Wykład ten poświęcony jest szeregom liczbowym. Definiujemy pojęcia szeregu, szeregu zbieżnego. Podajemy warunek konieczny i warunek Cauchy'ego zbieżności szeregów. Dowodzimy kryterium porównawczego zbieżności szeregów oraz twierdzenie o grupowaniu wyrazów szeregu. Dowodzimy rozbieżności szeregu harmonicznego.
Definicja 6.1.
Niech \( \displaystyle\{a_n\}\subseteq \mathbb{R} \) będzie ciągiem liczbowym.
(1) Szeregiem o wyrazach \( a_n \) (\( n\in\mathbb{N} \)) nazywamy ciąg \( \displaystyle\{S_k\}_{k\in\mathbb{N}}, \) zwany ciągiem sum częściowych, gdzie \( S_k=\sum_{n=1}^k a_n \) dla \( k\in\mathbb{N}. \)
Szereg oznaczamy przez
\( \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n, \quad \sum a_n\quad\textrm{lub}\quad a_1+a_2+\ldots. \)
(2) Szereg nazywamy zbieżnym, jeśli ciąg sum częściowych jest zbieżny.
Sumą szeregu nazywamy granicę ciągu sum częściowych i oznaczamy tym samym symbolem co szereg, to znaczy \( \displaystyle\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n=\lim\limits_{k \to +\infty} S_k. \)
(3) Jeśli ciąg sum częściowych jest rozbieżny do \( \displaystyle\pm\infty, \) to mówimy, że szereg jest rozbieżny do \( \displaystyle\pm\infty \) (lub, że ma sumę niewłaściwą \( \displaystyle\pm\infty \)) i piszemy \( \displaystyle\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n=\pm\infty. \)
(4) Mówimy, że szereg jest bezwzględnie zbieżny, jeśli szereg \( \displaystyle\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}|a_n| \) jest zbieżny.
(5) Mówimy, że szereg jest warunkowo zbieżny, jeśli jest on zbieżny, ale nie bezwzględnie zbieżny.
(6) Mówimy, że szereg jest rozbieżny, jeśli nie jest zbieżny.
Przykład 6.2.
Szeregiem o wyrazach \( a_n=n \) jest \( \displaystyle\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n. \) Ciąg sum częściowych tego szeregu, to
\( S_k \ =\ 1+2+\ldots+k=\frac{k(k+1)}{2}. \)
Szereg ten jest rozbieżny.
Zachodzi następujący warunek konieczny zbieżności szeregów. Pozwala on w stosunkowo prosty sposób stwierdzić brak zbieżności dla pewnych szeregów (nie spełniających tego warunku).
Twierdzenie 6.3. [Warunek konieczny zbieżności szeregów]
Jeśli szereg \( \displaystyle\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n \) jest zbieżny, to \( \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} a_n=0. \)
Dowód 6.3.
Niech \( S_n=\displaystyle \sum_{i=0}^n a_i \) będzie ciągiem sum częściowych szeregu. Z założenia wiemy, że
\( \exists S\in\mathbb{R}:\ \lim\limits_{n \to +\infty} S_n=S. \)
Zauważmy, że
\( \forall n\in\mathbb{N}: a_n=S_n-S_{n-1}, \) zatem
\( \lim\limits_{n \to +\infty} a_n \ =\ \lim\limits_{n \to +\infty} (S_n-S_{n+1}) \ =\ \lim\limits_{n \to +\infty} S_n- \lim\limits_{n \to +\infty} S_{n-1} \ =\ S-S \ =\ 0. \)
Przykład 6.4.
Zbadać zbieżność szeregu \( \displaystyle\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2}\sin\frac{1}{n}. \)
Licząc granicę wyrazów tego szeregu dostajemy
\( \lim\limits_{n \to +\infty} a_n \ =\ \lim\limits_{n \to +\infty} \frac{n}{2}\sin\frac{1}{n} \ =\ \frac{1}{2}\lim\limits_{n \to +\infty} \frac{\sin\frac{1}{n}}{\frac{1}{n}} \ =\ \frac{1}{2} \ \ne\ 0, \)
zatem nie jest spełniony warunek konieczny zbieżności szeregów (porównaj twierdzenie 6.3.). Szereg jest rozbieżny.
