W szkole średniej poznaliśmy ciągi o wyrazach rzeczywistych (to znaczy funkcje \( a\colon \mathbb{N}\longrightarrow\mathbb{R} \)).
W praktyce często spotykamy sie z ciągami o wyrazach innych niż liczby rzeczywiste. Na przykład, gdy mierzymy co sekundę prędkość i położenie w przestrzeni (\( \displaystyle\mathbb{R}^3 \)) jakiegoś obiektu, dostajemy ciąg, który każdemu \( t\in\mathbb{N} \) przypisuje cztery wartości, czyli element z \( \displaystyle\mathbb{R}^4. \) Nasz ciąg możemy zatem zapisać \( a\colon \mathbb{N}\ni t\longmapsto (a_1(t),a_2(t),a_3(t),a_4(t))\in\mathbb{R}^4, \) gdzie \( a_1(t)\in\mathbb{R} \) jest prędkością w chwili \( t, \) natomiast \( \displaystyle (a_2(t),a_3(t),a_4(t))\in\mathbb{R}^3 \) określają położenie punktu w przestrzeni.
Naszym celem teraz jest wprowadzenie pojęcia ciągu i pojęcia granicy tego ciągu. W matematyce te pojęcia można zdefiniować dla dowolnie wybranej metryki (aby zdefiniować granicę musimy móc mierzyć odległość). My jednak ograniczymy nasze rozumowania do przestrzeni \( \mathbb{R}^N \) z metryką \( d \), gdzie \( d \) jest jedną z wyżej wprowadzonych metryk: \( d_1 \), \( d_2 \), lub \( d_\infty \).
Definicja 3.16. [ciąg]
Ciągiem w \( \mathbb{R}^N \) nazywamy dowolną funkcję \( \displaystyle f\colon\mathbb{N}\longrightarrow\mathbb{R}^N \).
Ciąg ten oznaczamy
\( \{x_n\}_{n\in \mathbb{N}}\subseteq \mathbb{R}^N,\quad \{x_n\}_{n=1}^{\infty}\subseteq \mathbb{R}^N,\quad \{x_n\}\subseteq \mathbb{R}^N,\quad \textrm{lub}\quad x_1,x_2,\ldots, \)
gdzie
\( f(n) \ =\ x_n \quad\textrm{dla}\ n\in\mathbb{N}. \)
Powiemy teraz co to znaczy, że punkt \( g\in\mathbb{R}^N \) jest granicą ciągu \( \displaystyle\{x_n\} \). Intuicyjnie oznacza to, że wyrazy \( x_n \) są "coraz bliżej" granicy \( g \) w miarę wzrostu \( n \). Formalnie podaje to poniższa definicja.
Definicja 3.17. [granica ciągu]
Niech \( \displaystyle\{x_n\}\subseteq \mathbb{R}^N \) będzie ciągiem oraz niech \( g\in \mathbb{R}^N. \)
Mówimy, że \( g \) jest granicą ciągu \( \displaystyle\{x_n\}, \) jeśli
\( \forall \varepsilon>0\ \exists N\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N:\ d(x_n,g) < \varepsilon \)
i piszemy
\( \lim \limits_{n \to +\infty} x_n=g,\quad x_n\longrightarrow [n \to +\infty]{}g,\quad x_n\longrightarrow g,\quad x_n\stackrel{\mathbb{R}^N}{\longrightarrow} g \quad\textrm{lub}\quad x_n\stackrel{d}{\longrightarrow} g. \)
Mówimy, że ciąg \( \displaystyle\{x_n\} \) jest zbieżny, jeśli ma granicę, czyli
\( \exists g\in \mathbb{R}^N:\ \lim\limits_{n \to +\infty} x_n=g. \)
Uwaga 3.18.
