Processing math: 3%

Równanie różniczkowe w postaci normalnej i różniczkowej

Definicja 13.6.

Niech F:Rn+1UR będzie funkcją ciągłą na zbiorze otwartym U. Równanie

F(t,x(t),x(t),x

z niewiadomą \displaystyle t\mapsto x(t) (tj. funkcją \displaystyle n krotnie różniczkowalną \displaystyle t\mapsto x(t) ), w którym oprócz niewiadomej \displaystyle x występują także jej pochodne \displaystyle x', \ x'', \dots, x^{(n)} nazywamy równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu \displaystyle n .

Niech \displaystyle \Delta\subset \mathbb{R} będzie przedziałem (z końcami lub bez,

ograniczonym lub nieograniczonym). Funkcję

\displaystyle u:\Delta\to \mathbb{R}

nazywamy rozwiązaniem równania różniczkowego \displaystyle F \left(t, x(t), x'(t), x''(t), \dots , x^{(n)}(t) \right)=0, jeśli

1. \displaystyle u jest \displaystyle n -krotnie różniczkowalna w każdym punkcie przedziału \displaystyle \Delta (przy czym na końcach przedziału, o ile do niego należą, bierzemy pod uwagę pochodne jednostronne);

2. wykres funkcji \displaystyle u zawiera się w zbiorze \displaystyle U ;

3. dla dowolnego \displaystyle t\in\Delta zachodzi równość \displaystyle F \left(t, u(t), u'(t), u''(t), \dots , u^{(n)}(t) \right)=0 .

Jeśli w równaniu niewiadomą jest funkcja dwóch lub większej liczby zmiennych i równanie zawiera zależność od pochodnych cząstkowych tej funkcji, na przykład

\displaystyle F \left(t,s, x(t,s), \frac{\partial x}{\partial t}, \frac{\partial x}{\partial s}, \dots \right)=0,

to równanie tego typu nazywamy równaniem różniczkowym cząstkowym. W dalszym ciągu będziemy zajmować się równaniami zwyczajnym rzędu pierwszego w postaci normalnej

\displaystyle x'(t)=f(t, x(t)),

tj. takiej postaci, w której pochodna niewiadomej \displaystyle x jest funkcją tej niewiadomej i zmiennej niezależnej \displaystyle t . Mając bowiem dane równanie różniczkowe zwyczajne rzędu \displaystyle n w postaci normalnej

\displaystyle x^{(n)}=f(t, x, x' , x'', \dots, x^{(n-1)}),

możemy je zastąpić układem równań różniczkowych zwyczajnych rzędu pierwszego w postaci normalnej:

\displaystyle \left\{ \begin{align*} & x_0'=x_1 \\ & x_1 '=x_2 \\ & x_2'=x_3 \\ & \vdots \\ & x_{n-2}'=x_{n-1} \\ & x_{n-1}'=f(t, x_0, x_1, x_2, \dots, x_{n-2}, x_{n-1}), \end{align*} \right.

w którym zmienne

\displaystyle x_0, \ x_1, \ x_2, \dots, \ x_{n-2},\ x_{n-1}

odpowiadają funkcji niewiadomej \displaystyle x oraz jej pochodnym

\displaystyle x, \ x', \ x'', \dots, \ x^{(n-2)}, \ x^{(n-1)}.

Bardzo często zmienną niezależną \displaystyle t w równaniu różniczkowym nazywamy czasem (ze względu na liczne modele matematyczne, w których właśnie czas przeważnie jest zmienną niezależną). Pochodną funkcji \displaystyle t\mapsto x(t) oznaczamy tradycyjnie symbolami

\displaystyle x', \ \ \frac{dx}{dt}, \ \ \frac{d}{dt}x, \ \ \dot{x}.

Ostatnie z oznaczeń pochodnej (za pomocą kropki nad niewiadomą \displaystyle \dot{x} ) jest charakterystyczne dla równań różniczkowych.

Odpowiednio drugą, trzecią i pochodne wyższego rzędu oznaczamy tradycyjnie symbolami:

\displaystyle \begin{align*} & x'', \ \ & \frac{d^2x}{dt^2}, \ \ & \frac{d^2}{dt^2}x, \ \ & \ddot{x} & \\ & x''', \ \ & \frac{d^3x}{dt^3}, \ \ & \frac{d^3}{dt^3}x, \ \ & \dddot{x} & \\ & x^{(n)}, \ \ & \frac{d^n x}{dt^n}, \ \ & \frac{d^n}{dt^n}x, \ \ & x^{(n)}. & \end{align*}

Uwaga 13.7.

Wraz z równaniem różniczkowym w postaci normalnej \displaystyle \frac{dx}{dt}=f(t,x) rozważamy też często równanie w postaci różniczkowej

\displaystyle dx=f(t,x)dt,

bądź w bardziej ogólnej postaci

\displaystyle P(t,x)dt+Q(t,x)dx=0,

gdzie \displaystyle P, Q są danymi funkcjami zmiennych \displaystyle t,x . Zadajemy wówczas

pytanie o istnienie takiej funkcji różniczkowalnej \displaystyle F: (t,x)\mapsto F(t,x) , której różniczka

\displaystyle dF=\frac{\partial F}{\partial t}dt+\frac{\partial F}{\partial x}dx jest tożsama z lewą stroną równania w postaci różniczkowej \displaystyle P(t,x)dt+Q(t,x)dx=0.

Otrzymujemy wówczas rozwiązanie

\displaystyle t\mapsto x(t)\ \text{ lub } \ x\mapsto t(x)

dane w postaci uwikłanej

\displaystyle F(t, x(t))=C \ \text{ lub } F(t(x),x)=C,

gdzie \displaystyle C jest pewną stałą.

Przykład 13.8.

Dane jest równanie różniczkowe zwyczajne rzędu pierwszego w postaci normalnej

\displaystyle \frac{dx}{dt}=-\frac{x+2t}{2x+t}.

Zauważmy, że postaci różniczkowej przyjmuje ono wyjątkowo prostą postać

\displaystyle (2x+t)dx+(x+2t)dt=0,

gdyż

\displaystyle 2xdx+2tdt=d(x^2+t^2) \text{ oraz } tdx+xdt=d(tx),

stąd równanie w postaci różniczkowej jest tożsame z równaniem

\displaystyle d(x^2+xt+t^2)=0,

czyli \displaystyle x^2+xt+t^2=C , gdzie \displaystyle C jest pewną stałą. Funkcje

\displaystyle t\mapsto x(t) w postaci uwikłanej

\displaystyle x(t)^2+x(t)t+t^2=C

spełniają dane równanie.