Przykład 6.5.
Z szeregiem geometrycznym \( \displaystyle\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a q^n \) spotkaliśmy się już na wykładzie 1 (patrz Przykład przykład 1.12.). Przypomnijmy, że jeśli \( a\ne 0, \) to jest on zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy \( |q| < 1 \) i wówczas
\( \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a q^n \ =\ \frac{a}{1-q}. \)
Najprostszymi działaniami jakie możemy wykonać na szeregach są dodawanie/odejmowanie szeregów i mnożenie szeregu przez liczbę. Kolejne twierdzenie mówi, iż operacje te "zachowują" zbieżność. Dowód (oparty na twierdzeniu o arytmetyce granic ciągów) pozostawiamy jako proste ćwiczenie.
Twierdzenie 6.6. [Działania na szeregach]
Jeśli \( \displaystyle\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n \) i \( \displaystyle\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} b_n \) są dwoma szeregami zbieżnymi oraz \( \displaystyle\lambda\in\mathbb{R}, \) to
(1) szeregi \( \displaystyle\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} (a_n\pm b_n) \) są zbieżne oraz
\( \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} (a_n\pm b_n) \ =\ \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n \ +\ \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} b_n; \)
(2) szereg \( \displaystyle\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \lambda a_n \) jest zbieżny oraz
\( \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \lambda a_n \ =\ \lambda\cdot\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n. \)
Ponieważ szereg jest ciągiem (zwanym ciągiem sum częściowych) więc wszystkie twierdzenia dotyczące ciągów można przenieść na pojęcie szeregu. W szczególności dla ciągu sum częściowych \( \{S_n\} \) szeregu \( \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n \) prawdziwe jest twierdzenie, że ciąg ten jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia warunek Cauchy'ego. Mówi o tym poniższe twierdzenie.
Twierdzenie 6.7. [Warunek Cauchy'ego zbieżności szeregów]
Jeśli \( \displaystyle\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n \) jest szeregiem, to szereg \( \displaystyle\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n \) jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy
\( \forall \varepsilon>0\ \ \exists N\in\mathbb{N}\ \ \forall m>n\ge N:\ \ \ \big|a_{n+1}+\ldots a_m\big| < \varepsilon. \)
Powyższy warunek nazywamy warunkiem Cauchy'ego dla szeregów.
Zauważmy, że
\( \big|a_{n+1}+\ldots a_m\big| \ =\ |S_m-S_n|, \)
czyli warunek w powyższej definicji jest dokładnie warunkiem Cauchy'ego dla ciągów.
Kolejne twierdzenie będziemy często wykorzystywać przy sprawdzaniu czy dany szereg jest zbieżny.
Twierdzenie 6.8. [Zbieżność a bezwzględna zbieżność]
Jeśli szereg \( \displaystyle\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n \) jest bezwzględnie zbieżny, to jest on zbieżny.
Dowód 6.8.
Mamy pokazać zbieżność szeregu \( \displaystyle\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n. \) Ustalmy dowolne \( \displaystyle\varepsilon>0. \) Ponieważ szereg \( \displaystyle\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} |a_n| \) jest zbieżny, więc spełnia warunek Cauchy'ego dla szeregów (patrz twierdzenie 6.7.), zatem
\( \exists N\in \mathbb{N}\ \forall m>n\ge N:\ |a_{n+1}|+\ldots+|a_m| < \varepsilon. \) Zatem dla dowolnych \( m>n\ge N, \) mamy
\( |a_{n+1}+\ldots+a_m| \ \le\ |a_{n+1}|+\ldots+|a_m| < \varepsilon, \)
czyli szereg \( \displaystyle\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n \) spełnia warunek Cauchy'ego dla szeregów. Korzystając ponownie z twierdzenie 6.7. otrzymujemy, że szereg \( \displaystyle\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n \) jest zbieżny.
