wykres

AM2.M11.W.R12

Ta zmiana zmiennych jest w zasadzie zmianą na współrzędne biegunowe w $\displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^2.$ Opisana jest wzorami:

$\displaystyle \left\{ \begin{array} {lll} x & = r\cos\alpha, \\ y & = r\sin\alpha, \\ z & = z, \end{array} \right .$

gdzie $\displaystyle r\in(0,+\infty), \alpha\in(0,2\pi), z\in(-\infty,\infty).$ Jakobian tej zmiany zmiennych wynosi $\displaystyle r>0.$

Przykład 11.15.

Policzyć całkę

$\displaystyle \iiint\limits_D z dxdydz,$

gdzie $\displaystyle D$ jest walcem o podstawie $\displaystyle \displaystyle\{(x,y)\in \mathbb{R}^2 : x^2+y^2 < R^2\}$ i o wysokości $\displaystyle H.$

Skoro $\displaystyle x^2+y^2 < R^2$ to $\displaystyle r=\sqrt{x^2+y^2}\in (0,R),$ na kąt $\displaystyle \displaystyle\alpha$ nie mamy dodatkowych warunków, natomiast skoro wysokość walca wynosi $\displaystyle H$ to $\displaystyle z\in [0,H].$ Tak więc $\displaystyle B=(0,R)\times(0, 2\pi)\times[0,H].$

$\displaystyle \begin{align*} \iiint\limits_D z dxdydz & = \iiint\limits_B rz d\alpha dr dz \ =\ \displaystyle\int\limits_0^{2\pi}d\alpha\displaystyle\int\limits_0^R dr\displaystyle\int\limits_0^H rz dz \\ \ & =\ \frac{H^2}{2}\displaystyle\int\limits_0^{2\pi}d\alpha\displaystyle\int\limits_0^R r dr = \frac{H^2}{2}\frac{R^2}{2}\displaystyle\int\limits_0^{2\pi}d\alpha \ =\ \pi\frac{H^2R^2}{2}. \end{align*}$

Ciekawsze przykłady policzymy na ćwiczeniach.