Ten wykład poświęcony jest dwóm najważniejszym twierdzeniom dotyczącym całek wielokrotnych. Twierdzenie Fubiniego pozwala liczyć całki wielokrotne (podwójne, potrójne, itd.) po odpowiednich obszarach za pomocą kolejnego liczenia pewnych całek pojedynczych w odpowiednich granicach. Drugim z twierdzeń jest twierdzenie o zmianie zmiennych w całce, odpowiednik twierdzenia o całkowaniu przez podstawienie dla całki jednej zmiennej, także bardzo ważne dla obliczania całek.

Na ćwiczeniach do poprzedniego wykładu policzyliśmy z definicji $\displaystyle \displaystyle\iint\limits_Kxy\ dxdy=\frac{1}{4},$ gdzie $\displaystyle K=[0,1]\times[0,1].$

Policzmy teraz $\displaystyle \displaystyle\displaystyle\int\limits_0^1xydx,$ traktując $\displaystyle y$ jako stałą. Dostaniemy oczywiście

$\displaystyle \displaystyle\int\limits_0^1xydx=y\frac{x^2}{2}\bigg|_0^1=\frac{y}{2}.$

Następnie policzmy $\displaystyle \displaystyle\displaystyle\int\limits_0^1\frac{y}{2}dy,$ czyli całkę "z tego" co otrzymaliśmy wyżej. Dostaniemy

$\displaystyle \displaystyle\int\limits_0^1\frac{y}{2}dy=\frac{y}{4}\bigg|_0^1=\frac{1}{4}.$

Policzyliśmy zatem

$\displaystyle \displaystyle\int\limits_0^1\left(\displaystyle\int\limits_0^1 xy dx\right) dy=\frac{1}{4}.$

Jeśli policzymy "w drugą stronę", czyli najpierw całkę względem $\displaystyle y$ a potem względem $\displaystyle x,$ to dostaniemy

$\displaystyle \displaystyle\int\limits_0^1xydy=x\frac{y^2}{2}\bigg|_0^1=\frac{x}{2},$

następnie

$\displaystyle \displaystyle\int\limits_0^1\frac{x}{2}dy=\frac{x}{4}\bigg|_0^1=\frac{1}{4},$ zatem także

$\displaystyle \displaystyle\int\limits_0^1\left(\displaystyle\int\limits_0^1 xy dy\right) dx=\frac{1}{4}.$

Otrzymaliśmy zatem następujące równości:

$\displaystyle \iint\limits_{[0,1]\times[0,1]}xy\ dxdy \ =\ \displaystyle\int\limits_0^1\left(\displaystyle\int\limits_0^1 xy dx\right) dy \ =\ \displaystyle\int\limits_0^1\left(\displaystyle\int\limits_0^1 xy dy\right) dx.$

W takim razie możemy zapytać: czy może takie równości zachodzą zawsze? Okazuje się, że (przy rozsądnych założeniach) faktycznie tak jest - mówi o tym Twierdzenie Fubiniego.

Twierdzenie 11.1. [Twierdzenie Fubiniego]

Niech $\displaystyle K_1$ będzie kostką w $\displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^n$ a $\displaystyle K_2$ kostką w $\displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^m.$ Zmienne w $\displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^n$ oznaczmy przez $\displaystyle x$ a w $\displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^m$ przez $\displaystyle y.$ Weźmy funkcję $\displaystyle f:A\times B\to \mathbb{R}.$ Załóżmy, że dla każdego ustalonego $\displaystyle y\in B$ funkcja $\displaystyle f(\cdot,y)$ jest całkowalna w sensie Riemanna na $\displaystyle A$ oraz że dla każdego ustalonego $\displaystyle x\in A$ funkcja $\displaystyle f(x,\cdot)$ jest całkowalna w sensie Riemanna na $\displaystyle B.$ Wtedy

$\displaystyle \displaystyle\int\limits_{A\times B}f(x,y)\ dxdy=\displaystyle\int\limits_A\left(\displaystyle\int\limits_B f(x,y) dy\right)dx \ =\ \displaystyle\int\limits_B\left(\displaystyle\int\limits_A f(x,y) dx\right)dy.$

wykres

Rysunek do twierdzenia Fubiniego

Uwaga 11.2.

