Opis wielu zagadnień praktycznych korzysta z modeli, w których w naturalny sposób pojawia się zależność od pochodnej. Rozważmy kilka z tych problemów.

wykres

Rysunek do przykładu 13.1.

Przykład 13.1.

(stygnięcie, ogrzewanie pewnej substancji) Z obserwacji wynika, że substancja stygnie (odpowiednio: ogrzewa się) tym szybciej, im większa jest różnica temperatury tej substancji i otoczenia. Jeśli $\displaystyle x(t)$ oznacza temperaturę substancji w chwili $\displaystyle t$, obserwację można sformułować następująco: zmiana temperatury substancji $\displaystyle x(t+h)-x(t)$ po upływie czasu $\displaystyle h$ od pomiaru temperatury w chwili $\displaystyle t$ jest proporcjonalna do różnicy temperatur $\displaystyle x(t)-x^*$, gdzie $\displaystyle x^*$ oznacza temperaturę otoczenia, co można zapisać za pomocą równości

$\displaystyle \frac{x(t+h)-x(t)}{h}\approx-\lambda (x(t)-x^*), \ \ x(t_0)=x_0,$

gdzie $\displaystyle \lambda>0$ jest pewną stałą, a $\displaystyle x_0$ oznacza temperaturę substancji, którą zanotowaliśmy na początku obserwacji w chwili $\displaystyle t_0$. Znak minus, który poprzedza różnicę $\displaystyle x(t)-x^*$ bierze się stąd, że substancja stygnie (czyli $\displaystyle x(t+h)-x(t) < 0$ po upływie czasu $\displaystyle h>0$), gdy ma wyższą temperaturę niż otoczenie (tj. gdy $\displaystyle x(t)-x^*>0$) albo ogrzewa się (czyli $\displaystyle x(t+h)-x(t)>0$ po upływie czasu $\displaystyle h>0$), gdy otoczenie ma wyższą temperaturę niż obserwowana substancja (tj. gdy $\displaystyle x(t)-x^* < 0$). Jeśli odcinki czasu pomiędzy kolejnymi pomiarami temperatury będą małe, w granicy zależność, którą sformułowaliśmy, przyjmie postać:

$\displaystyle \frac{dx}{dt}(t)\ = -\lambda (x(t)-x^*), \ \ x(t_0)=x_0.$

Nietrudno odgadnąć (na przykład przyjmując wpierw dla ułatwienia zadania, że temperatura otoczenia $\displaystyle x^*=0$ jest zerowa), że zależność $\displaystyle \frac{dx}{dt}(t) = -\lambda x(t)$ spełnia funkcja wykładnicza $\displaystyle t\mapsto \exp (-\lambda t)$, a także każdy iloczyn tej funkcji przez stałą. Nasze doświadczenie podpowiada nam, że w trakcie obserwacji dwóch identycznych próbek substancji, które stygną w tych samych warunkach (np. dwie identyczne filiżanki kawy stojące obok siebie), po upływie określonego czasu zauważymy, że obie będą mieć taką samą temperaturę. Zbudowany model matematyczny

$\displaystyle \frac{dx}{dt}(t)\ = -\lambda x(t), \ \ x(t_0)=x_0,$

dostarcza dokładnie jednego rozwiązania i jest nim funkcja

$\displaystyle x(t)=x_0 \exp (-\lambda (t-t_0)),$

która spełnia warunek $\displaystyle x(t_0)=x_0$, oznaczający, że temperatura substancji na początku obserwacji wynosiła $\displaystyle x_0$.

Otrzymane rozwiązanie możemy również łatwo zmodyfikować tak, aby odpowiadało obserwacji w przypadku, gdy temperatura otoczenia $\displaystyle x^*$ jest dowolna:

$\displaystyle x(t)=x^* +(x_0-x^*) \exp (-\lambda (t-t_0)).$ Naszkicujmy rodzinę krzywych, odpowiadających różnym wartościom temperatury początkowej (patrz rysunek powyżej).

Niezależnie od temperatury początkowej $\displaystyle x_0$ (w momencie $\displaystyle t_0=0$) wszystkie krzywe $\displaystyle t\mapsto x^* +(x_0-x^*) \exp (-\lambda t)$ zmierzają asymptotycznie do prostej $\displaystyle x=x^*$, co odpowiada wielokrotnie czynionej przez nas obserwacji: wraz z upływem czasu wszystkie przedmioty, które znajdują się w pewnym pomieszczeniu (a nie są w jakiś sposób izolowane przed ciepłem), osiągają

temperaturę otoczenia.

