wykres

Krzywa w $\mathbb{R}^2$

Przypomnijmy definicję krzywej zwyczajnej (patrz Analiza matematyczna 1 definicja 15.1.).

Niech $\displaystyle \displaystyle [a,b]$ będzie przedziałem w $\displaystyle \displaystyle\mathbb{R}.$ Weźmy ciągłą funkcję

$\displaystyle \gamma : [a,b]\ni t \to (\varphi(t),\psi(t))\in \mathbb{R}^2.$

Załóżmy, że funkcja $\displaystyle \displaystyle\gamma$ jest różnowartościowa na $\displaystyle \displaystyle (a, b]$ i na $\displaystyle \displaystyle [a,b).$ (Możliwe jest więc, że $\displaystyle \displaystyle\gamma(a)=\gamma(b)$).

Definicja 12.1.

Przy założeniach jak wyżej, krzywą zwyczajną $\displaystyle K$ będziemy nazywać obraz odcinka $\displaystyle \displaystyle [a,b]$ przez $\displaystyle \displaystyle\gamma,$

$\displaystyle K := \{\gamma(t)\in \mathbb{R}^2 | t\in[a,b]\}.$

Funkcję $\displaystyle \displaystyle\gamma$ nazywamy parametryzacją krzywej $\displaystyle K.$

W dalszych rozważaniach będziemy zajmować się tylko krzywymi zwyczajnymi (czyli takimi, które nie mają punktów wielokrotnych, więc będziemy pisać "krzywa", zakładając, że jest to krzywa zwyczajna.

Uwaga 12.2.

Krzywa $\displaystyle K$ może mieć różne parametryzacje.

Przykład 12.3.

Jako krzywą $\displaystyle K$ weźmy odcinek w $\displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^2$ łączący punkt $\displaystyle \displaystyle (0,0)$ z punktem $\displaystyle \displaystyle (1,1).$ Oto przykłady parametryzacji $\displaystyle K$:

(1) $\displaystyle \displaystyle\gamma_I: [0,1]\to \mathbb{R}^2, \ \gamma_I(t)=(t,t),$

(2) $\displaystyle \displaystyle\gamma_{II}: [0,\frac{1}{2}]\to \mathbb{R}^2, \ \gamma_{II}(t)=(2t,2t),$

(3) $\displaystyle \displaystyle\gamma_{III}: [0,1]\to \mathbb{R}^2, \ \gamma_{III}(t)=(1-t,1-t).$

wykres x2

Definicja 12.4.

(1) Krzywą $\displaystyle K$ nazywamy łukiem gładkim, jeśli istnieje parametryzacja $\displaystyle \displaystyle\gamma=(\varphi,\psi): [a,b]\to\mathbb{R}^2$ taka, że pochodne $\displaystyle \displaystyle\varphi'$ i $\displaystyle \displaystyle\psi'$ są ciągłe oraz zachodzi

$\displaystyle (\varphi'(t))^2+(\psi'(t))^2>0,$ dla każdego $\displaystyle t\in [a,b].$

(2) Krzywą $\displaystyle K$ nazywamy regularną, jeśli można ją podzielić na skończoną ilość łuków gładkich, to znaczy, jeśli istnieje parametryzacja $\displaystyle \displaystyle\gamma : [a,b]\to\mathbb{R}^2$ i istnieje podział odcinka $\displaystyle \displaystyle [a,b]$ punktami $\displaystyle a=t_0 < t_1 < \ldots < t_s=b$ taki, że $\displaystyle \displaystyle\gamma_{[t_i,t_{i+1}]}, i=0,\ldots,s-1$ parametryzuje łuk gładki.

(3) Jeśli $\displaystyle \displaystyle\gamma(a)=\gamma(b)$, to krzywą nazywamy zamkniętą.

wykres

Weźmy teraz krzywą $\displaystyle K$ i jej parametryzację $\displaystyle \displaystyle\gamma : [a,b]\to\mathbb{R}^2.$ Ustalmy $\displaystyle t_1,t_2\in [a,b]$ takie, że $\displaystyle t_1 < t_2$ i oznaczmy $\displaystyle \displaystyle\gamma(t_1)=P_1, \gamma(t_2)=P_2.$ Niech $\displaystyle \displaystyle\tilde{\gamma}:[\alpha,\beta]\to \mathbb{R}^2$ będzie inną parametryzacją krzywej $\displaystyle K.$

Definicja 12.5.

(1) Mówimy, że $\displaystyle \displaystyle\tilde{\gamma}$ zadaje na $\displaystyle K$ tę samą orientację co $\displaystyle \displaystyle\gamma$, jeśli dla $\displaystyle q_1, q_2\in[\alpha,\beta]$ takich, że $\displaystyle \displaystyle\tilde{\gamma}(q_1)=P_1$ i $\displaystyle \tilde{\gamma}(q_2)=P_2$ mamy $\displaystyle q_1 < q_2.$
(Oznacza to, że dla $\displaystyle \displaystyle\tau$ przebiegających wartości od $\displaystyle \displaystyle\alpha$ do $\displaystyle \displaystyle\beta,$ wartości $\displaystyle \displaystyle\tilde{\gamma}(\tau)$ "wędrują" po krzywej $\displaystyle K$ od punktu $\displaystyle A$ do punktu $\displaystyle B,$ tak samo jak wartości $\displaystyle \displaystyle\gamma(t)$ dla $\displaystyle t$ przebiegającego od $\displaystyle a$ do $\displaystyle b$).