Oprócz warunku koniecznego zbieżności szeregów (pomocnego przy rozstrzyganiu zbieżności szeregów) można podać wiele warunków wystarczających zbieżności szeregów. Warunki te nazywamy kryteriami. Podstawowym kryterium w teorii szeregów jest poniższe kryterium porównawcze. Mówi ono, że jeśli wyrazy szeregu szacują się przez wyrazy innego szeregu zbieżnego (przynajmniej "od pewnego miejsca"), to wyjściowy szereg też jest zbieżny.
Twierdzenie 6.9. [Kryterium porównawcze zbieżności szeregów]
Jeśli \( \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n,\displaystyle\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} b_n \) są szeregami takimi, że \( \displaystyle _n\ge 0,b_n\ge 0 \) dla \( n\in \mathbb{N} \) oraz
\( \displaystyle\exists N\in\mathbb{N}\ \ \forall n\ge N:\ \ a_n\le b_n, \)
to
(1) jeśli szereg \( \displaystyle\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} b_n \) jest zbieżny, to szereg \( \displaystyle\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n \) jest zbieżny;
(2) jeśli szereg \( \displaystyle\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n \) jest rozbieżny, to szereg \( \displaystyle\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} b_n \) jest rozbieżny.
Dowód 6.9.
(Ad (1)) Oznaczmy sumy częściowe obu szeregów odpowiednio przez:
\( \displaystyle A_n=\sum_{k=1}^n a_n,\quad B_n=\sum_{k=1}^n b_n. \)
Ciągi \( \displaystyle\{A_n\} \) i \( \displaystyle\{B_n\} \) są rosnące (gdyż szeregi mają wyrazy nieujemne). Ciąg \( \displaystyle\{B_n\} \) jako zbieżny jest ograniczony, to znaczy
\( \displaystyle\exists B\in\mathbb{R}\ \forall n\in\mathbb{N}: |B_n|\le B. \)
Dla \( n\ge N, \) mamy zatem
\( \displaystyle\begin{align*} A_n & = & a_1+\ldots+a_N+a_{N+1}+\ldots+a_n \ \le\ a_1+\ldots a_N+b_{N+1}+\ldots+b_n \\ & = & a_1+\ldots a_N+B_n-(b_1+\ldots+b_N) \ \le\ a_1+\ldots a_N-(b_1+\ldots+b_N) +B, \end{align*} \)
zatem ciąg \( \displaystyle\{A_n\} \) jest ograniczony. Z twierdzenia 4.15. (1) wnioskujemy, że jest on zbieżny. Zatem szereg \( \displaystyle\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n \) jest zbieżny.
(Ad (2)) Jest to równoważne (1).
Kolejne twierdzenie mówi o szeregu, w którym pogrupowano pewne wyrazy, to znaczy policzono sumy kolejnych wyrazów pogrupowanych w skończone grupy, to znaczy
\( (a_1+\ldots+a_{l_2-1}) +(a_{l_2}+\ldots+a_{l_3-1}) +(a_{l_3}+\ldots+a_{l_4-1}) +\ldots. \)
Twierdzenie 6.10. [O grupowaniu wyrazów szeregu]
Jeśli \( \displaystyle\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n \) jest szeregiem zbieżnym, \( \displaystyle\{l_n\}\subseteq \mathbb{N} \) jest ciągiem silnie rosnącym takim, że \( l_1=1 \), to szereg \( \displaystyle\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\big(a_{l_n}+a_{l_n+1}+\ldots+a_{l_{n+1}-1}\big) \) jest zbieżny oraz
\( \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\big(a_{l_n}+a_{l_n+1}+\ldots+a_{l_{n+1}-1}\big) \ =\ \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n. \)
Dowód 6.10.
