Funkcje hiperboliczne i funkcje area

Określimy teraz cztery funkcje, których nazwy są nieprzypadkowo zbieżne z nazwami funkcji trygonometrycznych.

wykres

Definicja 2.35.

Niech \( \displaystyle x\in(-\infty, +\infty) \).

• Sinusem hiperbolicznym nazywamy funkcję \( \displaystyle \sinh :x\mapsto\frac{1}{2}(e^{x}-e^{-x}) \).

• Cosinusem hiperbolicznym nazywamy funkcję \( \displaystyle \cosh :x\mapsto\frac{1}{2}(e^{x}+e^{-x}) \).

• Tangensem hiperbolicznym nazywamy funkcję \( \displaystyle \mathrm{tgh} :x\mapsto\frac{\sinh x}{\cosh x} \).

• Cotangensem hiperbolicznym nazywamy funkcję \( \displaystyle \mathrm{ctgh} :x\mapsto\frac{1}{\mathrm{tgh} x} \).

wykres x2

Wykażmy wpierw tożsamość, którą przez analogię do znanej tożsamości trygonometrycznej wiążącej wartości funkcji sinus i cosinus, nazwiemy jedynką hiperboliczną.

Twierdzenie 2.36. [jedynka hiperboliczna]

Dla dowolnej liczby rzeczywistej różnica kwadratów funkcji hiperbolicznych cosinus i sinus jest równa jedności, tzn. zachodzi równość

\( \displaystyle \forall x\in\mathbb{R} : \cosh^2 x- \sinh^2 x=1. \)

Dowód 2.36.

Z definicji funkcji \( \displaystyle \sinh \) i \( \displaystyle \cosh \) mamy:

\( \displaystyle \begin{align*} 4(\cosh^2 x-\sinh^2 x) \ & =\ (e^x+e^{-x})^2-(e^x-e^{-x})^2 \ \\ & =\ (e^{2x}+2+e^{-2x})-(e^{2x}-2+e^{-2x}) \ =\ 4, \end{align*} \)

stąd

\( \displaystyle \forall x : \cosh^2 x-\sinh^2 x=1. \)

W podobny sposób - wprost z definicji - można wykazać, że zachodzą następujące tożsamości analogiczne do znanych tożsamości trygonometrycznych:

\( \displaystyle \sin(x+y) \ =\ \sin x\cos y+\cos x\sin y \)

\( \displaystyle \cos(x+y) \ =\ \cos x \cos y-\sin x\sin y. \)

Twierdzenie 2.37.

Niech \( \displaystyle x,y \) będą dowolnymi liczbami rzeczywistymi. Wówczas:

\( \displaystyle \sinh(x+y)=\sinh x\cosh y +\cosh x\sinh y, \)

\( \displaystyle \cosh(x+y)=\cosh x\cosh y+\sinh x\sinh y. \)

Tożsamości te wykażemy w ramach ćwiczeń do tego modułu.

Uwaga 2.38.

Dla dowolnej liczby rzeczywistej mamy:

\( \begin{array}{lll} \displaystyle \cosh 2x & = & \displaystyle \cosh^2 x+\sinh^2 x=2\cosh^2 x-1=1+2\sinh^2 x, \\ \sinh 2x & = & \displaystyle 2\sinh x\cosh x. \end{array} \)

Warto porównać otrzymane wzory z poznanymi w szkole analogicznymi wzorami dla funkcji trygonometrycznych:

\( \begin{array}{lll} \displaystyle \cos 2x & = & \displaystyle\cosh^2 x- \sin^2 x=2\cos^2 x-1=1-2\sin^2 x, \\ \sin 2x & = & \displaystyle 2\sin x\cos x. \end{array} \)

Podkreślmy kilka własności funkcji hiperbolicznych.