(2) Mówimy, że $\displaystyle \displaystyle\tilde{\gamma}$ zadaje na $\displaystyle K$ orientację przeciwną niż $\displaystyle \displaystyle\gamma$ jeśli dla $\displaystyle q_1, q_2 \in [\alpha,\beta]$ takich, że $\displaystyle \displaystyle\tilde{\gamma}(q_1)=P_1$ i $\displaystyle \displaystyle\tilde{\gamma}(q_2)=P_2$ mamy $\displaystyle q_1>q_2.$

(Tym razem dla $\displaystyle \displaystyle\tau$ przebiegających wartości od $\displaystyle \displaystyle\alpha$ do $\displaystyle \displaystyle\beta,$ wartości $\displaystyle \displaystyle\tilde{\gamma}(\tau)$ "wędrują" po krzywej $\displaystyle K$ od punktu $\displaystyle B$ do punktu $\displaystyle A$).

Jeśli $\displaystyle A\neq B$, to jako $\displaystyle t_1, t_2$ możemy wziąć po prostu $\displaystyle a$ i $\displaystyle b.$

Przykład 12.6.

Wróćmy do trzech parametryzacji odcinka, pokazanych w przykładzie powyżej. Łatwo zauważyć, że $\displaystyle \displaystyle\gamma_{II}$ zadaje na $\displaystyle K$ tę samą orientację co $\displaystyle \displaystyle\gamma_I$, a $\displaystyle \displaystyle\gamma_{III}$ zadaje orientację przeciwną niż $\displaystyle \displaystyle\gamma_{I}$ (i $\displaystyle \displaystyle\gamma_{II}$); weźmy na przykład $\displaystyle t_1=0, t_2=1,$ wtedy $\displaystyle \displaystyle\gamma_I(t_1)=(0,0), \gamma_I(t_2)=(1,1)$ oraz mamy $\displaystyle \displaystyle\gamma_{II}(0)=(0,0), \gamma_{II}\bigg(\frac{1}{2}\bigg)=(1,1)$ i $\displaystyle 0 < \frac{1}{2}.$ Dla $\displaystyle \displaystyle\gamma_{III}$ natomiast, $\displaystyle \displaystyle\gamma_{III}(1)=(0,0)$ i $\displaystyle \displaystyle\gamma_{III}(0)=(1,1),\displaystyle 1>0,$ a więc $\displaystyle \displaystyle\gamma_{III}$ zadaje orientację przeciwną niż $\displaystyle \displaystyle\gamma_I,$ (patrz rysunek do przykładu 12.3.)

Możemy teraz zdefiniować całkę krzywoliniową zorientowaną.

Definicja 12.7.

Niech $\displaystyle K$ będzie krzywą w $\displaystyle \mathbb{R}^2$ daną przez parametryzację $\displaystyle \displaystyle\gamma =(\varphi,\psi) : [a,b]\to\mathbb{R}^2.$ Niech $\displaystyle F$ będzie odwzorowaniem ciągłym

$\displaystyle F \ =\ (P,Q): K\to \mathbb{R}^2.$

Niech $\displaystyle \displaystyle\circ$ oznacza iloczyn skalarny w $\displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^2,$ przez $\displaystyle \displaystyle (x,y)$ oznaczymy zmienne w $\displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^2.$ Wówczas całkę

$\displaystyle \displaystyle\int\limits_a^b(F(\gamma(t))\circ\gamma'(t))dt$

nazywamy całką krzywoliniową zorientowaną po krzywej $\displaystyle K$ i oznaczamy

$\displaystyle \displaystyle\int\limits_KF\circ d\textbf{x},$

gdzie $\displaystyle d\textbf{x}=(dx,dy).$

wykres

Zauważmy, że

$\begin{array}{lll}\displaystyle F(\gamma(t))\circ\gamma'(t) \ & = & \displaystyle (P(\varphi(t),\psi(t)),Q(\varphi(t),\psi(t)))\circ(\varphi'(t),\psi'(t)) \\ \ & = & \displaystyle P(\varphi(t),\psi(t))\varphi'(t)+Q(\varphi(t),\psi(t))\psi'(t), \end{array}$

wszystkie funkcje występujące w tym wyrażeniu są z założenia ciągłe, zatem istnieje całka (Riemanna) po przedziale $\displaystyle \displaystyle [a,b]$ z $\displaystyle F(\gamma(t))\circ\gamma'(t).$

Uwaga 12.8.