Warunek
\( \forall \varepsilon>0\ \exists N\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N:\ d(x_n,g) < \varepsilon \)
w powyższej definicji mówi, że dla dowolnego (dowolnie małego) \( \displaystyle\varepsilon>0 \) wyrazy ciągu \( \displaystyle\{x_n\} \) są od pewnego miejsca (od \( N \)) oddalone od \( g \) o mniej niż \( \displaystyle\varepsilon. \) Warunek ten jest równoważny warunkowi
\( \forall \varepsilon>0\ \exists N\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N:\ x_n\in K(g,\varepsilon), \)
który mówi, że dla dowolnego (dowolnie małego) \( \displaystyle\varepsilon>0 \) wyrazy ciągu \( \displaystyle\{x_n\} \) od pewnego miejsca (od \( N \)) leżą w kuli \( K(g,\varepsilon). \) Wynika to wprost z definicji kuli, gdyż \( x_n \) należy do kuli \( K(g,\varepsilon) \) dokładnie wtedy, gdy odległość \( x_n \) od \( g \) jest mniejsza niż \( \displaystyle\varepsilon, \) to znaczy
\( d(x_n,g) < \varepsilon \ \Longleftrightarrow\ x_n\in K(g,\varepsilon). \)
Definicja 3.19. [ciąg ograniczony]
Ciąg \( \displaystyle\{x_n\}\subseteq \mathbb{R}^N \) nazywamy ograniczonym, jeśli zbiór jego wartości \( \displaystyle\big\{x_n:\ n\in\mathbb{N}\big\} \) jest ograniczony w \( \displaystyle\mathbb{R}^N, \) to znaczy zawarty w pewnej kuli. Innymi słowy ciąg \( \displaystyle\{x_n\} \) jest ograniczony, gdy
\( \exists x\in\mathbb{R}^N\ \exists r>0\ \forall n\in\mathbb{N}:\ d(x,x_n) < r. \)
Przykład 3.20.
Jeśli ciąg \( \displaystyle\{x_n\}\subseteq\mathbb{R}^N \) jest stały od pewnego miejsca, czyli istnieje \( k_0\in\mathbb{N} \) takie, że
\( x_n \ =\ x \qquad\forall\ n\ge k_0, \)
to wówczas
\( \lim\limits_{n \to +\infty} x_n \ =\ x. \)
Oznacza to, że ciąg stały od pewnego miejsca jest zbieżny.
Przykład 3.21.
Niech \( \displaystyle\{x_n\}\subseteq \mathbb{R} \) będzie ciągiem danym przez \( \displaystyle x_n=\frac{1}{n} \) dla \( n\ge 1. \) Wówczas
\( \lim\limits_{n \to +\infty} x_n \ =\ 0. \)
Aby to pokazać ustalmy dowolne \( \displaystyle\varepsilon>0. \) Wówczas istnieje liczba naturalna \( N \), która jest większa od \( \displaystyle\frac{1}{\varepsilon} \) (gdyż dla każdej liczby rzeczywistej istnieje liczba naturalna od niej większa), czyli
\( \exists N\in\mathbb{N}:\ N>\frac{1}{\varepsilon}. \)
Zatem dla dowolnego \( n\ge N, \) mamy \( d(x_n,0) \ =\ |x_n-0| \ =\ |x_n| \ =\ \bigg|\frac{1}{n}\bigg| \ \le\ \frac{1}{N} \ < \ \varepsilon, \)
zatem pokazaliśmy, że \( \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} x_n=0. \)
Przykład 3.22. [ciąg geometryczny]
Niech \( q\in(-1,1) \) oraz \( x_n=q^n \) dla \( n\ge 1. \) Wówczas
\( \lim\limits_{n \to +\infty} x_n \ =\ 0. \)
Dowód podobny do dowodu w przykładzie 3.21., pozostawiamy jako ćwiczenie.
Ciąg \( \displaystyle\{q^n\} \) jest ciągiem geometrycznym o ilorazie \( q \) (patrz definicja 1.8.).
Kolejne twierdzenie podaje związek między zbieżnością ciągu punktów, a zbieżnością ciągu liczbowego odległości jego wyrazów od granicy. Mówi ono, że ciąg \( \displaystyle\{x_n\} \) jest zbieżny do granicy \( g \) w \( \displaystyle\mathbb{R}^N \) dokładnie wtedy, gdy ciąg \( \{d(x_n,g)\} \) odległości \( x_n \) od \( g \) jest zbieżny do \( 0 \) w \( \displaystyle\mathbb{R}. \) Dowód wynika wprost z definicji.
Twierdzenie 3.23.
Niech \( \displaystyle\{x_n\}\subseteq \mathbb{R}^N \) będzie ciągiem oraz \( g\in \mathbb{R}^N. \) Wówczas
\( \big[ x_n\stackrel{\mathbb{R}^N}{\longrightarrow} g \big] \quad\Longleftrightarrow\quad \big[ d(x_n,g)\stackrel{\mathbb{R}}{\longrightarrow} 0 \big], \)
Powiemy teraz co to jest podciąg danego ciągu \( \{x_n\}. \) Nieformalnie mówiąc, podciąg powstaje z ciągu przez skreślenie z niego pewnej liczby wyrazów (tak aby nadal pozostała nieskończona ich ilość):
\( \{a_n\} = a_1,\quad a_2,\quad a_3,\quad a_4,\quad a_5,\quad,a_6,\quad a_7, \ldots \)
\( \{a_{n_k}\} = \not{a}_1,\quad\underline{a_2},\quad\not{a}_3,\quad\not{a}_4,\quad\underline{a_5},\quad\underline{a_6},\quad\not{a}_7,\ldots \)
Formalna definicja podana jest poniżej.
