Ciągi

W szkole średniej poznaliśmy ciągi o wyrazach rzeczywistych (to znaczy funkcje $a\colon \mathbb{N}\longrightarrow\mathbb{R}$).

W praktyce często spotykamy sie z ciągami o wyrazach innych niż liczby rzeczywiste. Na przykład, gdy mierzymy co sekundę prędkość i położenie w przestrzeni ($\displaystyle\mathbb{R}^3$) jakiegoś obiektu, dostajemy ciąg, który każdemu $t\in\mathbb{N}$ przypisuje cztery wartości, czyli element z $\displaystyle\mathbb{R}^4.$ Nasz ciąg możemy zatem zapisać $a\colon \mathbb{N}\ni t\longmapsto (a_1(t),a_2(t),a_3(t),a_4(t))\in\mathbb{R}^4,$ gdzie $a_1(t)\in\mathbb{R}$ jest prędkością w chwili $t,$ natomiast $\displaystyle (a_2(t),a_3(t),a_4(t))\in\mathbb{R}^3$ określają położenie punktu w przestrzeni.

Naszym celem teraz jest wprowadzenie pojęcia ciągu i pojęcia granicy tego ciągu. W matematyce te pojęcia można zdefiniować dla dowolnie wybranej metryki (aby zdefiniować granicę musimy móc mierzyć odległość). My jednak ograniczymy nasze rozumowania do przestrzeni $\mathbb{R}^N$ z metryką $d$, gdzie $d$ jest jedną z wyżej wprowadzonych metryk: $d_1$, $d_2$, lub $d_\infty$.

Definicja 3.16. [ciąg]

Ciągiem w $\mathbb{R}^N$ nazywamy dowolną funkcję $\displaystyle f\colon\mathbb{N}\longrightarrow\mathbb{R}^N$.
Ciąg ten oznaczamy

$\{x_n\}_{n\in \mathbb{N}}\subseteq \mathbb{R}^N,\quad \{x_n\}_{n=1}^{\infty}\subseteq \mathbb{R}^N,\quad \{x_n\}\subseteq \mathbb{R}^N,\quad \textrm{lub}\quad x_1,x_2,\ldots,$

gdzie

$f(n) \ =\ x_n \quad\textrm{dla}\ n\in\mathbb{N}.$

wykres

Powiemy teraz co to znaczy, że punkt $g\in\mathbb{R}^N$ jest granicą ciągu $\displaystyle\{x_n\}$. Intuicyjnie oznacza to, że wyrazy $x_n$ są "coraz bliżej" granicy $g$ w miarę wzrostu $n$. Formalnie podaje to poniższa definicja.

Definicja 3.17. [granica ciągu]

Niech $\displaystyle\{x_n\}\subseteq \mathbb{R}^N$ będzie ciągiem oraz niech $g\in \mathbb{R}^N.$
Mówimy, że $g$ jest granicą ciągu $\displaystyle\{x_n\},$ jeśli

$\forall \varepsilon>0\ \exists N\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N:\ d(x_n,g) < \varepsilon$

i piszemy

$\lim \limits_{n \to +\infty} x_n=g,\quad x_n\longrightarrow [n \to +\infty]{}g,\quad x_n\longrightarrow g,\quad x_n\stackrel{\mathbb{R}^N}{\longrightarrow} g \quad\textrm{lub}\quad x_n\stackrel{d}{\longrightarrow} g.$

Mówimy, że ciąg $\displaystyle\{x_n\}$ jest zbieżny, jeśli ma granicę, czyli

$\exists g\in \mathbb{R}^N:\ \lim\limits_{n \to +\infty} x_n=g.$

wykresy

Uwaga 3.18.

Warunek

$\forall \varepsilon>0\ \exists N\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N:\ d(x_n,g) < \varepsilon$

w powyższej definicji mówi, że dla dowolnego (dowolnie małego) $\displaystyle\varepsilon>0$ wyrazy ciągu $\displaystyle\{x_n\}$ są od pewnego miejsca (od $N$) oddalone od $g$ o mniej niż $\displaystyle\varepsilon.$ Warunek ten jest równoważny warunkowi

$\forall \varepsilon>0\ \exists N\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N:\ x_n\in K(g,\varepsilon),$

który mówi, że dla dowolnego (dowolnie małego) $\displaystyle\varepsilon>0$ wyrazy ciągu $\displaystyle\{x_n\}$ od pewnego miejsca (od $N$) leżą w kuli $K(g,\varepsilon).$ Wynika to wprost z definicji kuli, gdyż $x_n$ należy do kuli $K(g,\varepsilon)$ dokładnie wtedy, gdy odległość $x_n$ od $g$ jest mniejsza niż $\displaystyle\varepsilon,$ to znaczy