Zapis i oznaczenia
Całkę krzywoliniową $\displaystyle \displaystyle\displaystyle\int\limits_KF\circ d\textbf{x}$ dla krzywej w $\displaystyle K\subset \mathbb{R}^2$ zapisuje się najczęściej jako

$\displaystyle \displaystyle\int\limits_KP(x,y)dx+Q(x,y)dy,$

a dla krzywej zamkniętej $\displaystyle K$

$\displaystyle \oint_KP(x,y)dx+Q(x,y)dy.$

Wykażemy teraz następujące stwierdzenie.

Stwierdzenie 12.9.

Niech $\displaystyle K,\displaystyle F$ i $\displaystyle \displaystyle\gamma$ będą jak w definicji 12.7. Niech $\displaystyle \displaystyle\hat{\gamma}:[\alpha,\beta]\to \mathbb{R}^2$ będzie inną parametryzacją krzywej $\displaystyle K.$ Jeśli $\displaystyle \displaystyle\hat{\gamma}$ zadaje tę samą orientację krzywej $\displaystyle K$ co $\displaystyle \displaystyle\gamma$, to

$\displaystyle \displaystyle\int\limits_K\mathbf{F}od\mathbf{x}=\displaystyle\int\limits_a^bF(\hat{\gamma}(t))\circ\hat{\gamma}'(t)dt;$

jeśli natomiast $\displaystyle \displaystyle\hat{\gamma}$ zadaje orientację krzywej $\displaystyle K$ przeciwną niż $\displaystyle \displaystyle\gamma$, to

$\displaystyle \displaystyle\int\limits_K\mathbf{F}od\mathbf{x}=-\displaystyle\int\limits_a^bF(\hat{\gamma}(t))\circ\hat{\gamma}'(t)dt.$

Stwierdzenie to mówi zatem, że dla parametryzacji dających tę samą orientację krzywej, całki krzywoliniowe zorientowane są równe. Dla parametryzacji dających orientację przeciwną, całka krzywoliniowa zorientowana zmienia znak - i stąd nazwa "zorientowana".

Warto tu zauważyć, że w takim razie - z dokładnością do znaku - całka krzywoliniowa nie zależy od parametryzacji, zależy tylko od krzywej jako zbioru i od odwzorowania $\displaystyle F$.

Dowód 12.9.

Weźmy parametryzację krzywej $\displaystyle K,\displaystyle \displaystyle\hat{\gamma}:[\alpha,\beta]\to \mathbb{R}^2$ dającą tę samą orientację co $\displaystyle \displaystyle\gamma.$ Musimy wykazać, że

$\displaystyle \displaystyle\int\limits_a^bF(\gamma(t))\circ\gamma'(t)dt \ =\ \displaystyle\int\limits_{\alpha}^{\beta}F(\hat{\gamma}(t))\circ\hat{\gamma}'(t)dt.$

Oznaczmy przez $\displaystyle \displaystyle\varphi(t):=\gamma^{-1}(\hat{\gamma}(t)).$ Wtedy $\displaystyle \displaystyle\hat{\gamma}(t)=\gamma(\varphi(t))$ i $\displaystyle \displaystyle\hat{\gamma}'(t)=\gamma'(\varphi(t))\varphi'(t).$ A zatem :

$\displaystyle \displaystyle\int\limits_{\alpha}^{\beta}F(\hat{\gamma}(t))\circ\hat{\gamma}'(t) \ =\ \displaystyle\int\limits_{\alpha}^{\beta}F(\gamma(\varphi(t)))\circ\gamma'(\varphi(t))\varphi'(t)dt.$ Skorzystamy z twierdzenia o zmianie zmiennych w całce Riemanna (Analiza matematyczna 1 twierdzenie 14.19). Przyjmijmy $\displaystyle s=\varphi(t),$ wtedy $\displaystyle \displaystyle\varphi[\alpha,\beta]=[a,b]$ i mamy

$\displaystyle \displaystyle\int\limits_{\alpha}^{\beta}F(\gamma(\varphi(t)))\circ\gamma'(\varphi(t))\varphi'(t)dt=\displaystyle\int\limits_a^bF(\gamma(s))\gamma'(s)ds,$
co należało dowieść.

Niech teraz $\displaystyle \displaystyle\hat{\gamma}:[\alpha,\beta]\to \mathbb{R}^2$ będzie parametryzacją $\displaystyle K$ dającą orientację przeciwną $\displaystyle \displaystyle\gamma.$ Mamy wykazać, że

$\displaystyle \displaystyle\int\limits_a^bF(\gamma(t))\circ\gamma'(t)dt \ =\ -\displaystyle\int\limits_{\alpha}^{\beta}F(\hat{\gamma}(t))\circ\hat{\gamma}'(t)dt.$

Zdefiniujmy parametryzację $\displaystyle \displaystyle\tilde{\gamma}$ następująco:

$\displaystyle \tilde{\gamma}:[-b,-a]\ni t \to \hat\gamma(-t)\in K.$

Nietrudno zobaczyć, że jeśli $\displaystyle \displaystyle\hat{\gamma}$ daje orientację przeciwną niż $\displaystyle \displaystyle\gamma$, to $\displaystyle \displaystyle\tilde{\gamma}$ daje tę samą orientację co $\displaystyle \displaystyle\gamma.$ A zatem z pierwszej części dowodu mamy