Definicja 3.24. [podciąg]
Niech \( \displaystyle\{x_n\}\subseteq \mathbb{R}^N \) będzie ciągiem. Niech \( h\colon\mathbb{N}\longrightarrow\mathbb{N} \) będzie funkcją silnie rosnącą.
Ciąg \( \displaystyle f\colon\mathbb{N}\ni n\longmapsto x_{h(n)}\in\mathbb{R}^N \) nazywamy podciągiem ciągu \( \displaystyle\{x_n\} \) i oznaczamy
\( \displaystyle\{x_{n_k}\} \quad \textrm{lub} \displaystyle\{x_{n_k}\}_{k \in \mathbb{N}} \quad \textrm{lub} \quad \displaystyle\{x_{n_k}\}_{k=1}^{\infty} \)
gdzie \( \displaystyle n_k=h(k) \) dla \( k\in \mathbb{N}. \)
W kolejnym twierdzeniu zebrane są własności granic. Niektóre z nich udowodnimy na ćwiczeniach (patrz ćwiczenie 3.3. i ćwiczenie 3.4.).
Twierdzenie 3.25. [własności granic]
Jeśli \( \displaystyle\{x_n\}\subseteq\mathbb{R}^N \) jest ciągiem, \( g\in\mathbb{R}^N, \) to
(1) Istnieje co najwyżej jedna granica ciągu \( \displaystyle\{x_n\}, \) to znaczy
\( \bigg[\lim\limits_{n \to +\infty} x_n = g_1\in \mathbb{R}^N \quad\textrm{i}\quad \lim\limits_{n \to +\infty} x_n = g_2\in \mathbb{R}^N \bigg] \Longrightarrow\ _1=g_2. \)
(2) Jeśli ciąg \( \displaystyle\{x_n\} \) jest zbieżny, to jest ograniczony.
(3) Jeśli \( \lim\limits_{n \to +\infty} x_n=g \) oraz \( \displaystyle\big\{x_{n_k}\big\} \) jest dowolnym podciągiem ciągu \( \displaystyle\{x_n\}, \) to
\( \lim\limits_{k \to +\infty} x_{n_k} \ =\ g. \)
(4) Jeśli \( \displaystyle\{x_n\} \) jest ciągiem zbieżnym oraz \( \displaystyle\big\{x_{n_k}\big\} \) jest jego dowolnym podciągiem takim, że \( \displaystyle\lim\limits_{k \to +\infty} x_{n_k}=g, \) to także
\( \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} x_n=g. \)
(5) Jeśli dla dowolnego podciągu \( \displaystyle\big\{x_{n_k}\big\} \) ciągu \( \displaystyle\{x_n\} \) istnieje jego "dalszy" podciąg \( \displaystyle\big\{x_{n_{k_l}}\big\} \) taki, że \( \displaystyle\lim\limits_{l \to +\infty} x_{n_{k_l}}=g, \) to
\( \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} x_n=g. \)
Jeśli \( \displaystyle\{a_n\}\subseteq \mathbb{R}^N \) jest ciągiem w \( \displaystyle\mathbb{R}^N, \) to jego wyrazy mają współrzędne: \( a_n=(a_n^1,\ldots,a_n^N) \) dla \( n\in\mathbb{N}. \) Kolejne twierdzenie podaje związek między zbieżnością ciągu \( \displaystyle\{a_n\} \) w \( \displaystyle\mathbb{R}^N, \) a zbieżnością ciągów na poszczególnych współrzędnych \( \displaystyle\{a_n^1\},\ldots, \{a_n^N\}. \) Dzięki temu twierdzeniu liczenie granic ciągów w \( \mathbb{R}^N \) sprowadza się do liczenia granic ciągów w \( \mathbb{R} \) (dowód pomijamy).
Twierdzenie 3.26. [granica ciągu w iloczynie kartezjańskim]
Jeśli \( \displaystyle\{a_n\}\subseteq \mathbb{R}^N \) jest ciągiem, czyli \( a_n=(a_n^1,\ldots,a_n^N) \) dla \( n\in\mathbb{N}, \) oraz \( a=(a^1,\ldots,a^N)\in \mathbb{R}^N, \) to
\( \lim\limits_{n \to +\infty} a_n=a \) wtedy i tylko wtedy, gdy \( \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} a_n^i= a^i \) dla \( i=1,\ldots,N. \)