(1) W szczególności, gdy funkcja $\displaystyle f(x,y)$ jest ciągła na $\displaystyle A\times B,$ to obie funkcje $\displaystyle f(\cdot,y):A\to \mathbb{R}$ i $\displaystyle f(x,\cdot):B\to \mathbb{R}$ są całkowalne i zachodzą powyższe równości, czyli

$\displaystyle \displaystyle\int\limits_{A\times B}f(x,y)\ dxdy \ =\ \displaystyle\int\limits_A\left(\displaystyle\int\limits_B f(x,y) dy\right) dx=\displaystyle\int\limits_B\left(\displaystyle\int\limits_A f(x,y) dx\right)dy.$

(2) Nietrudno zauważyć, że w twierdzeniu Fubiniego zamiast kostek $\displaystyle A$ i $\displaystyle B$ możemy wziąć dowolne zbiory J-mierzalne - bo i tak całkowanie po dowolnych zbiorach J-mierzalnych sprowadziliśmy do całkowania po kostkach (patrz poprzedni wykład).

(3) Całki $\displaystyle \displaystyle\displaystyle\int\limits_A\left(\displaystyle\int\limits_B f(x,y) dy\right)dx$ i $\displaystyle \displaystyle\displaystyle\int\limits_B\left(\displaystyle\int\limits_A f(x,y) dx\right)dy$ nazywamy całkami iterowanymi.

Dowód 11.2.

Dowód twierdzenia Fubiniego przedstawimy tylko dla przypadku, gdy $\displaystyle K_1$ i $\displaystyle K_2$ są kostkami w $\displaystyle \displaystyle\mathbb{R}$ (czyli $\displaystyle K_1\times K_2$ jest kostką (prostokątem) w $\displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^2.$ W tym przypadku twierdzenie i dowód łatwo zilustrować rysunkiem (patrz obok). Idea dowodu dla kostek wyżej wymiarowych jest dokładnie taka sama. Dla dodatkowego uproszczenia dowodu założymy, że funkcja $\displaystyle f$ jest ciągła. A zatem wypiszmy:

Twierdzenie 11.3. [Twierdzenie Fubiniego dla funkcji ciągłej na prostokącie]

Niech $\displaystyle K=[a,b]\times [c,d]$ będzie kostką w $\displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^2.$ Niech $\displaystyle f: K\to \mathbb{R}$ będzie funkcją ciągłą. Wówczas istnieją całki iterowane $\displaystyle \displaystyle\displaystyle\int\limits_a^b\left(\displaystyle\int\limits_c^d f(x,y) dy\right)dx$ i $\displaystyle \displaystyle\displaystyle\int\limits_c^d\left(\displaystyle\int\limits_a^b f(x,y) dx\right)dy$ oraz zachodzą równości

$\displaystyle \displaystyle\int\limits_{[a,b]\times [c,d]}f(x,y)\ dxdy \ =\ \displaystyle\int\limits_a^b\left(\displaystyle\int\limits_c^d f(x,y)dy\right) dx \ =\ \displaystyle\int\limits_c^d\left(\displaystyle\int\limits_a^b f(x,y) dx\right)dy.$

rycina

Dowód 11.3. [nadobowiązkowy]

Wykażemy istnienie całki $\displaystyle \displaystyle\displaystyle\int\limits_a^b\left(\displaystyle\int\limits_c^d f(x,y) dy\right) dx$ i równość

$\displaystyle \displaystyle\int\limits_{[a,b]\times [c,d]}f(x,y)\ dxdy \ =\ \displaystyle\int\limits_a^b\left(\displaystyle\int\limits_c^d f(x,y) dy\right) dx.$

Istnienia drugiej z całek iterowanych i drugiej równości dowodzi się analogicznie. Niech $\displaystyle d_2$ oznacza metrykę euklidesową w $\displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^2,$ czyli