Uwaga 2.39

• Funkcja sinus hiperboliczny jest bijekcją \( \displaystyle \mathbb{R} \) na \( \displaystyle \mathbb{R} \). Jest nieparzysta, ściśle rosnąca.
• Funkcja cosinus hiperboliczny jest określona na \( \displaystyle \mathbb{R} \) i przyjmuje wartości w przedziale \( \displaystyle [1, \infty) \). Jest funkcją parzystą. Nie jest różnowartościowa. Jej zacieśnienie do przedziału \( \displaystyle [0, \infty) \) jest funkcją ściśle rosnącą.
• Funkcja tangens hiperboliczny jest bijekcją \( \displaystyle \mathbb{R} \) na przedział \( \displaystyle (-1,1) \). Jest nieparzysta, ściśle rosnąca.
• Funkcja cotangens hiperboliczny jest bijekcją zbioru \( \displaystyle (-\infty,0)\cup (0,+\infty) \) na zbiór \( \displaystyle (-\infty,-1)\cup(1,+\infty) \). Jest nieparzysta, ściśle malejąca w przedziale \( \displaystyle (-\infty, 0) \) i w przedziale \( \displaystyle (0, \infty) \) .

Określmy funkcje odwrotne do funkcji hiperbolicznych. Nazywamy je funkcjami area.

Definicja 2.40.

• Funkcję odwrotną do funkcji sinus hiperboliczny nazywamy area sinusem hiperbolicznym i oznaczamy \( \displaystyle x\mapsto {\rm arsinh\, } x \).

• Funkcję odwrotną do zacieśnienia funkcji cosinus hiperboliczny do przedziału \( \displaystyle [0, \infty) \) nazywamy area cosinusem hiperbolicznym
  i oznaczamy \( \displaystyle x\mapsto {\rm arcosh\, } x \).

• Funkcję odwrotną do funkcji tangens hiperboliczny nazywamy area tangensem hiperbolicznym i oznaczamy \( \displaystyle x\mapsto {\rm artgh\, } x \).

• Funkcję odwrotną do funkcji cotangens hiperboliczny nazywamy area cotangensem hiperbolicznym i oznaczamy \( \displaystyle x\mapsto{\rm arctgh\, } x \).

wykres

Zwróćmy uwagę na tożsamości (kilka podobnych wykażemy w ramach ćwiczeń):

Uwaga 2.41.

Prawdziwe są następujące równości:
a) \( \displaystyle \cos(\arcsin x)=\sqrt{1-x^2} \) dla \( \displaystyle |x|\leq 1, \)
b) \( \displaystyle \cosh({\rm arsinh\, } x)=\sqrt{1+x^2} \) dla \( \displaystyle -\infty < x < \infty. \)

Dowód 2.41.

a) Niech \( \displaystyle y=\arcsin x \). Wówczas dla \( \displaystyle -1\leq x\leq 1 \) mamy \( \displaystyle -\frac{\pi}{2}\leq y\leq \frac{\pi}{2} \), czyli \( \displaystyle 0\leq \cos y \leq 1 \). Z jedynki trygonometrycznej wynika,że

\( \displaystyle \cos y \ =\ \sqrt{1-\sin^2 y} \ =\ \sqrt{1-x^2}. \)

b) Należy powtórzyć powyższe rozumowanie stosując jedynkę hiperboliczną zamiast jedynki trygonometrycznej.

Funkcje area można wyrazić także za pomocą logarytmu naturalnego.

Twierdzenie 2.42

Zachodzą następujące tożsamości:
a) \( \displaystyle {\rm arsinh\, } x=\ln(x+\sqrt{x^2+1}) \) dla \( \displaystyle -\infty < x < \infty, \)
b) \( \displaystyle {\rm arcosh\, } x=\ln(x+\sqrt{x^2-1}) \) dla \( \displaystyle 1\leq x < \infty, \)
c) \( \displaystyle {\rm artgh\, } x=\ln \sqrt{\frac{1+x}{1-x}} \) dla \( \displaystyle -1 < x < 1, \)
d) \( \displaystyle {\rm arctgh\, } x=\ln \sqrt{\frac{x+1}{x-1}} \) dla \( \displaystyle |x|>1. \)