Niemal każda dziedzina nauki (fizyka, chemia, biologia, ekonomia, demografia, meteorologia i wiele innych) tworzy modele, w których pojawiają się zależności od funkcji i jej pochodnej (lub pochodnych wyższego rzędu).

(ruch jednostajnie przyśpieszony, spadek swobodny) Z opisem ruchu punktu materialnego, który spada swobodnie w polu grawitacyjnym, spotkaliśmy się już w szkole na lekcjach fizyki. Można przyjąć, że przyśpieszenie ziemskie jest (w pobliżu powierzchni Ziemi) wielkością stałą $\displaystyle g=9.81 \frac{m}{s^2}$. Pamiętając, że przyśpieszenie jest pochodną rzędu drugiego funkcji położenia $\displaystyle t\mapsto x(t)$, otrzymujemy równanie

$\displaystyle x''(t)=g,$

które po jednokrotnym całkowaniu spełnia przyjmuje postać

$\displaystyle x'(t)=gt+v_0,$

gdzie $\displaystyle v_0$ jest prędkością w chwili $\displaystyle t_0=0$. Kolejne całkowanie prowadzi do znanego wzoru na położenie punktu materialnego w chwili $\displaystyle t$ w ruchu jednostajnie przyspieszonym:

$\displaystyle x(t)=\frac{1}{2}gt^2+v_0t+x_0,$

gdzie $\displaystyle x_0$ jest położeniem

punktu w chwili początkowej $\displaystyle t_0=0$.

Przykład 13.3.

(rozwój kolonii bakterii, prawo Malthusa) Obserwacja grupy jednakowych organizmów (np. kolonii bakterii), rozwijających się i rozmnażających w środowisku, w którym jest nieograniczona ilość pożywienia i nie ma naturalnych wrogów, prowadzi do obserwacji, że liczba nowo powstałych organizmów w jednostce czasu jest proporcjonalna do liczby organizmów w danej chwili. Prowadzi to do równania

$\displaystyle \frac{x(t+h)-x(t)}{h}\approx \lambda x(t),$

w którym $\displaystyle x(t)$ oraz $\displaystyle x(t+h)$ oznaczają liczebność grupy organizmów w chwili $\displaystyle t$ oraz po upływie czasu $\displaystyle h$, natomiast $\displaystyle \lambda$ jest stałą charakteryzującą tempo rozmnażania się danej grupy organizmów. Przy $\displaystyle h\to 0$ otrzymujemy równanie różniczkowe

$\displaystyle x'=\lambda x,$

które spełnia funkcja

$\displaystyle x(t)=N_0 \exp(\lambda t),$

gdzie stała $\displaystyle N_0$ oznacza liczebność grupy organizmów na początku obserwacji w chwili $\displaystyle t=0$. Otrzymane równanie stanowi ilustrację prawa Malthusa, które głosi, że wzrost liczebności organizmów jest wykładniczy.

wykresy

rysunki

Rysunek do przykładu 13.4.

Przykład 13.4.

(zmodyfikowany model rozwoju grupy organizmów) W realnym świecie wykładniczy wzrost liczby organizmów obserwujemy rzadko. W sytuacji, gdy ilość pożywienia jest ograniczona, rozwój grupy organizmów lepiej niż prawo Malthusa opisuje równanie

$\displaystyle x'=\lambda x(N-x),$

gdzie $\displaystyle N$ jest pewną stałą. Jest to równanie Bernoullego $\displaystyle x'-N\lambda x=-\lambda x^2$ (omawiamy je szerzej w ramach następnego modułu). Łatwo spostrzec, że spełniają je dwie funkcje stałe $\displaystyle x(t)=N$ oraz $\displaystyle x(t)=0$. Po podstawieniu $\displaystyle z=\frac{1}{x}$ otrzymujemy równanie liniowe niejednorodne (które także omawiamy w ramach następnego modułu)

