AM2.M11.W.R12
Ta zmiana zmiennych jest w zasadzie zmianą na współrzędne biegunowe w \( \displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^2. \) Opisana jest wzorami:
\( \displaystyle \left\{ \begin{array} {lll} x & = r\cos\alpha, \\ y & = r\sin\alpha, \\ z & = z, \end{array} \right . \)
gdzie \( \displaystyle r\in(0,+\infty), \alpha\in(0,2\pi), z\in(-\infty,\infty). \) Jakobian tej zmiany zmiennych wynosi \( \displaystyle r>0. \)
Przykład 11.15.
Policzyć całkę
\( \displaystyle \iiint\limits_D z dxdydz, \)
gdzie \( \displaystyle D \) jest walcem o podstawie \( \displaystyle \displaystyle\{(x,y)\in \mathbb{R}^2 : x^2+y^2 < R^2\} \) i o wysokości \( \displaystyle H. \)
Skoro \( \displaystyle x^2+y^2 < R^2 \) to \( \displaystyle r=\sqrt{x^2+y^2}\in (0,R), \) na kąt \( \displaystyle \displaystyle\alpha \) nie mamy dodatkowych warunków, natomiast skoro wysokość walca wynosi \( \displaystyle H \) to \( \displaystyle z\in [0,H]. \) Tak więc \( \displaystyle B=(0,R)\times(0, 2\pi)\times[0,H]. \)
\( \displaystyle \begin{align*} \iiint\limits_D z dxdydz & = \iiint\limits_B rz d\alpha dr dz \ =\ \displaystyle\int\limits_0^{2\pi}d\alpha\displaystyle\int\limits_0^R dr\displaystyle\int\limits_0^H rz dz \\ \ & =\ \frac{H^2}{2}\displaystyle\int\limits_0^{2\pi}d\alpha\displaystyle\int\limits_0^R r dr = \frac{H^2}{2}\frac{R^2}{2}\displaystyle\int\limits_0^{2\pi}d\alpha \ =\ \pi\frac{H^2R^2}{2}. \end{align*} \)
Ciekawsze przykłady policzymy na ćwiczeniach.