Funkcje hiperboliczne i funkcje area

Określimy teraz cztery funkcje, których nazwy są nieprzypadkowo zbieżne z nazwami funkcji trygonometrycznych.

wykres

Definicja 2.35.

Niech $\displaystyle x\in(-\infty, +\infty)$.

• Sinusem hiperbolicznym nazywamy funkcję $\displaystyle \sinh :x\mapsto\frac{1}{2}(e^{x}-e^{-x})$.

• Cosinusem hiperbolicznym nazywamy funkcję $\displaystyle \cosh :x\mapsto\frac{1}{2}(e^{x}+e^{-x})$.

• Tangensem hiperbolicznym nazywamy funkcję $\displaystyle \mathrm{tgh} :x\mapsto\frac{\sinh x}{\cosh x}$.

• Cotangensem hiperbolicznym nazywamy funkcję $\displaystyle \mathrm{ctgh} :x\mapsto\frac{1}{\mathrm{tgh} x}$.

wykres x2

Wykażmy wpierw tożsamość, którą przez analogię do znanej tożsamości trygonometrycznej wiążącej wartości funkcji sinus i cosinus, nazwiemy jedynką hiperboliczną.

Twierdzenie 2.36. [jedynka hiperboliczna]

Dla dowolnej liczby rzeczywistej różnica kwadratów funkcji hiperbolicznych cosinus i sinus jest równa jedności, tzn. zachodzi równość

$\displaystyle \forall x\in\mathbb{R} : \cosh^2 x- \sinh^2 x=1.$

Dowód 2.36.

Z definicji funkcji $\displaystyle \sinh$ i $\displaystyle \cosh$ mamy:

$\displaystyle \begin{align*} 4(\cosh^2 x-\sinh^2 x) \ & =\ (e^x+e^{-x})^2-(e^x-e^{-x})^2 \ \\ & =\ (e^{2x}+2+e^{-2x})-(e^{2x}-2+e^{-2x}) \ =\ 4, \end{align*}$

stąd

$\displaystyle \forall x : \cosh^2 x-\sinh^2 x=1.$

W podobny sposób - wprost z definicji - można wykazać, że zachodzą następujące tożsamości analogiczne do znanych tożsamości trygonometrycznych:

$\displaystyle \sin(x+y) \ =\ \sin x\cos y+\cos x\sin y$

$\displaystyle \cos(x+y) \ =\ \cos x \cos y-\sin x\sin y.$

Twierdzenie 2.37.

Niech $\displaystyle x,y$ będą dowolnymi liczbami rzeczywistymi. Wówczas:

$\displaystyle \sinh(x+y)=\sinh x\cosh y +\cosh x\sinh y,$

$\displaystyle \cosh(x+y)=\cosh x\cosh y+\sinh x\sinh y.$

Tożsamości te wykażemy w ramach ćwiczeń do tego modułu.

Uwaga 2.38.

Dla dowolnej liczby rzeczywistej mamy:

$\begin{array}{lll} \displaystyle \cosh 2x & = & \displaystyle \cosh^2 x+\sinh^2 x=2\cosh^2 x-1=1+2\sinh^2 x, \\ \sinh 2x & = & \displaystyle 2\sinh x\cosh x. \end{array}$

Warto porównać otrzymane wzory z poznanymi w szkole analogicznymi wzorami dla funkcji trygonometrycznych:

$\begin{array}{lll} \displaystyle \cos 2x & = & \displaystyle\cosh^2 x- \sin^2 x=2\cos^2 x-1=1-2\sin^2 x, \\ \sin 2x & = & \displaystyle 2\sin x\cos x. \end{array}$

Podkreślmy kilka własności funkcji hiperbolicznych.

Uwaga 2.39

• Funkcja sinus hiperboliczny jest bijekcją $\displaystyle \mathbb{R}$ na $\displaystyle \mathbb{R}$. Jest nieparzysta, ściśle rosnąca.
• Funkcja cosinus hiperboliczny jest określona na $\displaystyle \mathbb{R}$ i przyjmuje wartości w przedziale $\displaystyle [1, \infty)$. Jest funkcją parzystą. Nie jest różnowartościowa. Jej zacieśnienie do przedziału $\displaystyle [0, \infty)$ jest funkcją ściśle rosnącą.
• Funkcja tangens hiperboliczny jest bijekcją $\displaystyle \mathbb{R}$ na przedział $\displaystyle (-1,1)$. Jest nieparzysta, ściśle rosnąca.
• Funkcja cotangens hiperboliczny jest bijekcją zbioru $\displaystyle (-\infty,0)\cup (0,+\infty)$ na zbiór $\displaystyle (-\infty,-1)\cup(1,+\infty)$. Jest nieparzysta, ściśle malejąca w przedziale $\displaystyle (-\infty, 0)$ i w przedziale $\displaystyle (0, \infty)$ .

Określmy funkcje odwrotne do funkcji hiperbolicznych. Nazywamy je funkcjami area.

Definicja 2.40.

• Funkcję odwrotną do funkcji sinus hiperboliczny nazywamy area sinusem hiperbolicznym i oznaczamy $\displaystyle x\mapsto {\rm arsinh\, } x$.

• Funkcję odwrotną do zacieśnienia funkcji cosinus hiperboliczny do przedziału $\displaystyle [0, \infty)$ nazywamy area cosinusem hiperbolicznym
  i oznaczamy $\displaystyle x\mapsto {\rm arcosh\, } x$.

• Funkcję odwrotną do funkcji tangens hiperboliczny nazywamy area tangensem hiperbolicznym i oznaczamy $\displaystyle x\mapsto {\rm artgh\, } x$.