$\displaystyle z'+\lambda N z=\lambda,$

które spełnia każda funkcja postaci

$\displaystyle z(t)=\frac{1}{N}+C\exp(-\lambda N t),$

gdzie $\displaystyle C$ jest stałą. Jej wartość można określić, biorąc pod uwagę liczebność grupy $\displaystyle N_0$ w chwili $\displaystyle t=0$, czyli biorąc $\displaystyle z(0)=\frac{1}{N_0}$. Otrzymamy stąd $\displaystyle C=\frac{1}{N_0}-\frac{1}{N}$. Ostatecznie więc rozwiązaniem równania $\displaystyle x'=\lambda x(N-x)$ jest funkcja

$\displaystyle x(t)= (\frac{1}{N}+(\frac{1}{N_0}-\frac{1}{N}) \exp(-\lambda N t))^{-1}.$

Rozwiązanie stałe $\displaystyle x(t)=N$ jest szczególnym przypadkiem otrzymanego rozwiązania, gdy $\displaystyle N=N_0$.

Warto zwrócić uwagę na parę własności tego rozwiązania. Mamy $\displaystyle x(t)\to N$, gdy $\displaystyle t\to \infty$, niezależnie od liczebności grupy w chwili początkowej. Stała $\displaystyle N$ ma naturalną interpretację biologiczną: jest to pojemność ekosystemu, zależna od m.in. ilości pożywienia dostępnego grupie organizmów na określonym obszarze. Ponadto, jeśli $\displaystyle N_0 < N$ (odpowiednio: $\displaystyle N_0>N$), to liczebność grupy $\displaystyle t\mapsto x(t)$ rośnie (odpowiednio: maleje) i zmierza asymptotycznie do $\displaystyle N$. Zauważmy także, że żadne z rozwiązań $\displaystyle t\mapsto x(t)$ nie zmierza do zera, gdy tylko $\displaystyle N_0>0$.

Przykład 13.5.

(równanie sprężyny, prawo Hooke'a) Zgodnie z prawem Hooke'a siła, którą należy wywrzeć na ciało sprężyste, aby je odkształcić, jest wprost proporcjonalna do wielkości odkształcenia. Prawo to w przypadku jednowymiarowym (np. ściskanie i rozciąganie sprężyny) opisuje równanie

$\displaystyle x''=-k^2x,$

gdzie $\displaystyle x$ jest wielkością odkształcenia, a $\displaystyle k^2$ jest stałą charakteryzującą ciało, które ulega odkształceniu sprężystemu. Otrzymane równanie (równanie liniowe rzędu drugiego o stałych współczynnikach, które szerzej omawiamy w kolejnym module) spełnia każda funkcja postaci

$\displaystyle x(t)=A \cos(kt)+B\sin (kt),$

gdzie $\displaystyle A, B$ są stałymi, których wartość można określić na podstawie np. położenia $\displaystyle x_0$ i prędkości $\displaystyle v_0$ w chwili początkowej $\displaystyle t=0$. Mamy bowiem $\displaystyle x'(t)=-Ak \sin(kt)+Bk\cos (kt)$, skąd

$\displaystyle \left\{\begin{align*} x_0 & =x(0)=A \cos(k\cdot 0)+B\sin (k\cdot 0)=A \\ v_0 & =x'(0)=-Ak \sin(k\cdot 0)+Bk\cos (k\cdot 0)=Bk,\end{align*}\right .$

czyli $\displaystyle A=x_0$, $\displaystyle B=\frac{v_0}{k}$. Zatem ruch końca sprężyny, który w chwili $\displaystyle t=0$ odchylono o $\displaystyle x_0$ i puszczono z prędkością początkową $\displaystyle v_0$, opisuje równanie

$\displaystyle x(t)=x_0 \cos(kt)+\frac{v_0}{k}\sin (kt).$

Zauważmy, że otrzymana funkcja jest okresowa o okresie $\displaystyle T=\frac{2\pi}{k}$ i ma stałą amplitudę, co w przypadku realnej sprężyny nie jest prawdą. Nasz model zaniedbuje bowiem tarcie, na

skutek którego ruch zanika (amplituda maleje do zera), gdy $\displaystyle t\to \infty$.

W ramach ćwiczeń omawiamy także rozpad promieniotwórczy izotopu oraz zagadnienie ciągłej kapitalizacji odsetek. Problemy te także prowadzą do konstrukcji modeli matematycznych, w których głównym narzędziem jest pewne równanie różniczkowe.