Logika pierwszego rzędu, formuły, zdania, modele, tautologie

Zad. 1

Niech ${\mathfrak A} =\langle{\mathbb N}, p^{\mathfrak A}, q^{\mathfrak A}\rangle$ , gdzie:

$\langle a,b\rangle \in p^{\mathfrak A}$ wtw, gdy $a+b\geq 6$ ;

$\langle a,b\rangle \in q^{\mathfrak A}$ wtw, gdy $b=a+2$ .

Zbadać czy formuły

$\forall x p(x,y) \to \exists x q(x,y)$ ;
$\forall x p(x,y) \to \forall x q(x,y)$ ;
$\forall x p(x,y) \to \exists x q(x,z)$ ;

są spełnione przy wartościowaniu $v(y) = 7$ , $v(z) = 1$ w strukturze ${\mathfrak A}$ .

Zad. 2

Niech ${\mathfrak A} = \langle {\mathbb Z}, f^{\mathfrak A}, r^{\mathfrak A}\rangle$ i ${\mathfrak B} = \langle {\mathbb Z}, f^{\mathfrak B}, r^{\mathfrak B}\rangle$ , gdzie $f^{\mathfrak A}(m,n) = \min(m,n)$ , dla $m,n\in{\mathbb Z}$ , a $r^{\mathfrak A}$ jest relacją $\geq$ ;

$f^{\mathfrak B}(m,n) = m^2+n^2$ , dla $m,n\in{\mathbb Z}$ , a $r^{\mathfrak B}$ jest relacją $\leq$ .

Zbadać czy formuły

$\forall y(\forall x(r(z,f(x,y))\to r(z,y)))$ ;
$\forall y(\forall x(r(z,f(x,y)))\to r(z,y))$ ,

są spełnione przy wartościowaniu $v(z) =5$ , $v(y)=7$ w strukturach ${\mathfrak A}$ i ${\mathfrak B}$ .

Zad. 3

Czy formuła $\forall x(\lnot r(x,y)\to\exists z(r(f(x,z),g(y))))$ jest spełniona przy wartościowaniu $v(x) =3$ , $w(x) = 6$ i $u(x) = 14$

w strukturze ${\mathfrak A} = \langle {\mathbb N}, r^{\mathfrak A}\rangle$ , gdzie $r^{\mathfrak A}$ jest relacją podzielności?
w strukturze ${\mathfrak B} = \langle {\mathbb N}, r^{\mathfrak B}\rangle$ , gdzie $r^{\mathfrak B}$ jest relacją przystawania modulo 7?

Zad. 4

W jakich strukturach prawdziwa jest formuła $\exists y (y\neq x)$ ?
A formuła $\exists y (y\neq y)$ otrzymana przez ,,naiwne'' podstawienie $y$ na $x$ ?

Zad. 5

Podaj przykład modelu i wartościowania, przy którym formuła
$p(x,f(x)) \to \forall x\exists y\, p(f(y),x)$

jest:
a) spełniona;
b) nie spełniona.

Zad. 6

Zbadać, czy następujące formuły są tautologiami i czy są spełnialne:

$\exists x\forall y(p(x) \vee q(y)) \to \forall y(p(f(y))\vee q(y))$ ;
$\forall y(p(f(y))\vee q(y)) \to \exists x\forall y(p(x) \vee q(y))$ ;
$\exists x(\forall y q(y)\to p(x))\to \exists x\forall y(q(y)\to p(x))$ ;
$\exists x(\forall y q(y)\to p(x)) \to\exists x(q(x)\to p(x))$ .

Zad. 7

Niech $f$ będzie jednoargumentowym symbolem funkcyjnym, który nie występuje w formule $\varphi$ .
Pokazać, że formuła $\forall x\exists y \varphi$ jest spełnialna wtedy i tylko wtedy gdy formuła $\forall x \varphi(f(x)/y)$ jest spełnialna.

Zad. 8

Udowodnić, że zdanie $\forall x\exists y\,p(x,y)\wedge \forall x\neg p(x,x) \wedge \forall x\forall y\forall z(p(x,y)\wedge p(y,z)\to p(x,z))$ ma tylko modele nieskończone.

