Informatyka MIMUW

Niech $\displaystyle X=\mathbb{R}^n, Y=\mathbb{R}$ i niech

$\displaystyle F: X\times \mathbb{R}\ni (x_1, x_2,\dots, x_n, y)\mapsto F(x_1, x_2, \dots, x_n, y)\in \mathbb{R}$

będzie funkcją określoną w pewnym zbiorze otwartym $\displaystyle U\subset X\times \mathbb{R}$.

Zauważmy, że do wyznaczenia różniczki funkcji $\displaystyle f$ uwikłanej równaniem $\displaystyle F(x, f(x))=0$ nie potrzebujemy znać jawnej postaci funkcji $\displaystyle f$. Co więcej, potrafimy wyznaczyć punkty, w których funkcja $\displaystyle f$ może osiągać ekstrema, korzystając ze znanego warunku koniecznego istnienia ekstremum.

Twierdzenie 9.13.[warunek konieczny istnienia ekstremum funkcji uwikłanej]

Jeśli funkcja $\displaystyle f$ uwikłana równaniem $\displaystyle F(x,f(x))=0$ osiąga ekstremum w pewnym punkcie $\displaystyle a\in X$ takim, że pochodna cząstkowa $\displaystyle \frac{\partial F}{\partial y}(a, f(a))\neq 0$, to w punkcie $\displaystyle (a, f(a))$ zerują się pochodne cząstkowe funkcji $\displaystyle F$ po zmiennych $\displaystyle x_1, x_2, \dots, x_n$, tzn.

$\displaystyle \displaystyle \in\{1,2,\dots, n\} \ \ \frac{\partial F}{\partial x_i}(a,f(a))=0.$

Dowód

Warunek ten jest konsekwencją wzoru na różniczkę funkcji $\displaystyle f$, który stanowi tezę twierdzenia o funkcji uwikłanej. Ponieważ zachodzi równość

$\displaystyle \displaystyle d_x f=-(d_{(x,y)}F_{|Y})^{-1}_{(x,y)}F_{|X},$

to wobec izomorficzności $\displaystyle d_{(x,y)}F_{|Y}$ która w tym przypadku jest równoważna stwierdzeniu, że $\displaystyle \frac{\partial F}{\partial y}(x, y)\neq 0$) różniczka $\displaystyle d_a f$ zeruje się wtedy i tylko wtedy, gdy $\displaystyle d_{(a,f(a))}F_{|X}=0$. Warunek ten jest z kolei równoważny zerowaniu się w punkcie $\displaystyle (a, f(a))$ pochodnych cząstkowych funkcji $\displaystyle F$ po zmiennych $\displaystyle x_1, x_2, \dots, x_n$, czyli

$\displaystyle \left\{\begin{align*} & \frac{\partial F}{\partial x_1}(a, f(a))=0 \\ & \frac{\partial F}{\partial x_2}(a, f(a))=0 \\ & \vdots \\ & \frac{\partial F}{\partial x_n}(a, f(a))=0.\end{align*} \right.$

Wyznaczymy również drugą różniczkę funkcji uwikłanej $\displaystyle f$, aby z jej określoności wywnioskować, czy funkcja $\displaystyle f$ osiąga maksimum, minimum, czy też w ogóle nie osiąga ekstremum w punktach, które spełniają warunek konieczny istnienia ekstremum.

Rozważmy dwa najczęściej spotykane przypadki:

Przypadek I. Niech $\displaystyle F:\mathbb{R}^2\mapsto \mathbb{R}$ będzie funkcją dwukrotnie różniczkowalną. Rozważmy funkcję $\displaystyle f$ uwikłaną równaniem $\displaystyle F(x, f(x))=0$. Różniczkując tę równość po zmiennej $\displaystyle x$, otrzymamy (na podstawie twierdzenia o różniczkowaniu złożenia) równość

$\displaystyle 0=\frac{\partial F}{\partial x}+\frac{\partial F}{\partial y}f'.$

Różniczkując względem zmiennej $\displaystyle x$ powtórnie obie strony powyższej nierówności, otrzymamy