$\displaystyle d_2((x_1,y_1),(x_2,y_2)) \ =\ \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}.$

Krok I. Istnienie całki $\displaystyle \displaystyle\displaystyle\int\limits_a^b\left(\displaystyle\int\limits_c^d f(x,y) dy\right) dx.$

I.1. Zauważmy, że dla dowolnego $\displaystyle \displaystyle\varepsilon >0$ istnieje $\displaystyle \displaystyle\delta>0$ takie, że

$\displaystyle d_2((x_1,y_1),(x_2,y_2)) < \delta\Rightarrow |f(x_1,y_1)-f(x_2,y_2) < \varepsilon,$

dla $\displaystyle \displaystyle (x_1,y_1), (x_2,y_2)$ z kostki $\displaystyle K.$ Faktycznie, skoro funkcja $\displaystyle f$ jest ciągła, a zbiór $\displaystyle K$ jest zwarty, to funkcja $\displaystyle f$ jest jednostajnie ciągła (patrz Analiza matematyczna 1 uwaga 2.39). To dokładnie oznacza, że spełniona jest powyższa implikacja.
I.2. Wykażemy, że funkcja

$\displaystyle g(x) := \displaystyle\int\limits_c^d f(x,y) dy$

jest funkcją ciągłą.

Ponieważ $\displaystyle f$ jest funkcją ciągłą, $\displaystyle \displaystyle\displaystyle\int\limits_c^d f(x,y) dy$ istnieje dla dowolnego $\displaystyle x\in [a,b].$ Aby wykazać, że $\displaystyle g$ jest funkcją ciągłą, weźmy dowolne $\displaystyle \displaystyle\varepsilon>0.$ Szukamy $\displaystyle \displaystyle\delta>0$ takiego, że spełnione jest wynikanie:

$\displaystyle |x_1-x_2| < \delta\Rightarrow|g(x_1)-g(x_2)| < \varepsilon.$

Weźmy teraz $\displaystyle \displaystyle\varepsilon':=\frac{\varepsilon}{d-c}.$ Do tego $\displaystyle \displaystyle\varepsilon'$ dobierzmy $\displaystyle \displaystyle\delta$ tak jak w punkcie I.1. Mamy zatem w szczególności:

$\displaystyle d_2((x_1,y),(x_2,y)) < \delta\Rightarrow |f(x_1,y)-f(x_2,y)| < \varepsilon',$

czyli, podstawiając do wzoru na $\displaystyle d$ otrzymujemy

$\displaystyle |x_2-x_1| < \delta\Rightarrow f(x_1,y)-\varepsilon' < f(x_2,y) < f(x_1,y)+\varepsilon'.$

Całkując te nierówności stronami (korzystamy z monotoniczności całki Riemanna dla funkcji jednej zmiennej), otrzymujemy:

$\displaystyle \displaystyle\int\limits_c^d f(x_1,y) dy-\varepsilon'(d-c) < \displaystyle\int\limits_c^df(x_2,y)dy < \displaystyle\int\limits_c^df(x_1,y)dy+\varepsilon'(d-c),$

czyli

$\displaystyle \displaystyle\int\limits_c^d f(x_1,y) dy-\varepsilon < \displaystyle\int\limits_c^df(x_2,y)dy < \displaystyle\int\limits_c^df(x_1,y)dy+\varepsilon,$

zatem

$\displaystyle |g(x_1)-g(x_2)|=|\displaystyle\int\limits_c^d f(x_1,y)-\displaystyle\int\limits_c^df(x_2,y)dy| < \varepsilon,$

przy $\displaystyle |x_2-x_1| < \delta,$ co dowodzi ciągłości funkcji $\displaystyle g.$

I.3. Zauważmy, że skoro $\displaystyle g$ jest funkcją ciągłą na $\displaystyle \displaystyle [a,b],$ to istnieje $\displaystyle \displaystyle\displaystyle\int\limits_a^bg(x)dx,$ a to dowodzi istnienia całki

$\displaystyle \displaystyle\int\limits_a^b\left(\displaystyle\int\limits_c^d f(x,y) dy\right) dx.$

Krok II. Równość $\displaystyle \displaystyle\displaystyle\int\limits_{[a,b]\times [c,d]}f(x,y)\ dxdy=\displaystyle\int\limits_a^b\left(\displaystyle\int\limits_c^d f(x,y) dy\right) dx.$

II.1. Z części I dowodu i z założeń twierdzenia wynika, że całki po obu stronach równości istnieją. Wystarczy zatem znaleźć granicę sum całkowych dla pewnego normalnego ciągu podziałów.