Zad. 9

Dla każdego $n$ napisać takie zdanie $\varphi_n$ , że ${\mathfrak A}\models\varphi_n$ zachodzi \wtw, gdy ${\mathfrak A}$ ma dokładnie $n$ elementów.

Zad. 10

Udowodnić, że dla każdej struktury skończonej ${\mathfrak A}$ nad skończoną sygnaturą istnieje taki zbiór $\Delta$ zdań pierwszego rzędu, że ${\mathfrak A}\models\Delta$ i dla każdej struktury ${\mathfrak B}\models\Delta$ zachodzi ${\mathfrak B}\cong{\mathfrak A}.$

Zad. 11

Czy jeśli ${\mathfrak A} \models \exists x\,\varphi$ , to także ${\mathfrak A} \models \varphi[t/x]$ , dla pewnego termu $t$ ?

Zad. 12

Niech $\varphi$ będzie zdaniem
$\forall x\forall y\,(y=f(g(x))\to(\exists u\,(u=f(x)\land y=g(u))))$ oraz niech $\psi$ będzie zdaniem $\forall x\,[f(g(f(x)))=g(f(f(x)))]$ .

Czy $\{\psi\}\models\varphi$ ?

Wskazówka

W zadaniach typu ,,Pokazać, że zbiór zdań

$\Delta$ jest niezależny”, należy za każdym razem udowodnić, że dla każdego

$\varphi\in\Delta,$

$\Delta\setminus\{\varphi\}\not\models\varphi,$ poprzez wskazanie modelu

$\Delta\setminus\{\varphi\},$ który nie jest modelem

$\varphi.$

Zad. 13

Pokazać, że zbiór aksjomatów relacji równoważności

$\left\{\begin{array}[]{c}\forall x\forall y(Exy\to Eyx)\\ \forall x\ Exx\\ \forall x\forall y\forall z((Exy\land Eyz)\to Exz)\end{array}\right\}$

jest niezależny.

Zad. 14

Pokazać, że zbiór aksjomatów liniowych porządków

$\left\{\begin{array}[]{c}\forall x\forall y((x\leq y)\lor(y\leq x))\\ \forall x\forall y((x\leq y\land y\leq x)\to x=y)\\ \forall x\forall y\forall z((x\leq y\land y\leq z)\to x\leq z)\end{array}\right\}$

jest niezależny.

Zad. 15

Pokazać, że zbiór aksjomatów teorii grup (w zapisie multiplikatywnym, nad sygnaturą
$\Sigma^{F}_{{2}}=\{*\},\Sigma^{F}_{0}=\{ 1\}$ )

$\left\{\begin{array}[]{c}\forall x((1*x=x)\land(x*1=x))\\ \forall x\forall y\forall z((x*y)*z=x*(y*z))\\ \forall x\exists y((x*y=1)\land(y*x=1))\end{array}\right\}$

jest niezależny.

Zad. 16

Pokazać, że zdanie $(\forall x\exists y\ Exy)\to(\exists x\forall y\ Exy)$ nie jest tautologią.

Zad. 17

Pokazać, że zdanie

$(\forall x\forall y((f(x)=f(y))\to(x=y)))\to(\forall x\exists y(f(y)=x))$

nie jest tautologią. Czy jego negacja ma model skończony?

Zad. 18

Pokazać, że zdanie $\exists x\exists y\exists u\exists v((\lnot u=x)\lor(\lnot v=y))\land(f(x,y)=f(u,v))$ nie jest tautologią. Ile nieizomorficznych modeli skończonych ma to zdanie?

Zad. 19

Pokazać, że następujące formuły są tautologiami:

$(\exists y p(y) \to \forall z q(z)) \to \forall y\forall z(p(y)\to q(z))$ ;
$(\forall x\exists y r(x,y) \to \exists x\forall y r(y,x))\to \exists x\forall y(r(x,y) \to r(y,x))$ ;
$\forall x\exists y((p(x)\to q(y))\to r(y)) \to ((\forall x p(x)\to \forall y q(y))\to \exists y r(y))$ ;
$\forall x(p(x)\to \exists y q(y))\to \exists y(\exists x p(x)\to q(y))$ .

Zad. 20

Czy
$\{\forall x\underbrace{f\ldots f}_n(x)= x~|~n=2,3,5,7\}\models\forall x \underbrace{f\ldots f}_{11}(x)= x$ ?

Informatyka MIMUW