$d(x_n,g) < \varepsilon \ \Longleftrightarrow\ x_n\in K(g,\varepsilon).$

Definicja 3.19. [ciąg ograniczony]

Ciąg $\displaystyle\{x_n\}\subseteq \mathbb{R}^N$ nazywamy ograniczonym, jeśli zbiór jego wartości $\displaystyle\big\{x_n:\ n\in\mathbb{N}\big\}$ jest ograniczony w $\displaystyle\mathbb{R}^N,$ to znaczy zawarty w pewnej kuli. Innymi słowy ciąg $\displaystyle\{x_n\}$ jest ograniczony, gdy

$\exists x\in\mathbb{R}^N\ \exists r>0\ \forall n\in\mathbb{N}:\ d(x,x_n) < r.$

Przykład 3.20.

Jeśli ciąg $\displaystyle\{x_n\}\subseteq\mathbb{R}^N$ jest stały od pewnego miejsca, czyli istnieje $k_0\in\mathbb{N}$ takie, że

$x_n \ =\ x \qquad\forall\ n\ge k_0,$

to wówczas

$\lim\limits_{n \to +\infty} x_n \ =\ x.$

Oznacza to, że ciąg stały od pewnego miejsca jest zbieżny.

wykres

Przykład 3.21.

Niech $\displaystyle\{x_n\}\subseteq \mathbb{R}$ będzie ciągiem danym przez $\displaystyle x_n=\frac{1}{n}$ dla $n\ge 1.$ Wówczas

$\lim\limits_{n \to +\infty} x_n \ =\ 0.$

Aby to pokazać ustalmy dowolne $\displaystyle\varepsilon>0.$ Wówczas istnieje liczba naturalna $N$, która jest większa od $\displaystyle\frac{1}{\varepsilon}$ (gdyż dla każdej liczby rzeczywistej istnieje liczba naturalna od niej większa), czyli

$\exists N\in\mathbb{N}:\ N>\frac{1}{\varepsilon}.$

Zatem dla dowolnego $n\ge N,$ mamy $d(x_n,0) \ =\ |x_n-0| \ =\ |x_n| \ =\ \bigg|\frac{1}{n}\bigg| \ \le\ \frac{1}{N} \ < \ \varepsilon,$

zatem pokazaliśmy, że $\displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} x_n=0.$

Przykład 3.22. [ciąg geometryczny]

Niech $q\in(-1,1)$ oraz $x_n=q^n$ dla $n\ge 1.$ Wówczas

$\lim\limits_{n \to +\infty} x_n \ =\ 0.$

Dowód podobny do dowodu w przykładzie 3.21., pozostawiamy jako ćwiczenie.
Ciąg $\displaystyle\{q^n\}$ jest ciągiem geometrycznym o ilorazie $q$ (patrz definicja 1.8.).

Kolejne twierdzenie podaje związek między zbieżnością ciągu punktów, a zbieżnością ciągu liczbowego odległości jego wyrazów od granicy. Mówi ono, że ciąg $\displaystyle\{x_n\}$ jest zbieżny do granicy $g$ w $\displaystyle\mathbb{R}^N$ dokładnie wtedy, gdy ciąg $\{d(x_n,g)\}$ odległości $x_n$ od $g$ jest zbieżny do $0$ w $\displaystyle\mathbb{R}.$ Dowód wynika wprost z definicji.

Twierdzenie 3.23.

Niech $\displaystyle\{x_n\}\subseteq \mathbb{R}^N$ będzie ciągiem oraz $g\in \mathbb{R}^N.$ Wówczas

$\big[ x_n\stackrel{\mathbb{R}^N}{\longrightarrow} g \big] \quad\Longleftrightarrow\quad \big[ d(x_n,g)\stackrel{\mathbb{R}}{\longrightarrow} 0 \big],$

Powiemy teraz co to jest podciąg danego ciągu $\{x_n\}.$ Nieformalnie mówiąc, podciąg powstaje z ciągu przez skreślenie z niego pewnej liczby wyrazów (tak aby nadal pozostała nieskończona ich ilość):

$\{a_n\} = a_1,\quad a_2,\quad a_3,\quad a_4,\quad a_5,\quad,a_6,\quad a_7, \ldots$