II.2. Zdefiniujmy normalny ciąg podziałów $\displaystyle \displaystyle (P_n)_{n\in\mathbb{N}}$, dzieląc każdy z odcinków $\displaystyle \displaystyle [a,b]$ i $\displaystyle \displaystyle [c,d]$ na $\displaystyle n$ równych odcinków, czyli:

$\displaystyle \begin{align*} a_i^n & = a+\frac{i}{n}(b-a), \quad b_i^n=a_i^n+\frac{1}{n}(b-a),\ i=0,1,\ldots,n-1, \\ c_j^n & = c+\frac{j}{n}(d-c), \quad d_j^n=c_j^n+\frac{1}{n}(d-c),\ j=0,1,\ldots,n-1, \end{align*}$

a następnie biorąc iloczyn kartezjański tych odcinków:

$\displaystyle K_{ij}^n :=\ [a_i^n,b_i^n]\times[c_j^n,d_j^n],\ \ i,j=0,\ldots,n-1.$

Kostkami podziału $\displaystyle P_n$ są więc kostki $\displaystyle K_{ij}^n.$ Objętość takiej kostki to $\displaystyle v(K_{ij}^n)=(b_i^n-a_i^n)(d_j^n-c_j^n).$

II.3. Weźmy teraz dla każdego podziału ciąg punktów pośrednich, czyli

$\displaystyle p_{ij}^n\in K_{ij}^n.$

Utwórzmy sumę całkową:

$\displaystyle S_n := \sum_{i,j=0}^{n-1}f(p_{ij}^n)(b_i^n-a_i^n)(d_j^n-c_j^n).$

Skoro istnieje całka podwójna, to

$\displaystyle \lim_{n\to\infty}S_n \ =\ \displaystyle\int\limits_{[a,b]\times [c,d]}f(x,y)dxdy.$

Wystarczy zatem pokazać, że granicą ciągu $\displaystyle{ \displaystyle S_n}$ jest też $\displaystyle \displaystyle\displaystyle\int\limits_a^b\left(\displaystyle\int\limits_c^d f(x,y) dy\right)dx.$

II.4. Pokażemy, że $\displaystyle \displaystyle\lim_{n\to\infty}S_n=\displaystyle\int\limits_a^b\left(\displaystyle\int\limits_c^d f(x,y) dy\right)dx.$

Musimy zatem pokazać, że dla ustalonego $\displaystyle \displaystyle\varepsilon>0$ istnieje $\displaystyle N_0\in\mathbb{N}$ takie, że dla $\displaystyle n\geq N_0$ mamy

$\displaystyle \left|\displaystyle\int\limits_a^b\left(\displaystyle\int\limits_c^d f(x,y)dy\right)dx-S_n\right| \ < \ \varepsilon.$

Ustalmy zatem $\displaystyle \displaystyle\varepsilon>0.$ Weźmy $\displaystyle \displaystyle\varepsilon':=\frac{\varepsilon}{(b-a)(d-c)}.$ Do tego $\displaystyle \displaystyle\varepsilon'$ dobierzmy $\displaystyle \displaystyle\delta$ tak jak w punkcie I.1. dowodu. Dobierzmy $\displaystyle N_0$ takie, by $\displaystyle \displaystyle\frac{1}{N_0} < \delta.$ W takim razie, jeśli dla $\displaystyle n>N_0$ mamy $\displaystyle \displaystyle (x,y)\in K_{ij}^n,$ to $\displaystyle d((x,y),p_{ij}^n) < \delta$ a zatem (z I.1.),

