Funkcje trygonometryczne i funkcje cyklometryczne

Przypomnijmy kilka własności funkcji trygonometrycznych sinus, cosinus, tangens i cotangens. Żadna z nich nie jest różnowartościowa w swojej dziedzinie.

wykresy

Uwaga 2.27.

• Funkcja $\displaystyle f(x)=\sin x$ zacieśniona do przedziału $\displaystyle \bigg[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\bigg]$ jest różnowartościowa, ściśle rosnąca.
• Funkcja $\displaystyle f(x)=\cos x$ zacieśniona do przedziału $\displaystyle [0, \pi]$ jest różnowartościowa, ściśle malejąca.

• Funkcja $\displaystyle f(x)=\mathrm{tg}\, x$ zacieśniona do przedziału $\displaystyle \bigg(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\bigg)$ jest różnowartościowa, ściśle rosnąca.

• Funkcja $\displaystyle f(x)=\mathrm{ctg}\, x$ zacieśniona do przedziału $\displaystyle (0, \pi)$ jest różnowartościowa, ściśle malejąca.

wykres x2

Pamiętamy również, że zachodzi

Twierdzenie 2.28. [jedynka trygonometryczna]

Dla dowolnej liczby rzeczywistej $\displaystyle x$ suma kwadratów cosinusa i sinusa jest równa jedności, tzn. $\displaystyle \forall x\in \mathbb{R}: \cos^2 x+\sin^2 x=1$.

Definicja 2.29.

Funkcję określoną na przedziale $\displaystyle [-1,1]$ o wartościach w przedziale $\displaystyle \bigg[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\bigg]$, odwrotną do zacieśnienia funkcji sinus do przedziału $\displaystyle \bigg[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\bigg]$,nazywamy arcusem sinusem i oznaczamy symbolem $\displaystyle x\mapsto \arcsin x$.

wykresy

Definicja 2.30

Funkcję określoną na przedziale $\displaystyle [-1,1]$ o wartościach w przedziale $\displaystyle [0, \pi]$, odwrotną do zacieśnienia funkcji cosinus do przedziału $\displaystyle [0, \pi]$, nazywamy arcusem cosinusem i oznaczamy symbolem $\displaystyle x\mapsto \arccos x$.

Definicja 2.31.

Funkcję określoną na przedziale $\displaystyle (-\infty,\infty)$ o wartościach w przedziale $\displaystyle \bigg(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\bigg)$, odwrotną do zacieśnienia funkcji tangens do przedziału $\displaystyle \bigg(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\bigg)$, nazywamy arcusem tangensem i oznaczamy symbolem $\displaystyle x\mapsto \mathrm{arctg}\, x$.

Definicja 2.32.

Funkcję określoną na przedziale $\displaystyle (-\infty, \infty)$ o wartościach w przedziale $\displaystyle (0, \pi)$, odwrotną do zacieśnienia funkcji cotangens do przedziału $\displaystyle (0, \pi)$, nazywamy arcusem cotangensem i oznaczamy symbolem $\displaystyle x\mapsto \mathrm{arc\,ctg}\, x$.

wykres

Funkcje: arcus sinus, arcus cosinus, arcus tangens i arcus cotangens nazywamy funkcjami cyklometrycznymi.

Uwaga 2.33.

Funkcje arcus sinus i arcus tangens są ściśle rosnące. Funkcje arcus cosinus i arcus cotangens -- ściśle malejące.

Ze wzorów redukcyjnych: $\displaystyle \sin\bigg(\frac{\pi}{2}-x\bigg)=\cos x$ oraz $\displaystyle \mathrm{tg}\,\bigg(\frac{\pi}{2}-x\bigg)=\mathrm{ctg}\, x$ wynika, że

Uwaga 2.34.

• Dla dowolnej liczby $\displaystyle -1\leq x\leq 1$ zachodzi równość $\displaystyle \arccos x=\frac{\pi}{2}+\arcsin(-x).$
• Dla dowolnej liczby $\displaystyle -\infty < x < \infty$ zachodzi równość $\displaystyle \mathrm{arc\,ctg}\, x=\frac{\pi}{2}+\mathrm{arctg}\,(-x).$