frac{\partial g_1}{\partial z} +\lambda_2 \frac{\partial g_2}{\partial z} \\ & \displaystyle g_1(x,y,z)=0 \\ & \displaystyle g_2(x,y,z)=0\end{align*} \right. \text{ czyli } \left\{\begin{align*} & \displaystyle 1=2\lambda_1 x \\ & \displaystyle -1=2\lambda_2 y \\ & \displaystyle-2=2(\lambda_1+\lambda_2)z \\ & \displaystyle x^2+z^2-1=0 \\ & \displaystyle y^2+z^2-1=0. \end{align*}\right.$

Układ ten ma dwa rozwiązania

$\displaystyle -x=y=z=\frac{\sqrt{2}}{2}, \text{ przy czym } \lambda_1=\lambda_2=-\frac{\sqrt{2}}{2}$

oraz

$\displaystyle x=-y=-z=\frac{\sqrt{2}}{2}, \text{ przy czym } \lambda_1=\lambda_2=\frac{\sqrt{2}}{2}.$

Wartość funkcji $\displaystyle F$ w tych punktach wynosi

$\displaystyle F\big(-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\big)=-2\sqrt{2} \text{ oraz } F\big(\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2}\big)=2\sqrt{2}.$

W obu punktach nieregularnych poziomicy $\displaystyle \{G=0\}$ mamy

$\displaystyle F(0,0,-1)=2 \text{ oraz } F(0,0,1)=-2.$

Po porównaniu tych wartości: $\displaystyle -2\sqrt{2} < -2 < 2 < 2\sqrt{2}$ stwierdzamy, że największą wartość na na poziomicy $\displaystyle \{G=0\}$ równą $\displaystyle 2\sqrt{2}$ funkcja $\displaystyle F$ osiąga w punkcie $\displaystyle (\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2})$, a najmniejszą, równą $\displaystyle -2\sqrt{2}$, w punkcie $\displaystyle (-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}).$