$\displaystyle \left|f(x,y)-f(p_{ij}^n)\right| < \varepsilon',$

czyli

$\displaystyle f(x,y)-\varepsilon' < f(p_{ij}^n) < f(x,y)+\varepsilon'.$

Całkując te nierówności względem $\displaystyle y$ po przedziale $\displaystyle \displaystyle [c_{j}^n,d_j^n],$ dostaniemy (dla ustalonego $\displaystyle x\in [a_i^n,b_i^n]$):

$\displaystyle \displaystyle\int\limits_{c_j^n}^{d_j^n}f(x,y)dy-\varepsilon'(d_j^n-c_j^n) < f(p_{ij}^n)(d_j^n-c_j^n) < \displaystyle\int\limits_{c_j^n}^{d_j^n}f(x,y)dy+\varepsilon'(d_j^n-c_j^n),$

czyli

$\displaystyle \left|\displaystyle\int\limits_{c_j^n}^{d_j^n}f(x,y)dy-f(p_{ij}^n)(d_j^n-c_j^n)\right| < \varepsilon'(d_j^n-c_j^n).$

Weźmy teraz sumę powyższych nierówności dla $\displaystyle j=0,\ldots,n-1$ (i dla $\displaystyle x\in [a_i^n,b_i^n]$). Dostaniemy:

$\begin{array}{l}\displaystyle \left|\sum_{j=0}^{n-1}\displaystyle\int\limits_{c_j^n}^{d_j^n}f(x,y)dy-\sum_{j=0}^{n-1}f(p_{ij}^n)(d_j^n-c_j^n)\right| = \\ = \left|\displaystyle\int\limits_c^df(x,y)dy-\sum_{j=0}^{n-1}f(p_{ij}^n)(d_j^n-c_j^n)\right| < \varepsilon'\sum_{j=0}^{n-1}(d_j^n-c_j^n)= \varepsilon'(d-c).\end{array}$

Tak więc

$\displaystyle \left|\displaystyle\int\limits_c^df(x,y)dy-\sum_{j=0}^{n-1}f(p_{ij}^n)(d_j^n-c_j^n)\right| \ < \ \varepsilon'(d-c).$

Całkując tę nierówność po przedziałach $\displaystyle \displaystyle [a_i^n,b_i^n],$ a następnie sumując wszystkie całki dla $\displaystyle i=0,\ldots,n-1,$ dostaniemy

$\begin{array}{l} \displaystyle \left|\sum_{i=0}^{n-1}\displaystyle\int\limits_{a_i^n}^{b_i^n}(\displaystyle\int\limits_c^df(x,y)dy)dx- \sum_{i=0}^{n-1}\sum_{j=0}^{n-1}f(p_{ij}^n)(d_j^n-c_j^n)(b_i^n-a_i^n)\right| \\ \displaystyle < \sum_{i=0}^{n-1}\varepsilon'(d-c)(b_i^n-a_i^n),\end{array}$

a zatem, po zsumowaniu

$\begin{array}{l}\displaystyle \left|\displaystyle\int\limits_a^b\left(\displaystyle\int\limits_c^d f(x,y)dy\right)dx-\sum_{i=0}^{n-1}\sum_{j=0}^{n-1}f(p_{ij}^n)(d_j^n-c_j^n)(b_i^n-a_i^n)\right| \\ < \varepsilon'(d-c)(b-a)=\varepsilon, \end{array}$

co należało dowieść.

Uwaga 11.4. [Zapis całek iterowanych]

Całki iterowane, na przykład $\displaystyle \displaystyle\displaystyle\int\limits_a^b\left(\displaystyle\int\limits_c^d f(x,y)dy\right)dx,$ będziemy, w celu uniknięcia pisania dużej ilości nawiasów, zapisywali tak:

$\displaystyle \displaystyle\int\limits_a^b dx\displaystyle\int\limits_c^d f(x,y)dy,$

podobnie, zamiast $\displaystyle \displaystyle\displaystyle\int\limits_a^b\left(\displaystyle\int\limits_c^d\left(\displaystyle\int\limits_p^qf(x,y,z)dz\right)dy\right)dx,$ napiszemy

$\displaystyle \displaystyle\int\limits_a^b dx\displaystyle\int\limits_c^d dy\displaystyle\int\limits_p^qf(x,y,z)dz.$

Przykład 11.5.