$\displaystyle \begin{align*} 0=\frac{d}{dx}\bigg(\frac{\partial F}{\partial x}+\frac{\partial F}{\partial y}f'\bigg) & =\frac{d}{dx}\bigg(\frac{\partial F}{\partial x}\bigg)+\frac{d}{dx}\bigg(\frac{\partial F}{\partial y}f'\bigg) \\ & = \frac{d}{dx}\bigg(\frac{\partial F}{\partial x}\bigg)+\frac{d}{dx}\bigg(\frac{\partial F}{\partial y}\bigg)f'+\frac{\partial F}{\partial y}f'' \\ & =\frac{\partial^2 F}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 F}{\partial y\partial x}f'+\bigg(\frac{\partial^2 F}{\partial x\partial y}+\frac{\partial^2 F}{\partial y^2}f'\bigg)f'+\frac{\partial F}{\partial y}f''.\end{align*}$

Otrzymane wyrażenie znacznie upraszcza się w punkcie $\displaystyle x_0$, w którym $\displaystyle f'(x_0)=0$. Otrzymamy wówczas równość

$\displaystyle 0=\frac{\partial^2 F}{\partial x^2}(x_0, y_0)+\frac{\partial F}{\partial y}(x_0, y_0)f''(x_0),$

z której - wobec założenia, że $\displaystyle \frac{\partial F}{\partial y}(x_0, y_0)\neq 0$ - otrzymamy

$\displaystyle f''(x_0)=-\left(\frac{\partial F}{\partial y}(x_0, y_0)\right)^{-1}\frac{\partial^2 F}{\partial x^2}(x_0, y_0),$

gdzie $\displaystyle y_0=f(x_0)$.

Przypadek II. Niech $\displaystyle f:\mathbb{R}^2\mapsto \mathbb{R}$ będzie funkcją uwikłaną równaniem $\displaystyle F(x,y, f(x,y))=0$, gdzie $\displaystyle F:\mathbb{R}^3\mapsto \mathbb{R}$ jest funkcją dwukrotnie różniczkowalną. Wówczas w punktach poziomicy $\displaystyle \{F=0\}$ otrzymamy równości zawierające pochodne cząstkowe $\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}$ oraz $\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}$:

$\displaystyle 0=\frac{\partial F}{\partial x}+\frac{\partial F}{\partial z}\frac{\partial f}{\partial x}$

$\displaystyle 0=\frac{\partial F}{\partial y}+\frac{\partial F}{\partial z}\frac{\partial f}{\partial y}.$

Policzymy pochodną cząstkową $\displaystyle \frac{\partial }{\partial x}$ po zmiennej $\displaystyle x$ obu stron pierwszej z tych równości. Ze wzorów na pochodną złożenia funkcji wyznaczymy wpierw:

$\displaystyle \frac{\partial }{\partial x}\bigg(\frac{\partial F}{\partial x}\bigg)=\frac{\partial^2 F}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 F}{\partial z\partial x}\frac{\partial f }{\partial x}$

oraz

$\displaystyle \frac{\partial }{\partial x}\bigg(\frac{\partial F}{\partial z}\bigg)=\frac{\partial^2 F}{\partial x\partial z}+\frac{\partial^2 F}{\partial z^2}\frac{\partial f}{\partial x}.$

Wobec tego

$\displaystyle \begin{align*} 0=\frac{\partial }{\partial x}\bigg(\frac{\partial F}{\partial x}+\frac{\partial F}{\partial z}\frac{\partial f}{\partial x} \bigg) & =\frac{\partial }{\partial x}\bigg(\frac{\partial F}{\partial x}\bigg)+\frac{\partial }{\partial x}\bigg(\frac{\partial F}{\partial z}\frac{\partial f}{\partial x}\bigg) \\ & =\frac{\partial }{\partial x}\bigg(\frac{\partial F}{\partial x}\bigg)+\frac{\partial }{\partial x}\bigg(\frac{\partial F}{\partial z}\bigg)\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial F}{\partial z}\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} \\ & =\frac{\partial^2 F}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 F}{\partial z\partial x}\frac{\partial f}{\partial x}+\bigg(\frac{\partial^2 F}{\partial x\partial z}+\frac{\partial^2 F}{\partial z^2}\frac{\partial f}{\partial x} \bigg)\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial F}{\partial z}\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}.\end{align*}$

W punkcie $\displaystyle (x_0, y_0)$, w którym zeruje się różniczka funkcji uwikłanej, mamy $\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0)=0$, $\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0)=0$, a powyższy wzór upraszcza się i przyjmuje postać:

$\displaystyle 0=\frac{\partial ^2 F}{\partial x^2}(x_0, y_0, z_0)+\frac{\partial F}{\partial z}(x_0, y_0, z_0)\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x_0, y_0),$

gdzie $\displaystyle z_0=f(x_0, y_0)$. W podobny sposób dostajemy równości zawierające pozostałe pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji uwikłanej $\displaystyle f$, które przy założeniu zerowania się różniczki funkcji uwikłanej w punkcie $\displaystyle (x_0, y_0)$ przyjmują postać:

$\displaystyle 0=\frac{\partial ^2 F}{\partial x\partial y}(x_0, y_0, z_0)+\frac{\partial F}{\partial z}(x_0, y_0, z_0)\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}(x_0, y_0),$

$\displaystyle 0=\frac{\partial ^2 F}{\partial y\partial x}(x_0, y_0, z_0)+\frac{\partial F}{\partial z}(x_0, y_0, z_0)\frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}(x_0, y_0),$

$\displaystyle 0=\frac{\partial ^2 F}{\partial y^2}(x_0, y_0, z_0)+\frac{\partial F}{\partial z}(x_0, y_0, z_0)\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(x_0, y_0).$

Stąd - wobec założenia, że $\displaystyle \frac{\partial F}{\partial z}(x_0, y_0, z_0)\neq 0$ - otrzymujemy:

$\displaystyle \left [\begin{align*} & \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x_0, y_0) & \ & \frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}(x_0, y_0) \\ & \frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}(x_0, y_0) \ & \ & \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(x_0, y_0)\end{align*}\right]=-\left(\frac{\partial F}{\partial z}(x_0, y_0, z_0)\right)^{-1} \left[\begin{align*} & \frac{\partial^2 F}{\partial x^2}(x_0, y_0, z_0) & \ & \frac{\partial^2 F}{\partial x\partial y}(x_0, y_0, z_0) \\ & \frac{\partial^2 F}{\partial y\partial x}(x_0, y_0, z_0) \ & \ & \frac{\partial^2 F}{\partial y^2}(x_0, y_0, z_0)\end{align*}\right]$

W podobny sposób (szczegółowe rachunki pomijamy) można wykazać ogólny wzór wyrażający drugą różniczkę funkcji uwikłanej.

Wniosek 9.14.

Niech $\displaystyle f: x\mapsto f(x)$, $\displaystyle x=(x_1, x_2, \dots,x_n)$ będzie funkcją uwikłaną równaniem $\displaystyle F(x, f(x))=0$, gdzie $\displaystyle F: \mathbb{R}^n\times \mathbb{R}\ni (x,y)\mapsto F(x,y)\in \mathbb{R}$ jest funkcją dwukrotnie różniczkowalną w pewnym otoczeniu punktu $\displaystyle (a,b)$, gdzie $\displaystyle b=f(a)$. Niech $\displaystyle \frac{\partial F}{\partial y}(a,b)\neq 0$ i niech różniczka $\displaystyle d_a f=0$. Wówczas druga różniczka funkcji uwikłanej $\displaystyle f$ w punkcie $\displaystyle a$ wynosi

$\displaystyle d_a^2 f=-\bigg(\frac{\partial F}{\partial y}(a,b)\bigg)^{-1}d_{(a, b)}F_{|X},$

czyli

$\displaystyle \frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}(a)=-\bigg(\frac{\partial F}{\partial y}(a,b)\bigg)^{-1}\frac{\partial^2 F}{\partial x_i \partial x_j}(a,b),$ dla dowolnych $\displaystyle i, j\in\{1,2,\dots, n\}$.

Przykład 9.15.

Wyznaczmy ekstrema funkcji $\displaystyle f$ danej w postaci uwikłanej $\displaystyle F(x,y, f(x,y))=0$, gdzie

$\displaystyle F(x,y,z)=(x^2+y^2+z^2)^2 -3 xyz.$

Obserwacja poziomicy zerowej $\displaystyle \{F=0\}$ każe przypuszczać, że w otoczeniu czterech punktów tej poziomicy da się wskazać otoczenia ich rzutów na płaszczyznę zmiennych $\displaystyle (x,y)$ oraz jednoznacznie określone funkcje w tych otoczeniach takie, że dwie z nich będą osiągać maksima, a pozostałe dwie - minima.