$\displaystyle \displaystyle\int\limits_a^bF(\gamma(t))\circ\gamma'(t)dt \ =\ \displaystyle\int\limits_{-b}^{-a}F(\tilde{\gamma}(s))\circ\tilde{\gamma}'(s)ds \ =\ \displaystyle\int\limits_{-b}^{-a}F(\hat{\gamma}(-s))\circ(\hat{\gamma}(-s))'ds.$

Zauważmy, że $\displaystyle \displaystyle (\hat{\gamma}(-s))'=-\hat{\gamma}'(-s).$ Przyjmując $\displaystyle t=-s,$ mamy zatem:

$\displaystyle \displaystyle\int\limits_{-b}^{-a}F(\hat{\gamma}(-s))\circ(\hat{\gamma}(-s))'ds \ =\ \displaystyle\int\limits_{b}^{a}F(\hat{\gamma}(t))\circ(-\hat{\gamma}'(t))d(-t) \ =\ -\displaystyle\int\limits_{a}^{b}F(\hat{\gamma}(t))\circ\hat{\gamma}'(t)dt.$

Uwaga 12.10.

(1) Niech $\displaystyle \displaystyle\gamma :[a,b]\to \mathbb{R}^2$ będzie parametryzacją krzywej $\displaystyle K.$ Przez $\displaystyle -K$ będziemy oznaczać krzywą $\displaystyle K$ z parametryzacją $\displaystyle \displaystyle\hat\gamma :[-b,-a]\to \mathbb{R}^2, \hat{\gamma}(t):=\gamma(-t)$ ($\displaystyle \displaystyle\hat{\gamma}$ zadaje orientację przeciwną niż $\displaystyle \displaystyle\gamma$).

(2) Jeśli krzywa $\displaystyle K_1$ ma parametryzację $\displaystyle \displaystyle\gamma_1 :[a,b]\to \mathbb{R}^2$, a krzywa $\displaystyle K_2$ parametryzację $\displaystyle \displaystyle\gamma_2 :[b,c]\to \mathbb{R}^2$ oraz $\displaystyle \gamma_1(b)=\gamma_2(b)$, to przez $\displaystyle K_1+K_2$ będziemy oznaczać krzywą o parametryzacji

$\displaystyle \gamma: [a,c]\ni t \to \gamma_1(t), \ t\in[a,b]$
$\displaystyle \gamma_2(t)\ t\in [b,c].$

(Czyli $\displaystyle K_1+K_2$ jest "sklejeniem" krzywych $\displaystyle K_1$ i $\displaystyle K_2$ w ten sposób, że koniec $\displaystyle K_1$ łączy się z początkiem $\displaystyle K_2$).

Przykład 12.11.

(1) Policzyć całkę

$\displaystyle \displaystyle\int\limits_K(x-y)dx+(x+y)dy,$

gdzie $\displaystyle K$ jest górną połową okręgu o promieniu $\displaystyle 1.$

Górna połowa okręgu o promieniu $\displaystyle 1$ jest sparametryzowana przez

$\displaystyle \gamma :[0,\pi)\ni t \to (\cos t, \sin t)\in \mathbb{R}^2.$

A zatem zgodnie z definicją całki krzywoliniowej

$\displaystyle \begin{align*} \displaystyle\int\limits_K(x-y)dx+(x+y)dy & = \displaystyle\int\limits_0^{\pi}((\cos t-\sin t)(\cos t)'+(\cos t+\sin t)(\sin t)')dt \\ & = \displaystyle\int\limits_0^{\pi}((\cos t-\sin t)(-\sin t)+(\cos t+\sin t)\cos t)dt \displaystyle\int\limits_0^{\pi}dt =\pi. \end{align*}$

(2) Policzyć całkę

$\displaystyle \displaystyle\int\limits_K ydx+xdy,$

gdzie $\displaystyle K$ jest okręgiem o promieniu $\displaystyle R.$

Parametryzacją okręgu o promieniu $\displaystyle R$ jest

$\displaystyle \gamma :[0,2\pi)\ni t \to (R\cos t, R\sin t)\in \mathbb{R}^2,$

zatem

$\displaystyle \begin{align*} \displaystyle\int\limits_Kydx+xdy & = \displaystyle\int\limits_0^{2\pi}((R\sin t)(-R\sin t)+(R\cos t)(R\cos t))dt \\ & =R^2\displaystyle\int\limits_0^{2\pi}(\cos^2t-\sin^2t)dt = R^2\displaystyle\int\limits_0^{2\pi}\cos 2tdt=\frac{R^2}{2}\sin{2t}\bigg|_0^{2\pi}=0. \end{align*}$

(3) Policzyć całkę

$\displaystyle \displaystyle\int\limits_K\cos^2x dy+\sin^2y dx,$

gdzie $\displaystyle K$ jest odcinkiem w $\displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^2$ łączącym punkt $\displaystyle \displaystyle (0,0)$ z Punktem $\displaystyle \displaystyle (1,1).$

Jak już wiemy, odcinek $\displaystyle K$ możemy sparametryzować za pomocą:

