Jak już wiemy nie wszystkie ciągi mają granicę. Na przykład ciągi \( a_n=(-1)^n \) i \( b_n=(-1)^nn \) nie mają granic nawet niewłaściwych. Zauważmy jednak, że z tych ciągów można wybrać podciągi, które mają granice (właściwe lub niewłaściwe) (na przykład \( \{a_{2n}\} \) i \( \{b_{2n}\} \)).
Co więcej, z poprzedniego wykładu (patrz wniosek 4.18.) wiemy, że z każdego ciągu liczbowego można wybrać podciąg posiadający granicę (właściwą lub niewłaściwą). Takie \( a\in\overline{\mathbb{R}} \), które są granicami jakichś podciągów danego ciągu będziemy nazywać punktami skupienia wyjściowego ciągu.
Postawmy następującą definicję. Definicja 5.9.
Niech \( \displaystyle\{a_n\}\subseteq\mathbb{R} \) będzie ciągiem.
(1) Mówimy, że \( a\in\overline{\mathbb{R}} \) jest punktem skupienia ciągu \( \displaystyle\{a_n\}, \) jeśli istnieje podciąg \( \displaystyle\{a_{n_k}\} \) taki, że \( \displaystyle\lim\limits_{k \to +\infty} a_{n_k}=a. \)
(2) Granicą dolną ciągu \( \displaystyle\{a_n\} \) nazywamy
\( \liminf\limits_{n \to +\infty} a_n \ =\ \mathop{\underline{\lim}}\limits_{n \to +\infty} a_n \ \stackrel{df}{=}\ \inf S, \)
gdzie \( S\subseteq\overline{\mathbb{R}} \) jest zbiorem punktów skupienia ciągu \( \displaystyle\{a_n\}. \)
(3) Granicą górną ciągu \( \displaystyle\{a_n\} \) nazywamy
\( \limsup\limits_{n \to +\infty} a_n \ =\ \mathop{\overline{\lim}}\limits_{n \to +\infty} a_n \ \stackrel{df}{=}\ \sup S, \)
gdzie \( S\subseteq\overline{\mathbb{R}} \) jest zbiorem punktów skupienia ciągu \( \displaystyle\{a_n\}. \)
{{przyklad|5.10.||
Obliczyć granicę dolną i górną dla ciągu \( \displaystyle\{a_n\}, \) gdzie \( \displaystyle a_n=(2+(-1)^n)n\sin\frac{1}{n}. \)
Ponieważ \( \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} n\sin\frac{1}{n}=\frac{\sin\frac{1}{n}}{\frac{1}{n}}=1 \) (patrz twierdzenie 5.8. (7)), \( \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} a_{2n}=3 \) oraz \( \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} a_{2n+1}=1, \) zatem jedynymi punktami skupienia ciągu \( \displaystyle\{a_n\} \) są liczby \( 1 \) i \( 3. \) Zatem
\( \mathop{\underline{\lim}}\limits_{n \to +\infty} a_n \ =\ 1, \qquad \mathop{\overline{\lim}}\limits_{n \to +\infty} a_n \ =\ 3. \)
Dla ciągów zbieżnych zarówno granica górna jak i granica dolna są równe granicy. Okazuje się, że jest również na odwrót, to znaczy, jeśli policzymy granicę dolną i granicę górną i okaże się, że są sobie równe, to ten ciąg jest zbieżny. Dokładniej, zachodzi następujące twierdzenie.
Twierdzenie 5.11.
Jeśli \( \displaystyle\{a_n\}\subseteq\mathbb{R} \) jest ciągiem liczbowym, to \( \displaystyle\{a_n\} \) ma granicę \( g\in\overline{\mathbb{R}} \) wtedy i tylko wtedy, gdy \( \displaystyle\liminf\limits_{n \to +\infty} a_n=\limsup\limits_{n \to +\infty} a_n=g. \)
Dowód 5.11. [nadobowiązkowy]
Niech \( \displaystyle\{a_n\}\subseteq\mathbb{R} \) będzie ciągiem liczbowym.
"\( \displaystyle\Longrightarrow \)":
Jeśli \( \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} a_n=g\in\overline{\mathbb{R}}, \) to dla dowolnego podciągu \( \displaystyle\big\{a_{n_k}\big\} \) ciągu \( \displaystyle\{a_n\} \) także \( \displaystyle\lim\limits_{k \to +\infty} a_{n_k}=g \) (patrz twierdzenie 3.25.). Zatem jedynym punktem skupienia ciągu \( \displaystyle\{a_n\} \) jest \( g \) oraz
\( \mathop{\underline{\lim}}\limits_{n \to +\infty} a_n \ =\ \mathop{\overline{\lim}}\limits_{n \to +\infty} a_n \ =\ g, \) co należało pokazać.
"\( \displaystyle\Longleftarrow \)":
Załóżmy teraz, że \( \displaystyle\mathop{\underline{\lim}}\limits_{n \to +\infty} a_n=\mathop{\overline{\lim}}\limits_{n \to +\infty} a_n=g\in\overline{\mathbb{R}}. \) Oznacza to w szczególności, że \( g \) jest jedynym punktem skupienia ciągu \( \displaystyle\{a_n\}. \)
Przypadek \( 1^o. \) Załóżmy, że \( g\in\mathbb{R}. \)
Należy pokazać, że
\( \forall\varepsilon>0\ \exists N\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N:\ a_n\in (g-\varepsilon,g+\varepsilon). \)
Dla dowodu niewprost przypuśćmy, że
\( \exists \varepsilon>0\ \forall N\in\mathbb{N}\ \exists n\ge N:\ a_n\not\in (g-\varepsilon,g+\varepsilon). \)
Możemy wówczas skonstruować podciąg \( \displaystyle\big\{a_{n_k}\big\} \) ciągu \( \displaystyle\{a_n\}, \) którego elementy nie leżą w przedziale \( \displaystyle (g-\varepsilon,g+\varepsilon), \) w następujący sposób:
\( \begin{align*} \exists n_1\ge 1 & & a_{n_1}\not\in (g-\varepsilon,g+\varepsilon), \\ \exists n_2> n_1 & & a_{n_2}\not\in (g-\varepsilon,g+\varepsilon), \\ \exists n_3> n_2 & & a_{n_3}\not\in (g-\varepsilon,g+\varepsilon), \\ \ldots & & \end{align*} \)
Z Wniosku 4.18. wiemy, że z tego ciągu można wybrać podciąg mający granicę \( \displaystyle\overline{g} \) (właściwą lub niewłaściwą). Oczywiście \( \displaystyle\overline{g}\not\in (g-\varepsilon,g+\varepsilon) \), czyli \( \displaystyle\overline{g}\ne g. \) Zatem otrzymaliśmy sprzeczność z faktem, że \( g \) jest jedynym punktem skupienia ciągu \( \displaystyle\{a_n\}. \)
Przypadek \( 2^o \) i \( 3^o. \) Załóżmy, że \( g=+\infty \) lub \( g=-\infty. \)
Dowód w tych dwóch przypadkach jest podobny do dowodu przypadku \( 1^o \) i pozostawiamy go jako ćwiczenie.