Zgodnie z wykazanymi uwagami, aby wyznaczyć punkty ekstremalne funkcji uwikłanej $\displaystyle f$ szukamy punktów $\displaystyle (x,y)$, których współrzędne spełniają układ równań:

$\displaystyle \left\{\begin{align*} & \frac{\partial F}{\partial x}(x,y,z)=0 \\ & \frac{\partial F}{\partial y}(x,y,z)=0 \\ & (x,y,z)\in\{F=0\} \end{align*} \right. \text{ czyli } \left\{\begin{align*} & 4x(x^2+y^2+z^2)-3yz=0 \\ & 4y(x^2+y^2+z^2)-3xz=0 \\ & (x^2+y^2+z^2)^2 -3 xyz=0. \end{align*}\right .$

Możliwość skorzystania z twierdzenia o funkcji uwikłanej (aby mieć gwarancję istnienia funkcji uwikłanej $\displaystyle f$) wymaga sprawdzenia założenia:

$\displaystyle \frac{\partial F}{\partial z}(x,y,z)=4z(x^2+y^2+z^2)-3xy\neq 0.$

Nietrudno zauważyć, że początek układu współrzędnych $\displaystyle (0,0,0)$ spełnia układ równań, ale nie spełnia założenia twierdzenia o funkcji uwikłanej, gdyż $\displaystyle \frac{\partial F}{\partial z}(0,0,0)=0$. Obserwacja poziomicy $\displaystyle \{F=0\}$ wyraźnie pokazuje, że nie ma możliwości jednoznacznego odwikłania funkcji $\displaystyle (x,y)\mapsto f(x,y)$ z równania $\displaystyle F(x,y, f(x,y))=0$ w żadnym otoczeniu punktu $\displaystyle (0,0,0)$. Ponadto układ spełniają cztery punkty o współrzędnych

$\displaystyle \begin{align*} & x=y=\frac{3\sqrt{2}}{16}, \ & & z=\frac{3}{8}, \\ & x=y=-\frac{3\sqrt{2}}{16}, \ & & z=\frac{3}{8}, \\ & x=-y=\frac{3\sqrt{2}}{16}, \ & & z=-\frac{3}{8}, \\ & x=-y=-\frac{3\sqrt{2}}{16}, \ & & z=-\frac{3}{8},\end{align*}$ w których spełniony jest warunek $\displaystyle \frac{\partial F}{\partial z}(x,y,z)\neq 0$. Na mocy twierdzenia o funkcji uwikłanej w pewnych otoczeniach $\displaystyle U_1, U_2, U_3, U_4\subset\mathbb{R}^2$ odpowiednio punktów

$\displaystyle \begin{align*} & A_1=\big(\frac{3\sqrt{2}}{16}, \frac{3\sqrt{2}}{16}\big), \\ & A_2=\big(-\frac{3\sqrt{2}}{16}, -\frac{3\sqrt{2}}{16}\big), \\ & A_3=\big(-\frac{3\sqrt{2}}{16}, \frac{3\sqrt{2}}{16}\big), \\ & A_4=\big(\frac{3\sqrt{2}}{16}, -\frac{3\sqrt{2}}{16}\big), \end{align*}$

istnieją jedyne funkcje $\displaystyle f_1: U_1\mapsto\mathbb{R}$, $\displaystyle f_2: U_2\mapsto\mathbb{R}$, $\displaystyle f_3: U_3\mapsto\mathbb{R}$, $\displaystyle f_4: U_4\mapsto\mathbb{R}$, które spełniają warunek

$\displaystyle F\big(x, y, f_i(x,y)\big)=0, \text{ gdy } (x,y)\in U_i, \ i\in\{1,2,3,4\}$

oraz odpowiednio $\displaystyle f_1(A_1)=f_2(A_2)=\frac{3}{8}$, $\displaystyle f_3(A_3)=f_4(A_4)=-\frac{3}{8}$. Analiza poziomicy $\displaystyle \{F=0\}$ (lub określoności drugiej różniczki $\displaystyle d_{A_i}^2 f, \ i\in\{1,2,3,4\}$) pozwala stwierdzić, że funkcje $\displaystyle f_1$ i $\displaystyle f_2$ osiągają w punktach $\displaystyle A_1$, $\displaystyle A_2$ maksimum, zaś $\displaystyle f_3$ i $\displaystyle f_4$ osiągają w punktach $\displaystyle A_3$, $\displaystyle A_4$ minimum.

Dalsze przykłady wyznaczania ekstremów funkcji uwikłanej analizujemy w ramach ćwiczeń.