$\displaystyle \gamma:[0,1]\ni t \to (t,t)\in K\subset \mathbb{R}^2.$

Stąd

$\displaystyle \displaystyle\int\limits_K\cos^2x dy+\sin^2y dx=\displaystyle\int\limits_0^1(\cos^2 t\cdot 1 +\sin^2 t\cdot 1)d t=\displaystyle\int\limits_0^1dt=1.$

wykres

Dodatnia orientacja krzywej $K$

Sformułujemy teraz i udowodnimy twierdzenie, które mówi o związku całki krzywoliniowej z całką podwójną. Potrzebne nam będzie pojęcie krzywej zamkniętej "zorientowanej dodatnio". Weźmy $\displaystyle K,$ krzywą zamkniętą w $\displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^2,$ ograniczającą zbiór $\displaystyle D.$ Wybierzmy parametryzację $\displaystyle \displaystyle\gamma$ krzywej $\displaystyle K.$ Wybór parametryzacji wyznacza kierunek obiegu krzywej - z danego punktu poruszamy się w kierunku pokazywanym przez wektor styczny $\displaystyle \displaystyle [\varphi'(t),\psi'(t)].$ Umawiamy się, że $\displaystyle K$ jest zorientowana dodatnio, jeśli przy obiegu $\displaystyle K$ zgodnie z kierunkiem wyznaczonym przez parametryzację zbiór $\displaystyle D$ zostaje "po naszej lewej stronie".

Weźmy teraz krzywą $\displaystyle K$ zorientowaną dodatnio ograniczającą zbiór $\displaystyle D\subset \mathbb{R}^2.$ Niech $\displaystyle \displaystyle\overline{D}$ oznacza $\displaystyle D\cup K.$ (Zapisujemy także $\displaystyle K=\partial D,\displaystyle K$ jest brzegiem $\displaystyle D$). Załóżmy, że zbiór $\displaystyle D$ jest normalny ze względu na obie osie. Weźmy dwie funkcje $\displaystyle P, Q : \overline{D}\to \mathbb{R},$ ciągłe w $\displaystyle \displaystyle\overline{D}$ i mające ciągłe pochodne cząstkowe w $\displaystyle D$. Możemy teraz wypowiedzieć twierdzenie.

Twierdzenie 12.12. [Twierdzenie Greena]

Niech krzywa $\displaystyle K,$ zbiór $\displaystyle D$ oraz funkcje $\displaystyle P(x,y)$ i $\displaystyle Q(x,y)$ będą jak wyżej. Wtedy:

$\displaystyle \oint_K Pdx+Qdy \ =\ \iint\limits_D(\frac{\partial Q}{\partial x} -\frac{\partial P}{\partial y} )dxdy.$

Dowód 12.12.

Wykażemy, że

$\displaystyle \oint_K P(x,y)dx \ =\ \iint\limits_D -\frac{\partial P}{\partial y}(x,y)dxdy$

i

$\displaystyle \oint_K Q(x,y) dy \ =\ \iint\limits_D\frac{\partial Q}{\partial x}(x,y) dxdy.$

Skoro zbiór $\displaystyle D$ jest normalny względem osi $\displaystyle Ox$, to istnieje przedział $\displaystyle \displaystyle [a,b]\subset \mathbb{R}$ i dwie funkcje $\displaystyle y_1(x), y_2(x)$ takie, że

$\displaystyle D \ =\ \{(x,y)\in \mathbb{R}^2 : a\leq x\leq b, y_1(x)\leq y \leq y_2(x)\}.$

Oznaczmy przez $\displaystyle K_1$ wykres funkcji $\displaystyle y_1(x)$, a przez $\displaystyle K_2$ wykres funkcji $\displaystyle y_2(x).$ Wówczas

$\displaystyle K \ =\ K_1+(-K_2),$

zatem

$\displaystyle \iint\limits_D \frac{\partial P}{\partial y}(x,y)dxdy \ =\ \displaystyle\int\limits_a^b \displaystyle\int\limits_{y_1(x)}^{y_2(x)}\frac{\partial P}{\partial y}(x,y)dxdy \ =\ \displaystyle\int\limits_a^b(P(x,y_2(x))-P(x,y_1(x)))dx.$

Korzystając teraz z definicji całki krzywoliniowej, mamy:

$\displaystyle \displaystyle\int\limits_{K_2}P(x,y)dx=\displaystyle\int\limits_a^bP(x,y_2(x))dx$

oraz

$\displaystyle \displaystyle\int\limits_{K_1}P(x,y)dx=\displaystyle\int\limits_a^bP(x,y_1(x))dx,$

a zatem

$\displaystyle \begin{align*} \displaystyle\int\limits_a^b(P(x,y_2(x))-P(x,y_1(x)))dx & =\displaystyle\int\limits_{K_2}P(x,y)dx-\displaystyle\int\limits_{K_1}P(x,y)dx \\ & = -\displaystyle\int\limits_{-K_2}P(x,y)dx-\displaystyle\int\limits_{K_1}P(x,y)dx=-\oint_KP(x,y)dx. \end{align*}$