Zauważmy, że ciąg sum częściowych szeregu pogrupowanego jest podciągiem ciągu sum częściowych wyjściowego szeregu. Wystarczy zatem zastosować twierdzenie 3.25. Szczegóły pozostawiamy jako proste ćwiczenie.
Wniosek 6.11.
Jako konsekwencję powyższego twierdzenia dostajemy stwierdzenie, że "jeśli po pogrupowaniu wyrazów szeregu \( \displaystyle\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n \) otrzymamy szereg rozbieżny, to wyjściowy szereg też był rozbieżny".
Uwaga 6.12.
Twierdzenie odwrotne do twierdzenia 6.10. nie jest prawdziwe.
Aby to sprawdzić rozważmy następujący szereg naprzemienny
\( \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n. \)
Oczywiście jest to szereg rozbieżny, gdyż nie spełnia warunku koniecznego zbieżności szeregów. Pogrupujmy wyrazy tego szeregu "po dwa", to znaczy
\( \underbrace{(1-1)}_{=0} +\underbrace{(1-1)}_{=0} +\underbrace{(1-1)}_{=0} +\ldots \)
W ten sposób szereg pogrupowany jest szeregiem zerowym \( \displaystyle\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} 0. \) Jest on oczywiście zbieżny (do zera). Zatem ze zbieżności szeregu pogrupowanego nie można nic wnioskować o zbieżności wyjściowego szeregu.
Uwaga 6.13.
W pewnych jednak sytuacjach ze zbieżności szeregu pogrupowanego można wnioskować o zbieżności szeregu wyjściowego. Jest tak na przykład w przypadku szeregów o wyrazach nieujemnych. Jeśli \( \displaystyle\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n \) jest szeregiem o wyrazach nieujemnych, to zbieżność tego szeregu jest równoważna zbieżności szeregu pogrupowanego. Załóżmy bowiem, że szereg pogrupowany jest zbieżny. Wówczas jego ciąg sum częściowych jest ograniczony, powiedzmy przez \( M>0. \) Ale wtedy ciąg sum częściowych całego szeregu jest też ograniczony przez \( M \) (dlaczego?). Ponieważ ponadto ciąg sum częściowych szeregu \( \displaystyle\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n \) jest rosnący (bo wyrazy \( a_n \) są nieujemne), zatem jest on zbieżny. Szczegółowe rozpisanie tego rozumowania pozostawiamy jako ćwiczenie.
Na zakończenie podamy ważny przykład szeregu liczbowego, zwanego szeregiem harmonicznym oraz pewne jego uogólnienie. Szereg ten będzie miał istotne zastosowanie w badaniu zbieżności innych szeregów dzięki kryterium porównawczemu.
Przykład 6.14.
Szereg \( \displaystyle\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} \) jest rozbieżny. Nazywamy go szeregiem harmonicznym.
Dowód przykładu 6.14.
Aby stwierdzić rozbieżność szeregu harmonicznego, pogrupujmy jego wyrazy w następujący sposób:
\( \underbrace{1}_{=p_0\ge 1} +\underbrace{\frac{1}{2}}_{=p_1\ge \frac{1}{2}} +\underbrace{\bigg(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\bigg)}_{=p_2\ge 2\cdot\frac{1}{4}} +\underbrace{\bigg(\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}\bigg)}_{=p_3\ge 4\cdot\frac{1}{8}} +\underbrace{\bigg(\frac{1}{9}+\ldots+\frac{1}{16}\bigg)}_{=p_4\ge 8\cdot\frac{1}{16}} +\ldots \)
Każda kolejna grup począwszy od drugiej ma dwa razy więcej składników od poprzedniej oraz wyrazy w każdej grupie szacują się od dołu przez ostatni składnik postaci \( \displaystyle\frac{1}{2^k}, \) gdzie \( k \) jest numerem "grupy". Jeśli szereg który otrzymamy po pogrupowaniu wyrazów oznaczymy \( \displaystyle\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} p_k, \) to zachodzi następujące oszacowanie na jego wyrazy:
\( \forall k\in\mathbb{N}:\ p_k\ge \frac{1}{2} \)
(patrz powyższy opis). Zatem szereg \( \displaystyle\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} p_k \) nie spełnia warunku koniecznego zbieżności szeregów, a więc jest rozbieżny. Z kryterium porównawczego zbieżności szeregów (patrz twierdzenie 6.9.) wynika, że szereg pogrupowany jest także rozbieżny. Z wniosku 6.11. wynika, że wyjściowy szereg harmoniczny jest rozbieżny.