$\{a_{n_k}\} = \not{a}_1,\quad\underline{a_2},\quad\not{a}_3,\quad\not{a}_4,\quad\underline{a_5},\quad\underline{a_6},\quad\not{a}_7,\ldots$

Formalna definicja podana jest poniżej.

wykres

Definicja 3.24. [podciąg]

Niech $\displaystyle\{x_n\}\subseteq \mathbb{R}^N$ będzie ciągiem. Niech $h\colon\mathbb{N}\longrightarrow\mathbb{N}$ będzie funkcją silnie rosnącą.
Ciąg $\displaystyle f\colon\mathbb{N}\ni n\longmapsto x_{h(n)}\in\mathbb{R}^N$ nazywamy podciągiem ciągu $\displaystyle\{x_n\}$ i oznaczamy

$\displaystyle\{x_{n_k}\} \quad \textrm{lub} \displaystyle\{x_{n_k}\}_{k \in \mathbb{N}} \quad \textrm{lub} \quad \displaystyle\{x_{n_k}\}_{k=1}^{\infty}$

gdzie $\displaystyle n_k=h(k)$ dla $k\in \mathbb{N}.$

W kolejnym twierdzeniu zebrane są własności granic. Niektóre z nich udowodnimy na ćwiczeniach (patrz ćwiczenie 3.3. i ćwiczenie 3.4.).

Twierdzenie 3.25. [własności granic]

Jeśli $\displaystyle\{x_n\}\subseteq\mathbb{R}^N$ jest ciągiem, $g\in\mathbb{R}^N,$ to
(1) Istnieje co najwyżej jedna granica ciągu $\displaystyle\{x_n\},$ to znaczy

$\bigg[\lim\limits_{n \to +\infty} x_n = g_1\in \mathbb{R}^N \quad\textrm{i}\quad \lim\limits_{n \to +\infty} x_n = g_2\in \mathbb{R}^N \bigg] \Longrightarrow\ _1=g_2.$

(2) Jeśli ciąg $\displaystyle\{x_n\}$ jest zbieżny, to jest ograniczony.
(3) Jeśli $\lim\limits_{n \to +\infty} x_n=g$ oraz $\displaystyle\big\{x_{n_k}\big\}$ jest dowolnym podciągiem ciągu $\displaystyle\{x_n\},$ to

$\lim\limits_{k \to +\infty} x_{n_k} \ =\ g.$

(4) Jeśli $\displaystyle\{x_n\}$ jest ciągiem zbieżnym oraz $\displaystyle\big\{x_{n_k}\big\}$ jest jego dowolnym podciągiem takim, że $\displaystyle\lim\limits_{k \to +\infty} x_{n_k}=g,$ to także

$\displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} x_n=g.$

(5) Jeśli dla dowolnego podciągu $\displaystyle\big\{x_{n_k}\big\}$ ciągu $\displaystyle\{x_n\}$ istnieje jego "dalszy" podciąg $\displaystyle\big\{x_{n_{k_l}}\big\}$ taki, że $\displaystyle\lim\limits_{l \to +\infty} x_{n_{k_l}}=g,$ to

$\displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} x_n=g.$

Jeśli $\displaystyle\{a_n\}\subseteq \mathbb{R}^N$ jest ciągiem w $\displaystyle\mathbb{R}^N,$ to jego wyrazy mają współrzędne: $a_n=(a_n^1,\ldots,a_n^N)$ dla $n\in\mathbb{N}.$ Kolejne twierdzenie podaje związek między zbieżnością ciągu $\displaystyle\{a_n\}$ w $\displaystyle\mathbb{R}^N,$ a zbieżnością ciągów na poszczególnych współrzędnych $\displaystyle\{a_n^1\},\ldots, \{a_n^N\}.$ Dzięki temu twierdzeniu liczenie granic ciągów w $\mathbb{R}^N$ sprowadza się do liczenia granic ciągów w $\mathbb{R}$ (dowód pomijamy).

Twierdzenie 3.26. [granica ciągu w iloczynie kartezjańskim]

Jeśli $\displaystyle\{a_n\}\subseteq \mathbb{R}^N$ jest ciągiem, czyli $a_n=(a_n^1,\ldots,a_n^N)$ dla $n\in\mathbb{N},$ oraz $a=(a^1,\ldots,a^N)\in \mathbb{R}^N,$ to
$\lim\limits_{n \to +\infty} a_n=a$ wtedy i tylko wtedy, gdy $\displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} a_n^i= a^i$ dla $i=1,\ldots,N.$