Analogicznie, skoro $\displaystyle D$ jest normalny względem osi $\displaystyle Oy$, to istnieje przedział $\displaystyle \displaystyle [c,d]\subset \mathbb{R}$ i dwie funkcje $\displaystyle x_1(y), x_2(y)$ takie, że

$\displaystyle D \ =\ \{(x,y)\in \mathbb{R}^2 : c\leq y\leq d, x_1(y)\leq x \leq x_2(y)\}.$

Oznaczmy przez $\displaystyle L_1$ wykres funkcji $\displaystyle x_1(y)$, a przez $\displaystyle L_2$ wykres funkcji $\displaystyle x_2(y).$ Wówczas

$\displaystyle K \ =\ L_1+(-L_2),$

zatem

$\displaystyle \iint\limits_D \frac{\partial Q}{\partial x}(x,y)dxdy \ =\ \displaystyle\int\limits_c^d dy \displaystyle\int\limits_{x_1(y)}^{x_2(y)}\frac{\partial Q}{\partial x}(x,y)dx \ =\ \displaystyle\int\limits_c^d(Q(x_2(y),y)-Q(x_1(y),y))dy=$

analogicznie jak wyżej

$\displaystyle =\displaystyle\int\limits_{L_2}Q(x,y)dx-\displaystyle\int\limits_{L_1}Q(x,y)dx= \displaystyle \oint\limits_{K} Q(x,y)dx.$

Uwaga 12.13.

Zauważmy, że twierdzenie Greena jest prawdziwe także dla zbiorów, które możemy podzielić na skończoną sumę zbiorów normalnych względem obu osi.

Dowód 12.13.

Wystarczy wykazać uwagę dla zbioru $\displaystyle D$ będącego sumą dwóch zbiorów normalnych względem obu osi $\displaystyle D=D_1\cup D_2.$ Niech $\displaystyle L$ będzie krzywą dzielącą $\displaystyle D$ na $\displaystyle D_1\cup D_2,$ niech $\displaystyle K_1=\partial D_1\setminus L, K_2=\partial D\setminus L.$ Zauważmy, że jeśli $\displaystyle \displaystyle\partial D_1$ i $\displaystyle \displaystyle\partial D_2$ zorientujemy dodatnio, to krzywą $\displaystyle L$ przebiegamy raz w jedną, raz w drugą stronę, możemy zatem napisać $\displaystyle \displaystyle\partial D=K=K_1+L+K_2-L.$

Wtedy

$\begin{array}{lll} \displaystyle\iint\limits_D(\frac{\partial Q}{\partial x} -\frac{\partial P}{\partial y} )dxdy & = & \displaystyle \iint\limits_{D_1}(\frac{\partial Q}{\partial x} -\frac{\partial P}{\partial y} )dxdy+\iint\limits_{D_2}(\frac{\partial Q}{\partial x} -\frac{\partial P}{\partial y} )dxdy \\ & = & \displaystyle\int\limits_{K_1+L}Pdx+Qdy+ \displaystyle\int\limits_{K_2-L}Pdx+Qdy=\displaystyle\int\limits_KPdx+Qdy. \end{array}$

Przykład 12.14.

(1) Policzyć jeszcze raz całkę

$\displaystyle \displaystyle\int\limits_K ydx+xdy,$

gdzie $\displaystyle K$ jest okręgiem o promieniu $\displaystyle R,$ tym razem korzystając z twierdzenia Greena.

Oznaczmy przez $\displaystyle D$ koło o promieniu $\displaystyle R.$ Teraz $\displaystyle P(x,y)=y, Q(x,y)+x.$ Z twierdzenia Greena mamy:

$\displaystyle \displaystyle\int\limits_K ydx+xdy \ =\ \iint\limits_D(1-1)dxdy=\iint\limits_D 0 dxdy \ =\ 0.$

Wykażemy jeszcze następującą uwagę.

Uwaga 12.15.

Pole powierzchni obszaru $\displaystyle D$ ograniczonego krzywą $\displaystyle K$ wyraża się za pomocą całek krzywoliniowych następująco:

$\displaystyle |D| \ =\ \oint_Kxdy=-\oint_Kydx$

albo

$\displaystyle |D| \ =\ \frac{1}{2}\oint_Kxdy-ydx.$

Dowód 12.15.

Faktycznie, $\displaystyle |D|=\displaystyle\iint\limits_D1dxdy,$ z twierdzenia Greena mamy $\displaystyle \displaystyle\iint\limits_D1 dxdy=\displaystyle\oint\limits_{K}x dy = \displaystyle-\oint\limits_{K}y dx.$

Powiemy jeszcze kilka słów o polach potencjalnych. Z polami potencjalnymi spotkaliśmy się już na wykładzie poświęconym funkcjom wielu zmiennych. Przypomnijmy, że polem wektorowym nazywamy odwzorowanie z $\displaystyle \mathbb{R}^N$ w $\displaystyle \mathbb{R}^N$. (Nazwa bierze się stąd, że każdemu punktowi z $\displaystyle \mathbb{R}^N$ przyporządkowujemy wartość odwzorowania w tym punkcie, a więc wektor z $\displaystyle \mathbb{R}^N$).