Dowód 2.42.

a) Wyznaczamy zmienną \( \displaystyle y \) z równania: \( \displaystyle x=\sinh y \).Mamy

\( \displaystyle x \ =\ \frac{e^{y}-e^{-y}}{2} \ =\ \frac{e^{2y}-1}{e^{y}}. \)

Stąd \( \displaystyle e^y=x+\sqrt{x^2+1} \), czyli \( \displaystyle {\rm arsinh\, } x=\ln(x+\sqrt{x^2+1}) \) dla wszystkich \( \displaystyle -\infty < x < \infty. \)

b) Podobnie jak w punkcie a) wyznaczamy zmienną \( \displaystyle y \) z równania \( \displaystyle x=\cosh y \) i otrzymujemy \( \displaystyle e^y=x+\sqrt{x^2-1} \), czyli \( \displaystyle {\rm arcosh\, } x=\ln(x+\sqrt{x^2-1}) \), dla \( \displaystyle x\geq 1 \).

c) Z równania \( \displaystyle x={\rm artgh\, } x \) dostajemy \( \displaystyle e^{2y}=\frac{1+x}{1-x} \), czyli

\( \displaystyle {\rm artgh\, } x \ =\ \frac{1}{2}\ln\frac{1+x}{1-x} \ =\ \ln\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}, \) dla \( \displaystyle |x| < 1 \).

d) Pamiętając, że \( \displaystyle x=\frac{1}{x} \), podstawiamy w poprzedniej tożsamości \( \displaystyle\frac{1}{x} \) w miejsce zmiennej \( \displaystyle x \) i otrzymujemy:

\( \displaystyle {\rm arctgh\, } x \ =\ \ln\sqrt{\frac{1+\frac{1}{x}}{1-\frac{1}{x}}}=\ln\sqrt{\frac{x+1}{x-1}}, \)

dla \( \displaystyle |x|>1. \)

W ramach ćwiczeń wykażemy zaskakującą - na pierwszy rzut oka - uwagę.

wykres

Uwaga 2.43.

• Dla dowolnej liczby \( \displaystyle n=0,1,2,... \) funkcja
  \( \displaystyle T_n (x) \ =\ \cos (n\arccos x), \ \ -1\leq x\leq 1, \) jest wielomianem zmiennej \( \displaystyle x \).
• Dla dowolnej liczby \( \displaystyle n=0,1,2,... \) funkcja \( \displaystyle U_n (x) \ =\ \cosh (n{\rm arcosh\, } x), \quad x\geq 1, \) jest wielomianem zmiennej \( \displaystyle x \).
• Dla dowolnej liczby \( \displaystyle n=0,1,2,... \) funkcje \( \displaystyle T_n \) oraz \( \displaystyle U_n \) są zacieśnieniami -- odpowiednio do przedziałów \( \displaystyle [-1,1] \) oraz \( \displaystyle [1,+\infty) \) tego samego wielomianu \( \displaystyle W_n \) zmiennej \( \displaystyle x \), to znaczy dla dowolnej liczby \( \displaystyle n=0,1,2,... \) istnieje funkcja wielomianowa

\( \displaystyle W_n : x\mapsto W_n(x) \) taka, że zachodzą równości
\( \displaystyle \begin{align*} W_n(x) & =T_n(x) & & \text{ dla } -1\leq x\leq 1, \\ W_n(x) & =U_n(x) & & \text{ dla } +1\leq x \leq \infty.\end{align*} \)

Definicja 2.44.

Wielomian \( \displaystyle W_n \), o którym mowa w powyższej uwadze, którego zacieśnieniem do przedziału \( \displaystyle [-1,1] \) jest funkcja \( \displaystyle T_n : x\mapsto \cos (n\arccos x) \), nazywamy wielomianem Czebyszewa stopnia \( \displaystyle n \), \( \displaystyle n=0,1,2,... \).