• Funkcję odwrotną do funkcji cotangens hiperboliczny nazywamy area cotangensem hiperbolicznym i oznaczamy $\displaystyle x\mapsto{\rm arctgh\, } x$.

wykres

Zwróćmy uwagę na tożsamości (kilka podobnych wykażemy w ramach ćwiczeń):

Uwaga 2.41.

Prawdziwe są następujące równości:
a) $\displaystyle \cos(\arcsin x)=\sqrt{1-x^2}$ dla $\displaystyle |x|\leq 1,$
b) $\displaystyle \cosh({\rm arsinh\, } x)=\sqrt{1+x^2}$ dla $\displaystyle -\infty < x < \infty.$

Dowód 2.41.

a) Niech $\displaystyle y=\arcsin x$. Wówczas dla $\displaystyle -1\leq x\leq 1$ mamy $\displaystyle -\frac{\pi}{2}\leq y\leq \frac{\pi}{2}$, czyli $\displaystyle 0\leq \cos y \leq 1$. Z jedynki trygonometrycznej wynika,że

$\displaystyle \cos y \ =\ \sqrt{1-\sin^2 y} \ =\ \sqrt{1-x^2}.$

b) Należy powtórzyć powyższe rozumowanie stosując jedynkę hiperboliczną zamiast jedynki trygonometrycznej.

Funkcje area można wyrazić także za pomocą logarytmu naturalnego.

Twierdzenie 2.42

Zachodzą następujące tożsamości:
a) $\displaystyle {\rm arsinh\, } x=\ln(x+\sqrt{x^2+1})$ dla $\displaystyle -\infty < x < \infty,$
b) $\displaystyle {\rm arcosh\, } x=\ln(x+\sqrt{x^2-1})$ dla $\displaystyle 1\leq x < \infty,$
c) $\displaystyle {\rm artgh\, } x=\ln \sqrt{\frac{1+x}{1-x}}$ dla $\displaystyle -1 < x < 1,$
d) $\displaystyle {\rm arctgh\, } x=\ln \sqrt{\frac{x+1}{x-1}}$ dla $\displaystyle |x|>1.$

Dowód 2.42.

a) Wyznaczamy zmienną $\displaystyle y$ z równania: $\displaystyle x=\sinh y$.Mamy

$\displaystyle x \ =\ \frac{e^{y}-e^{-y}}{2} \ =\ \frac{e^{2y}-1}{e^{y}}.$

Stąd $\displaystyle e^y=x+\sqrt{x^2+1}$, czyli $\displaystyle {\rm arsinh\, } x=\ln(x+\sqrt{x^2+1})$ dla wszystkich $\displaystyle -\infty < x < \infty.$

b) Podobnie jak w punkcie a) wyznaczamy zmienną $\displaystyle y$ z równania $\displaystyle x=\cosh y$ i otrzymujemy $\displaystyle e^y=x+\sqrt{x^2-1}$, czyli $\displaystyle {\rm arcosh\, } x=\ln(x+\sqrt{x^2-1})$, dla $\displaystyle x\geq 1$.

c) Z równania $\displaystyle x={\rm artgh\, } x$ dostajemy $\displaystyle e^{2y}=\frac{1+x}{1-x}$, czyli

$\displaystyle {\rm artgh\, } x \ =\ \frac{1}{2}\ln\frac{1+x}{1-x} \ =\ \ln\sqrt{\frac{1+x}{1-x}},$ dla $\displaystyle |x| < 1$.

d) Pamiętając, że $\displaystyle x=\frac{1}{x}$, podstawiamy w poprzedniej tożsamości $\displaystyle\frac{1}{x}$ w miejsce zmiennej $\displaystyle x$ i otrzymujemy:

$\displaystyle {\rm arctgh\, } x \ =\ \ln\sqrt{\frac{1+\frac{1}{x}}{1-\frac{1}{x}}}=\ln\sqrt{\frac{x+1}{x-1}},$

dla $\displaystyle |x|>1.$

W ramach ćwiczeń wykażemy zaskakującą - na pierwszy rzut oka - uwagę.

wykres

Uwaga 2.43.

• Dla dowolnej liczby $\displaystyle n=0,1,2,...$ funkcja
  $\displaystyle T_n (x) \ =\ \cos (n\arccos x), \ \ -1\leq x\leq 1,$ jest wielomianem zmiennej $\displaystyle x$.
• Dla dowolnej liczby $\displaystyle n=0,1,2,...$ funkcja $\displaystyle U_n (x) \ =\ \cosh (n{\rm arcosh\, } x), \quad x\geq 1,$ jest wielomianem zmiennej $\displaystyle x$.
• Dla dowolnej liczby $\displaystyle n=0,1,2,...$ funkcje $\displaystyle T_n$ oraz $\displaystyle U_n$ są zacieśnieniami -- odpowiednio do przedziałów $\displaystyle [-1,1]$ oraz $\displaystyle [1,+\infty)$ tego samego wielomianu $\displaystyle W_n$ zmiennej $\displaystyle x$, to znaczy dla dowolnej liczby $\displaystyle n=0,1,2,...$ istnieje funkcja wielomianowa

$\displaystyle W_n : x\mapsto W_n(x)$ taka, że zachodzą równości
$\displaystyle \begin{align*} W_n(x) & =T_n(x) & & \text{ dla } -1\leq x\leq 1, \\ W_n(x) & =U_n(x) & & \text{ dla } +1\leq x \leq \infty.\end{align*}$

Definicja 2.44.

Wielomian $\displaystyle W_n$, o którym mowa w powyższej uwadze, którego zacieśnieniem do przedziału $\displaystyle [-1,1]$ jest funkcja $\displaystyle T_n : x\mapsto \cos (n\arccos x)$, nazywamy wielomianem Czebyszewa stopnia $\displaystyle n$, $\displaystyle n=0,1,2,...$.