Policzyć całkę

$\displaystyle \iint\limits_K (xy-y^2)dxdy,$

gdzie $\displaystyle K=[1,2]\times[3,4].$

Nasza funkcja jest ciągła na prostokącie, zatem możemy zastosować twierdzenie Fubiniego. Otrzymamy

$\displaystyle \begin{align*} \iint\limits_K xy-y^2 dxdy & = \displaystyle\int\limits_1^2dx\displaystyle\int\limits_3^4(xy-y^2)dy \ =\ \displaystyle\int\limits_1^2\left((x\frac{y^2}{2}-\frac{y^3}{3})\bigg|_3^4\right)dx \\ & =\displaystyle\int\limits_1^2\left(\frac{7x}{2}-\frac{37}{3}\right)dx \ =\ \left(\frac{7x^2}{4}-\frac{37x}{3}\right)\bigg|_1^2=-\frac{85}{12}. \end{align*}$

wykresy

wykres a

Am2.m11.w.r02

Najczęściej spotykanymi obszarami, po których będziemy chcieli całkować, nie są jednak kostki, tylko tak zwane zbiory normalne. Zdefiniujmy:

Definicja 11.6.

(1) Niech $\displaystyle \displaystyle [a,b]$ będzie odcinkiem w $\displaystyle \displaystyle\mathbb{R},$ niech $\displaystyle h_1:[a,b]\to \mathbb{R}$ i $\displaystyle h_2:[a,b]\to \mathbb{R}$ będą funkcjami ciągłymi na $\displaystyle \displaystyle [a,b]$ takimi, że $\displaystyle h_1(x) < h_2(x), x\in [a,b].$ Wtedy zbiór

$\displaystyle D := \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 : a\leq x\leq b, h_1(x)\leq y\leq h_2(x)\}$

nazywamy zbiorem normalnym względem osi $\displaystyle Ox.$

(2) Analogicznie definiujemy zbiór normalny względem osi $\displaystyle Oy.$

(3) Zbiór $\displaystyle D$ zawarty w $\displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^3$ jest normalny względem współrzędnej $\displaystyle z,$ jeśli istnieje pewien zbiór normalny $\displaystyle A$ zawarty w płaszczyźnie $\displaystyle xy$ oraz istnieją dwie funkcje $\displaystyle g_1, g_2 :A\to\mathbb{R}$ takie, że $\displaystyle g_1(x,y) < g_2(x,y)$ oraz

$\displaystyle D \ =\ \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 : (x,y)\in A, g_1(x,y) \ \leq\ z\leq g_2(x,y)\}.$

(4) Analogicznie definiujemy zbiór normalny względem pozostałych współrzędnych.

(5) Zbiorem normalnym będziemy nazywać zbiór normalny względem jakiejś współrzędnej. Zbiorem regularnym będziemy nazywać zbiór, który można podzielić na sumę zbiorów regularnych o rozłącznych wnętrzach.

wykresy x3

Definicje normalności i regularności można oczywiście uogólnić na więcej wymiarów, ale nie będziemy tego robić.

Jak już wspomnieliśmy, w praktyce najczęściej będziemy chcieli całkować funkcje po zbiorach normalnych. Wypiszmy więc, jak w przypadku takich zbiorów wygląda twierdzenie Fubiniego.

