Jak już wiemy nie wszystkie ciągi mają granicę. Na przykład ciągi an=(−1)n i bn=(−1)nn nie mają granic nawet niewłaściwych. Zauważmy jednak, że z tych ciągów można wybrać podciągi, które mają granice (właściwe lub niewłaściwe) (na przykład {a2n} i {b2n}).
Co więcej, z poprzedniego wykładu (patrz wniosek 4.18.) wiemy, że z każdego ciągu liczbowego można wybrać podciąg posiadający granicę (właściwą lub niewłaściwą). Takie a∈¯R, które są granicami jakichś podciągów danego ciągu będziemy nazywać punktami skupienia wyjściowego ciągu.
Postawmy następującą definicję. Definicja 5.9.
Niech {an}⊆R będzie ciągiem.
(1) Mówimy, że a∈¯R jest punktem skupienia ciągu {an}, jeśli istnieje podciąg {ank} taki, że lim
(2) Granicą dolną ciągu \displaystyle\{a_n\} nazywamy
\liminf\limits_{n \to +\infty} a_n \ =\ \mathop{\underline{\lim}}\limits_{n \to +\infty} a_n \ \stackrel{df}{=}\ \inf S,
gdzie S\subseteq\overline{\mathbb{R}} jest zbiorem punktów skupienia ciągu \displaystyle\{a_n\}.
(3) Granicą górną ciągu \displaystyle\{a_n\} nazywamy
\limsup\limits_{n \to +\infty} a_n \ =\ \mathop{\overline{\lim}}\limits_{n \to +\infty} a_n \ \stackrel{df}{=}\ \sup S,
gdzie S\subseteq\overline{\mathbb{R}} jest zbiorem punktów skupienia ciągu \displaystyle\{a_n\}.
{{przyklad|5.10.||
Obliczyć granicę dolną i górną dla ciągu \displaystyle\{a_n\}, gdzie \displaystyle a_n=(2+(-1)^n)n\sin\frac{1}{n}.
Ponieważ \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} n\sin\frac{1}{n}=\frac{\sin\frac{1}{n}}{\frac{1}{n}}=1 (patrz twierdzenie 5.8. (7)), \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} a_{2n}=3 oraz \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} a_{2n+1}=1, zatem jedynymi punktami skupienia ciągu \displaystyle\{a_n\} są liczby 1 i 3. Zatem
\mathop{\underline{\lim}}\limits_{n \to +\infty} a_n \ =\ 1, \qquad \mathop{\overline{\lim}}\limits_{n \to +\infty} a_n \ =\ 3.
Dla ciągów zbieżnych zarówno granica górna jak i granica dolna są równe granicy. Okazuje się, że jest również na odwrót, to znaczy, jeśli policzymy granicę dolną i granicę górną i okaże się, że są sobie równe, to ten ciąg jest zbieżny. Dokładniej, zachodzi następujące twierdzenie.
Twierdzenie 5.11.
Jeśli \displaystyle\{a_n\}\subseteq\mathbb{R} jest ciągiem liczbowym, to \displaystyle\{a_n\} ma granicę g\in\overline{\mathbb{R}} wtedy i tylko wtedy, gdy \displaystyle\liminf\limits_{n \to +\infty} a_n=\limsup\limits_{n \to +\infty} a_n=g.
Dowód 5.11. [nadobowiązkowy]
Niech \displaystyle\{a_n\}\subseteq\mathbb{R} będzie ciągiem liczbowym.
" \displaystyle\Longrightarrow ":
Jeśli \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} a_n=g\in\overline{\mathbb{R}}, to dla dowolnego podciągu \displaystyle\big\{a_{n_k}\big\} ciągu \displaystyle\{a_n\} także \displaystyle\lim\limits_{k \to +\infty} a_{n_k}=g (patrz twierdzenie 3.25.). Zatem jedynym punktem skupienia ciągu \displaystyle\{a_n\} jest g oraz
\mathop{\underline{\lim}}\limits_{n \to +\infty} a_n \ =\ \mathop{\overline{\lim}}\limits_{n \to +\infty} a_n \ =\ g, co należało pokazać.
" \displaystyle\Longleftarrow ":
Załóżmy teraz, że \displaystyle\mathop{\underline{\lim}}\limits_{n \to +\infty} a_n=\mathop{\overline{\lim}}\limits_{n \to +\infty} a_n=g\in\overline{\mathbb{R}}. Oznacza to w szczególności, że g jest jedynym punktem skupienia ciągu \displaystyle\{a_n\}.
Przypadek 1^o. Załóżmy, że g\in\mathbb{R}.
Należy pokazać, że
\forall\varepsilon>0\ \exists N\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N:\ a_n\in (g-\varepsilon,g+\varepsilon).
Dla dowodu niewprost przypuśćmy, że
\exists \varepsilon>0\ \forall N\in\mathbb{N}\ \exists n\ge N:\ a_n\not\in (g-\varepsilon,g+\varepsilon).
Możemy wówczas skonstruować podciąg \displaystyle\big\{a_{n_k}\big\} ciągu \displaystyle\{a_n\}, którego elementy nie leżą w przedziale \displaystyle (g-\varepsilon,g+\varepsilon), w następujący sposób:
\begin{align*} \exists n_1\ge 1 & & a_{n_1}\not\in (g-\varepsilon,g+\varepsilon), \\ \exists n_2> n_1 & & a_{n_2}\not\in (g-\varepsilon,g+\varepsilon), \\ \exists n_3> n_2 & & a_{n_3}\not\in (g-\varepsilon,g+\varepsilon), \\ \ldots & & \end{align*}
Z Wniosku 4.18. wiemy, że z tego ciągu można wybrać podciąg mający granicę \displaystyle\overline{g} (właściwą lub niewłaściwą). Oczywiście \displaystyle\overline{g}\not\in (g-\varepsilon,g+\varepsilon) , czyli \displaystyle\overline{g}\ne g. Zatem otrzymaliśmy sprzeczność z faktem, że g jest jedynym punktem skupienia ciągu \displaystyle\{a_n\}.
Przypadek 2^o i 3^o. Załóżmy, że g=+\infty lub g=-\infty.
Dowód w tych dwóch przypadkach jest podobny do dowodu przypadku 1^o i pozostawiamy go jako ćwiczenie.