Informatyka MIMUW

Ciągi Cauchy'ego

Obok ciągów zbieżnych, ważną rolę odgrywają także tak zwane ciągi Cauchy'ego. Ciągi Cauchy'ego to takie ciągi, dla których odległości między wyrazami zmierzają do zera. Okazuje się, że w $\displaystyle\mathbb{R}^N$ z metryką euklidesową, ciągi Cauchy'ego są dokładnie ciągami zbieżnymi. Jednak nie dla każdej przestrzeni z metryką tak jest (patrz uwaga 3.31).

Definicja 3.27. [warunek Cauchy'ego]

Niech $\displaystyle\{x_n\}\subseteq \mathbb{R}^N$ będzie ciągiem. Mówimy, że ciąg $\displaystyle\{x_n\}$ spełnia warunek Cauchy'ego lub jest ciągiem Cauchy'ego, jeśli

$\forall \varepsilon>0\ \exists N\in\mathbb{N} \ \forall n,m\ge N:\ d(x_n,x_m) < \varepsilon.$

Warunek Cauchy'ego dla ciągu $\displaystyle\{x_n\}$ oznacza, że dla dowolnie wybranej liczby $\displaystyle\varepsilon>0,$ począwszy od pewnego miejsca, każde dwa wyrazy ciągu są oddalone od siebie o mniej niż $\displaystyle\varepsilon.$

Zacznijmy od prostych faktów.

Stwierdzenie 3.28.

Jeśli $\{x_n\}$ jest ciągiem Cauchy'ego, to jest ograniczony.

Dowód 3.28.

Weźmy $\varepsilon=1$. Wtedy istnieje $N\in \mathbb{N}$, takie, że dla wszystkich $n,m\geq N$ mamy $d(x_n,x_m) < 1$, w szczególności dla każdego $n\geq N$, $d(x_n,x_{N}) < 1$. Weźmy

$R:=\max\{d(x_1,x_{N}),d(x_2,x_{N}),...d(x_{N-1},x_{N})\}+1.$

Wtedy wszystkie wyrazy ciągu zawierają się w kuli $K(x_{N},R)$, a więc ciąg jest ograniczony.

Stwierdzenie 3.29.

Jeśli podciąg $\{x_{n_k}\}$ ciągu Cauchy'ego $\{x_n\}$ ma granicę $g$, to ciąg $\{x_n\}$ ma granicę $g$.

Dowód 3.29.

Ustalmy $\varepsilon>0$. Skoro $\lim\limits_{k \to +\infty} x_{n_k}=g$, to istnieje $K\in\mathbb{N}$, takie, że dla każdego $k\geq K$ mamy $d(x_{n_k},g) < \frac{\varepsilon}{2}$. Skoro zaś $\{x_n\}$ jest ciągiem Cauchy'ego, to istnieje $N\in \mathbb{N}$ takie, że dla wszystkich $m,n \geq N$ mamy $d(x_n,x_m) < \frac{\varepsilon}{2}$. Biorąc $M=\max\{N,K\}$, mamy dla wszystkich $m\geq M$

$d(x_m,g)\leq d(x_m,x_{n_M})+d(x_{n_M},g) < \frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2} \ =\ \varepsilon,$

a zatem $g$ jest granicą ciągu $\{x_n\}$.

Kolejne twierdzenie mówi, że w $\mathbb{R}^N$ ciągi są zbieżne dokładnie wtedy, gdy spełniają warunek Cauchy'ego.

Twierdzenie 3.30. [zbieżność ciągu a warunek Cauchy'ego]

Ciąg $\displaystyle\{x_n\}\subseteq \mathbb{R}^N$ jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia warunek Cauchy'ego.

Dowód 3.30.

"$\Longrightarrow$"
Wykażemy, że jeśli ciąg $\{x_n\}$ jest zbieżny, to spełnia warunek Cauchy'ego. Ustalmy $\varepsilon>0$. Skoro ciąg jest zbieżny do granicy $g$, to jego wyrazy są od pewnego miejsca odległe od $g$ o mniej niż $\frac{\varepsilon}{2}$, czyli

$\exists N\in \mathbb{N}\ \forall n\ge N: \ d(x_n,g) < \frac{\varepsilon}{2}.$

Weźmy teraz dowolne $m,n>N$. Wtedy $d(x_n,x_m) \ \le\ d(x_n,g)+d(x_m,g) < \frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon,$

a zatem ciąg $\{x_n\}$ spełnia warunek Cauchy'ego.

"$\Longleftarrow$"
Ta część dowodu będzie przeprowadzona później, po wprowadzeniu pojęcia zwartości.

Uwaga 3.31.

Dla dowolnie wybranego zbioru z metryką zachodzi tylko jedna implikacja w powyższym twierdzeniu, a mianowicie każdy ciąg zbieżny jest ciągiem Cauchy'ego. Aby pokazać, że przeciwna implikacja nie jest prawdziwa, rozważmy przedział otwarty $\displaystyle (0,1)$ z metryką euklidesową $d_2$ (czyli dla $x,y\in (0,1)$ ich odległość wynosi $|x-y|$). Ciąg $\displaystyle\{x_n\}$ zadany wzorem $\displaystyle x_n=\frac{1}{n}$ dla $n\in\mathbb{N}$ nie jest zbieżny w $\displaystyle (0,1)$ (dlaczego?), ale spełnia warunek Cauchy'ego. Aby to pokazać, ustalmy dowolne $\displaystyle\varepsilon>0.$ Wówczas

$\exists N\in \mathbb{N}:\ \frac{1}{N} < \frac{\varepsilon}{2}.$

Wówczas dla dowolnych $n,m\ge N$ mamy

$d_2(x_n,x_m) \ =\ |x_n-x_m| \ =\ \bigg|\frac{1}{n}-\frac{1}{m}\bigg| \ \le\ \frac{1}{n}+\frac{1}{m} \ \le\ \frac{1}{N}+\frac{1}{N} \ =\ \frac{2}{N} \ < \ \varepsilon.$

Pokazaliśmy zatem, że ciąg $\displaystyle\{x_n\}$ spełnia warunek Cauchy'ego.