Niech zatem $\displaystyle A$ będzie zbiorem normalnym w $\displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^2$ zadanym jako

$\displaystyle A :=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 : a\leq x\leq b, h_1(x)\leq y\leq h_2(x)\},$

gdzie $\displaystyle h_1,h_2$ są jak w definicji. Niech $\displaystyle D$ będzie zbiorem normalnym w $\displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^3$ danym jako

$\displaystyle D=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 : (x,y)\in A, g_1(x,y)\leq z\leq g_2(x,y)\},$

gdzie $\displaystyle g_1,g_2$ są jak w definicji. Mamy:

Twierdzenie 11.7. [Twierdzenie Fubiniego dla zbiorów normalnych w $\displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^2$ i $\displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^3$)]

(1) Jeśli $\displaystyle f:A\to \mathbb{R}$ jest funkcją ciągłą, to

$\displaystyle \iint\limits_Af(x,y)dxdy \ =\ \displaystyle\int\limits_a^bdx\displaystyle\int\limits_{h_1(x)}^{h_2(x)}f(x,y)dy.$

(2) Jeśli $\displaystyle f:D\to \mathbb{R}$ jest funkcją ciągłą, to

$\displaystyle \iiint\limits_D f(x,y,z)dxdydz \ =\ \displaystyle\int\limits_a^bdx\displaystyle\int\limits_{h_1(x)}^{h_2(x)}dy\displaystyle\int\limits_{g_1(x,y)}^{g_2(x,y)}f(x,y,z)dz.$

Dowód tej wersji Twierdzenia Fubiniego można dostać jako wniosek z ogólnej wersji twierdzenia (dowodząc, że zbiory regularne są J-mierzalne) albo można udowodnić to twierdzenie bezpośrednio, nieco modyfikując dowód twierdzenia 11.3.

Możemy teraz policzyć następującą całkę.

wykresy

Przykład 11.8.

Policzyć całkę

$\displaystyle \iint\limits_T (x^2y) dxdy,$

gdzie $\displaystyle T$ jest trójkątem ograniczonym prostymi: $\displaystyle y=x, y=2x-3, y=1.$

Zauważmy, że zbiór $\displaystyle T$ jest normalny względem osi $\displaystyle Ox.$ Ponieważ jednak funkcja ograniczająca ten zbiór od dołu jest sklejeniem dwóch funkcji ($\displaystyle y=1$ oraz $\displaystyle y=2x-3$), to wygodniej będzie podzielić $\displaystyle T$ na dwa zbiory normalne (o rozłącznych wnętrzach). Pierwszy z tych zbiorów to trójkąt $\displaystyle T_1$ ograniczony prostymi: $\displaystyle y=x, y=1, x=2,$ a drugi to trójkąt $\displaystyle T_2$ ograniczony prostymi: $\displaystyle y=x, y=2x-3, x=2.\displaystyle T$ jest więc zbiorem regularnym. Z twierdzenia Fubiniego mamy:

$\begin{array}{lll} \displaystyle \iint\limits_Tf(x,y)dxdy & = & \displaystyle \iint\limits_{T_1}f(x,y)dxdy+\iint\limits_{T_2}f(x,y)dxdy \\ & = & \displaystyle\int\limits_1^2dx\displaystyle\int\limits_1^xx^2ydy+\displaystyle\int\limits_2^3dx\displaystyle\int\limits_{2x-3}^x x^2y dy \\ & = & \displaystyle\int\limits_1^2\bigg(\frac{1}{2}x^2y^2\bigg)\bigg|_1^x dx+\displaystyle\int\limits_2^3\displaystyle\int\limits_{2x-3}^x \bigg(\frac{1}{2}x^2y^2\bigg)\bigg|_{2x-3}^x dx \\ & = & \displaystyle\int\limits_1^2\bigg(\frac{1}{2}x^2(x^2-1)\bigg)dx+\displaystyle\int\limits_2^3\bigg(-\frac{3}{2}x^2(x^2-4x+3)\bigg)dx \\ & = & \bigg(\frac{1}{10}x^5-\frac{1}{6}x^3\bigg)\bigg|_1^2+\bigg(\frac{-3}{10}x^5+\frac{3}{2}x^4-\frac{3}{2}x^3\bigg)\bigg|_2^3 \ =\ \frac{57}{10}+\frac{29}{15} \ =\ \frac{229}{30}. \end{array}$

wykresy

Wykres funkcji $f(x,y)=x^2y$ nad $T$