Przykład 6.15.
Szereg \( \displaystyle\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{\alpha}} \) jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy \( \displaystyle\alpha>1. \) Nazywamy go uogólnionym szeregiem harmonicznym z wykładnikiem \( \displaystyle\alpha. \)
Jeśli \( \displaystyle\alpha\le 1 \) to zauważmy, że
\( \forall n\in\mathbb{N}: \frac{1}{n^{\alpha}}\ge\frac{1}{n}, \)
zatem korzystając z kryterium porównawczego (patrz twierdzenie 6.9.) oraz udowodnionej już rozbieżności szeregu harmonicznego dostajemy, że szereg \( \displaystyle\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{\alpha}} \) jest rozbieżny.
Załóżmy teraz, że \( \displaystyle\alpha>1. \) Zapiszmy \( \displaystyle\alpha=1+\beta \) z pewnym \( \displaystyle\beta>0. \) Zauważmy, że
\( \forall n\in\mathbb{N}: \frac{1}{n^{\alpha}} +\frac{1}{(n+1)^{\alpha}} +\ldots+ \frac{1}{(2n-1)^{\alpha}} \ \le\ \frac{n}{n^{\alpha}} \ =\ \frac{1}{n^{\beta}}. \)
Pogrupujmy wyrazy szeregu podobnie jak w części pierwszej dowodu oraz skorzystajmy z oszacowania powyżej:
\( \underbrace{1^{\alpha}}_{=p_0\le 1} +\underbrace{\frac{1}{2^{\alpha}}}_{=p_1\le \frac{1}{2^{\beta}}} +\underbrace{\bigg(\frac{1}{3^{\alpha}}+\frac{1}{4^{\alpha}}\bigg)}_{=p_2\le\frac{1}{4^{\beta}}} +\underbrace{\bigg(\frac{1}{5^{\alpha}}+\frac{1}{6^{\alpha}} +\frac{1}{7^{\alpha}}+\frac{1}{8^{\alpha}}\bigg)}_{=p_3\le\frac{1}{8^{\beta}}} +\underbrace{\bigg(\frac{1}{9^{\alpha}}+\ldots+\frac{1}{16^{\alpha}}\bigg)}_{=p_4\le\frac{1}{16^{\beta}}} +\ldots \)
Jeśli szereg, który otrzymamy po pogrupowaniu wyrazów oznaczymy \( \displaystyle\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} p_k, \) to zachodzi następujące oszacowanie na jego wyrazy:
\( \forall k\in\mathbb{N}:\ p_k\le \frac{1}{(2^{\beta})^k} \)
Ale szereg o wyrazach \( \displaystyle\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{(2^{\beta})^k} \) jest szeregiem geometrycznym zbieżnym (jego suma wynosi \( \displaystyle\frac{1}{1-\frac{1}{2^{\beta}}} \)). Zatem z kryterium porównawczego (patrz twierdzenie 6.9.) wynika, że także szereg pogrupowany \( \displaystyle\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} p_k \) jest zbieżny. Ponieważ w naszej sytuacji mamy do czynienia z szeregiem o wyrazach dodatnich, więc ze zbieżności szeregu pogrupowanego możemy wnioskować o zbieżności szeregu wyjściowego (patrz uwaga 6.13.).