Całka krzywoliniowa. Twierdzenie Greena
Ten wykład poświęcony jest pojęciu całki krzywoliniowej i twierdzeniu pozwalającemu liczyć całki krzywoliniowe przy pomocy całek podwójnych (albo vice versa) - czyli twierdzeniu Greena. Nasze rozważania dotyczące krzywych ograniczamy do krzywych płaskich (leżących w \( \displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^2 \)). Podajemy definicje parametryzacji krzywej, krzywej regularnej, krzywej zamkniętej, orientacji, zbioru normalnego i zbioru regularnego. Twierdzenia Greena dowodzimy dla zbiorów regularnych. Wprowadzamy też pojęcie pola potencjalnego.
Na początku tego wykładu warto przypomnieć sobie twierdzenie Newtona-Leibniza (patrz Analiza matematyczna 1 twierdzenie 14.15.), które mówi, że
\( \displaystyle \displaystyle\int\limits_a^b f(x)\,dx \ =\ F(b)-F(a), \)
gdzie \( \displaystyle F \) jest pierwotną funkcji \( \displaystyle f \). Zauważmy, że twierdzenie to wyraża całkę z funkcji \( \displaystyle f \) po odcinku (przedziale \( \displaystyle [a,b] \)) za pomocą wartości \( \displaystyle F \) na brzegu odcinka (to znaczy w punktach \( \displaystyle a \) i \( \displaystyle b \)).
Okazuje się, że twierdzenie to można uogólnić. Takim uogólnieniem będzie twierdzenie Greena, które poznamy na tym wykładzie. Pozwala ono zamienić całkowanie po obszarze płaskim na całkowanie po krzywej, która ogranicza ten obszar.