Niech teraz $\displaystyle U\subset \mathbb{R}^2$ będzie zbiorem, którego brzegiem jest jedna krzywa (zwyczajna) zamknięta $\displaystyle K$, to znaczy $\displaystyle K=\partial U$. (Taki zbiór będziemy nazywać zbiorem jednospójnym. Przykładem zbioru, który jest jednospójny jest koło. Koło bez środka nie jest zbiorem jednospójnym).

Na $\displaystyle U$ określmy odwzorowanie (pole wektorowe)

$\displaystyle F:\ U\to \mathbb{R}^2,$

$\displaystyle F(x,y) \ =\ (P(x,y),Q(x,y))\in \mathbb{R}^2.$

Faktycznie to odwzorowanie każdemu punktowi $\displaystyle \displaystyle (x,y)\in U$ przyporządkowuje wektor $\displaystyle \displaystyle (P(x,y),Q(x,y))$ z $\displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^2.$

Będziemy zakładać, że nasze pole wektorowe $\displaystyle F$ jest ciągłe i ma ciągłe pochodne cząstkowe w $\displaystyle U.$

Definicja 12.16.

Mówimy, że pole wektorowe jest polem potencjalnym, jeśli istnieje funkcja (zwana potencjałem pola) $\displaystyle \displaystyle\varrho : U\to \mathbb{R}$ taka, że

$\displaystyle (P(x,y),Q(x,y)) \ =\ (\frac{\partial \varrho}{\partial x}(x,y), \frac{\partial \varrho}{\partial y}(x,y)),$

co zapisujemy krótko

$\displaystyle F\ =\ \nabla\varrho.$

Uwaga 12.17.

Zauważmy, że jeśli pole jest potencjalne, to z faktu, że $\displaystyle P=\displaystyle\frac{\partial \varrho}{\partial x}$ i $\displaystyle Q=\displaystyle\frac{\partial \varrho}{\partial y},$ wynika, że $\displaystyle \displaystyle\frac{\partial P}{\partial y} \textbf{=}\frac{\partial Q}{\partial x}$, bo oba wyrażenia są równe $\displaystyle \displaystyle\frac{\partial^2 \varrho}{\partial x\partial y}$.

Korzystając z twierdzenia Greena, możemy wykazać, że w polu potencjalnym całka krzywoliniowa nie zależy od drogi całkowania. Dokładniej, zachodzi następujące stwierdzenie:

Stwierdzenie 12.18.

Niech $\displaystyle U$ będzie obszarem jednospójnym w $\displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^2$, a $\displaystyle F$ polem wektorowym na $\displaystyle U.$ Niech $\displaystyle A$ i $\displaystyle B$ będą dwoma punktami w $\displaystyle U$, a $\displaystyle K_1$ i $\displaystyle K_2$ dwoma krzywymi łączącymi punkty $\displaystyle A$ i $\displaystyle B.$ Wówczas

$\displaystyle \displaystyle\int\limits_{K_1}Pdx+Qdy \ =\ \displaystyle\int\limits_{K_2}Pdx+Qdy.$

Dowód 12.18.

Stwierdzenie wykażemy tylko w przypadku, gdy krzywe $\displaystyle K_1$ i $\displaystyle K_2$ nie przecinają się i ograniczają razem zbiór normalny (względem którejś osi) $\displaystyle D,$ czyli $\displaystyle \displaystyle\partial D=K_1-K_2,$ tak jak w dowodzie twierdzenia Greena. Wtedy z twierdzenia Greena mamy

$\displaystyle \oint\limits_{K_1-K_2}Pdx+Qdy \ =\ \iint\limits_D(\frac{\partial P}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial x})dxdy \ =\ 0,$

bo obie pochodne cząstkowe są sobie równe (zobacz wyżej).

Zauważmy, że z tego stwierdzenia wynika od razu, że całka po krzywej zamkniętej w polu potencjalnym wynosi zero.

Można także sformuowaćnastępujące stwierdzenie (dowód pominiemy).

Stwierdzenie 12.19.

Niech $\displaystyle U$ będzie obszarem jednospójnym w $\displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^2$, a $\displaystyle F=(P,Q)$ polem wektorowym klasy $\displaystyle {\cal C}^1$ na $\displaystyle U.$ Jeśli

$\displaystyle \frac{\partial P}{\partial y} \ =\ \frac{\partial Q}{\partial x},$

to pole $\displaystyle F$ jest polem potencjalnym.

Przykład 12.20.

