Równanie różniczkowe w postaci normalnej i różniczkowej

Definicja 13.6.

Niech \( \displaystyle F: \mathbb{R}^{n+1}\supset U\mapsto \mathbb{R} \) będzie funkcją ciągłą na zbiorze otwartym \( \displaystyle U \). Równanie

\( \displaystyle F \left(t, x(t), x'(t), x''(t), \dots , x^{(n)}(t) \right)=0, \)

z niewiadomą \( \displaystyle t\mapsto x(t) \) (tj. funkcją \( \displaystyle n \) krotnie różniczkowalną \( \displaystyle t\mapsto x(t) \)), w którym oprócz niewiadomej \( \displaystyle x \) występują także jej pochodne \( \displaystyle x', \ x'', \dots, x^{(n)} \) nazywamy równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu \( \displaystyle n \).

Niech \( \displaystyle \Delta\subset \mathbb{R} \) będzie przedziałem (z końcami lub bez,

ograniczonym lub nieograniczonym). Funkcję

\( \displaystyle u:\Delta\to \mathbb{R} \)

nazywamy rozwiązaniem równania różniczkowego \( \displaystyle F \left(t, x(t), x'(t), x''(t), \dots , x^{(n)}(t) \right)=0, \) jeśli

1. \( \displaystyle u \) jest \( \displaystyle n \)-krotnie różniczkowalna w każdym punkcie przedziału \( \displaystyle \Delta \) (przy czym na końcach przedziału, o ile do niego należą, bierzemy pod uwagę pochodne jednostronne);

2. wykres funkcji \( \displaystyle u \) zawiera się w zbiorze \( \displaystyle U \);

3. dla dowolnego \( \displaystyle t\in\Delta \) zachodzi równość \( \displaystyle F \left(t, u(t), u'(t), u''(t), \dots , u^{(n)}(t) \right)=0 \).

Jeśli w równaniu niewiadomą jest funkcja dwóch lub większej liczby zmiennych i równanie zawiera zależność od pochodnych cząstkowych tej funkcji, na przykład

\( \displaystyle F \left(t,s, x(t,s), \frac{\partial x}{\partial t}, \frac{\partial x}{\partial s}, \dots \right)=0, \)

to równanie tego typu nazywamy równaniem różniczkowym cząstkowym. W dalszym ciągu będziemy zajmować się równaniami zwyczajnym rzędu pierwszego w postaci normalnej

\( \displaystyle x'(t)=f(t, x(t)), \)

tj. takiej postaci, w której pochodna niewiadomej \( \displaystyle x \) jest funkcją tej niewiadomej i zmiennej niezależnej \( \displaystyle t \). Mając bowiem dane równanie różniczkowe zwyczajne rzędu \( \displaystyle n \) w postaci normalnej

\( \displaystyle x^{(n)}=f(t, x, x' , x'', \dots, x^{(n-1)}), \)

możemy je zastąpić układem równań różniczkowych zwyczajnych rzędu pierwszego w postaci normalnej:

\( \displaystyle \left\{ \begin{align*} & x_0'=x_1 \\ & x_1 '=x_2 \\ & x_2'=x_3 \\ & \vdots \\ & x_{n-2}'=x_{n-1} \\ & x_{n-1}'=f(t, x_0, x_1, x_2, \dots, x_{n-2}, x_{n-1}), \end{align*} \right. \)

w którym zmienne

\( \displaystyle x_0, \ x_1, \ x_2, \dots, \ x_{n-2},\ x_{n-1} \)

odpowiadają funkcji niewiadomej \( \displaystyle x \) oraz jej pochodnym

\( \displaystyle x, \ x', \ x'', \dots, \ x^{(n-2)}, \ x^{(n-1)}. \)

Bardzo często zmienną niezależną \( \displaystyle t \) w równaniu różniczkowym nazywamy czasem (ze względu na liczne modele matematyczne, w których właśnie czas przeważnie jest zmienną niezależną). Pochodną funkcji \( \displaystyle t\mapsto x(t) \) oznaczamy tradycyjnie symbolami

\( \displaystyle x', \ \ \frac{dx}{dt}, \ \ \frac{d}{dt}x, \ \ \dot{x}. \)

Ostatnie z oznaczeń pochodnej (za pomocą kropki nad niewiadomą \( \displaystyle \dot{x} \)) jest charakterystyczne dla równań różniczkowych.

Odpowiednio drugą, trzecią i pochodne wyższego rzędu oznaczamy tradycyjnie symbolami:

\( \displaystyle \begin{align*} & x'', \ \ & \frac{d^2x}{dt^2}, \ \ & \frac{d^2}{dt^2}x, \ \ & \ddot{x} & \\ & x''', \ \ & \frac{d^3x}{dt^3}, \ \ & \frac{d^3}{dt^3}x, \ \ & \dddot{x} & \\ & x^{(n)}, \ \ & \frac{d^n x}{dt^n}, \ \ & \frac{d^n}{dt^n}x, \ \ & x^{(n)}. & \end{align*} \)

Uwaga 13.7.

Wraz z równaniem różniczkowym w postaci normalnej \( \displaystyle \frac{dx}{dt}=f(t,x) \) rozważamy też często równanie w postaci różniczkowej

\( \displaystyle dx=f(t,x)dt, \)

bądź w bardziej ogólnej postaci

\( \displaystyle P(t,x)dt+Q(t,x)dx=0, \)

gdzie \( \displaystyle P, Q \) są danymi funkcjami zmiennych \( \displaystyle t,x \). Zadajemy wówczas

pytanie o istnienie takiej funkcji różniczkowalnej \( \displaystyle F: (t,x)\mapsto F(t,x) \), której różniczka

\( \displaystyle dF=\frac{\partial F}{\partial t}dt+\frac{\partial F}{\partial x}dx \) jest tożsama z lewą stroną równania w postaci różniczkowej \( \displaystyle P(t,x)dt+Q(t,x)dx=0. \)

Otrzymujemy wówczas rozwiązanie

\( \displaystyle t\mapsto x(t)\ \text{ lub } \ x\mapsto t(x) \)

dane w postaci uwikłanej

\( \displaystyle F(t, x(t))=C \ \text{ lub } F(t(x),x)=C, \)

gdzie \( \displaystyle C \) jest pewną stałą.

Przykład 13.8.

Dane jest równanie różniczkowe zwyczajne rzędu pierwszego w postaci normalnej

\( \displaystyle \frac{dx}{dt}=-\frac{x+2t}{2x+t}. \)

Zauważmy, że postaci różniczkowej przyjmuje ono wyjątkowo prostą postać

\( \displaystyle (2x+t)dx+(x+2t)dt=0, \)

gdyż

\( \displaystyle 2xdx+2tdt=d(x^2+t^2) \text{ oraz } tdx+xdt=d(tx), \)

stąd równanie w postaci różniczkowej jest tożsame z równaniem

\( \displaystyle d(x^2+xt+t^2)=0, \)

czyli \( \displaystyle x^2+xt+t^2=C \), gdzie \( \displaystyle C \) jest pewną stałą. Funkcje

\( \displaystyle t\mapsto x(t) \) w postaci uwikłanej

\( \displaystyle x(t)^2+x(t)t+t^2=C \)

spełniają dane równanie.