Przypomnijmy znany z fizyki wzór na pracę. Niech $\displaystyle F=(P,Q)$ będzie polem wektorowym reprezentującym siłę. Siły pola $\displaystyle F$ działają na punkt, który przesuwamy po krzywej $\displaystyle K.$ Wtedy praca pola sił wyraża się wzorem

$\displaystyle W \ =\ \displaystyle\int\limits_KF\circ d\textbf{x} \ =\ \displaystyle\int\limits_KPdx+Qdy.$

(1) Policzmy pracę wykonaną przez pole sił $\displaystyle F=(P,Q),$

$\displaystyle P(x,y) \ =\ x^2+y^2, \ Q(x,y)=2xy,$

wzdłuż krzywej $\displaystyle K$: $\displaystyle y=x^2,$ przy przesunięciu punktu od punktu $\displaystyle \displaystyle (0,0)$ do punktu $\displaystyle \displaystyle (1,1).$

Krzywą $\displaystyle K$ możemy sparametryzować $\displaystyle \displaystyle\gamma(t)=(t,t^2)$ dla $\displaystyle t\in[0,1],$ tak więc $\displaystyle x=t, y=t^2.$ Mamy zatem

$\displaystyle W \ =\ \displaystyle\int\limits_KPdx+Qdy=\displaystyle\int\limits_0^1((t^2+t^4)+(2t^3)2t)dt \ =\ \displaystyle\int\limits_0^1t^2+5t^4dt \ =\ \frac{4}{3}.$

wykres

(2) Dane jest pole sił:

$\displaystyle P(x,y) \ =\ \frac{x}{(x^2+y^2)^{\frac{3}{2}}}, \quad Q(x,y) \ =\ \frac{y}{(x^2+y^2)^{\frac{3}{2}}}.$

Policzyć pracę wykonaną przez pole sił przy przesuwaniu punktu wokół okręgu o środku w punkcie $\displaystyle \displaystyle (3,3)$ i promieniu $\displaystyle 1.$

Sprawdźmy, że pole $\displaystyle \displaystyle (P,Q)$ jest polem potencjalnym w zbiorze $\displaystyle U$ będącym kołem o środku w punkcie $\displaystyle \displaystyle (3,3)$ i promieniu $\displaystyle 2.$ (Taki zbiór $\displaystyle U$ wybieramy, by móc zastosować stwierdzenie 12.19, do zbioru $\displaystyle U$ nie może należeć punkt $\displaystyle \displaystyle (0,0),$ bo tam $\displaystyle P$ i $\displaystyle Q$ nie są określone).

Policzmy: $\displaystyle \displaystyle\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{-3xy}{(x^2+y^2)^{\frac{5}{2}}}=\frac{\partial Q}{\partial x},$ tak więc pole jest potencjalne na podstawie stwierdzenia stwierdzenia 12.19, a w polu potencjalnym całka po krzywej zamkniętej (a więc także po naszym okręgu) jest równa zero.

rycina

Wektor pola wektorowego na krzywej $K$ oraz jego składowa styczna do krzywej

Na zakończenie warto wspomnieć o związku całki krzywoliniowej zorientowanej z całką krzywoliniową niezorientowaną, wprowadzoną na wykładzie z Analizy Matematycznej 1.

Weźmy krzywą $\displaystyle K$ o parametryzacji $\displaystyle \displaystyle\gamma=(\varphi,\psi) : [a,b]\to \mathbb{R}^2.$ Niech $\displaystyle F=(P,Q)$ będzie polem wektorowym na $\displaystyle K.$ Mamy wówczas całkę krzywoliniową zorientowaną:

$\displaystyle \displaystyle\int\limits_KF\circ d\textbf{x}=\displaystyle\int\limits_a^b(P(\varphi(t),\psi(t)),Q(\varphi(t),\psi(t)))\circ ((\varphi'(t),\psi'(t))dt.$

Z definicji iloczynu skalarnego w $\displaystyle \mathbb{R}^2$ i normy euklidesowej w $\displaystyle \mathbb{R}^2$,

$\begin{array}{lll}\displaystyle & (P(\varphi(t),\psi(t)),Q(\varphi(t),\psi(t)))\circ ((\varphi'(t),\psi'(t)) \\ & =\|(P(\varphi(t),\psi(t)),Q(\varphi(t),\psi(t)))\|\cdot \|(\varphi'(t),\psi'(t))\|\cos \alpha, \end{array}$

gdzie $\displaystyle \|v\|$ oznacza długość wektora $\displaystyle v$, a $\displaystyle \displaystyle\alpha$ jest kątem pomiędzy wektorem $\displaystyle \displaystyle (P(\varphi(t),\psi(t)),Q(\varphi(t),\psi(t)))$, a wektorem stycznym $\displaystyle \displaystyle (\varphi'(t),\psi'(t)).$ Ze wzoru na długość wektora mamy

$\displaystyle \|(\varphi'(t),\psi'(t))\|=\sqrt{\varphi'^2(t)+\psi'^2(t)}.$

Zauważmy jeszcze, że

$\displaystyle F_s(\gamma(t)):=\|(P(\varphi(t),\psi(t)),Q(\varphi(t),\psi(t)))\|\cos \alpha$

jest długością rzutu prostopadłego wektora $\displaystyle \displaystyle (P(\varphi(t),\psi(t)),Q(\varphi(t),\psi(t)))$ na styczną do krzywej, czyli długością składowej stycznej. A zatem

$\displaystyle \displaystyle\int\limits_KF\circ d\textbf{x}=\displaystyle\int\limits_a^bF_s(\gamma(t))\sqrt{\varphi'^2(t)+\psi'^2(t)}dt=\displaystyle\int\limits_KF_s dl.$