Wartość oczekiwana i wariancja

Zadanie 1

Obliczyć wartość oczekiwaną i wariancję rozkładu geometrycznego.

Zadanie 2

Obliczyć wartość oczekiwaną i wariancję rozkładu Poissona.

Zadanie 3

Jan ma przyjaciela, który jest nałogowym hazardzistą i uwielbia grać w ruletkę. Za każdym razem stawia wtedy 10zł na liczbę 13, i jeśli ta liczba wypada (a jest ona jedną z 38 liczb na kole ruletki), wygrywa z powrotem swoje 10zł oraz dodatkowe 350zł, w przeciwnym przypadku traci postawione 10zł. Jan postanawia wyleczyć go z nałogu. Przed każdą wizytą w kasynie zakłada się z przyjacielem o to, że po 36 obstawieniach będzie na minusie. Stawka zakładu wynosi 200zł. Jak dobrze działa takie lekarstwo?

Zadanie 4

Gramy w następującą grę: Ktoś rzuca monetą, aż do wypadnięcia pierwszego orła. Powiedzmy, że orzeł wypadł w \(i\)-tym rzucie. Następnie do dwóch kopert wkłada odpowiednio \(2^i\) i \(2^{i+1}\) zł. Dostajemy losowo wybraną kopertę i mamy zdecydować, czy chcemy wziąć tę drugą czy nie.

1. Powiedzmy, że otrzymaliśmy kopertę z kwotą \(2^i\) zł. Obliczyć wartość oczekiwaną kwoty w drugiej kopercie i porównać z \(2^i\).
2. Dlaczego wynik z poprzedniego punktu wydaje się nie mieć sensu?
3. Jak to się stało, że otrzymaliśmy tak absurdalny wynik? Wyjaśnij.
4. Jeśli nie sądzisz, że te wyniki są absurdalne, to spróbuj z \(3^i\) i \(3^{i+1}\) zamiast \(2^i\) i \(2^{i+1}\).

Zadanie 5 (Paradoks petersburski)

Kasyno oferuje następującą grę: Krupier rzuca monetą do momentu wypadnięcia pierwszego orła. Jeśli pierwszy orzeł wypada w \(i\)-tym rzucie, wygrywamy
\(2^i\) zł. Ile warto zapłacić za granie w tę grę? Zastanów się nad praktycznym sensem tego wyniku.

Liniowość wartości oczekiwanej

Zadanie 1

Na kinowy seans "dla singli" spóźniło się 15 singli: 8 mężczyzn i 7 kobiet. Ponieważ jest już ciemno, a spóźnialscy nie chcą przeszkadzać innym, siadają wszyscy losowo w pierwszym rzędzie, który ma 16 miejsc (czyli o jedno za dużo). Ile będzie średnio par mężczyzna-kobieta siedzących obok siebie?

Zadanie 2 (Kolekcjoner kuponów)

Kupujemy gumy do żucia, w każdej znajduje się jedna z \(n\) historyjek. Ile gum trzeba średnio kupić, żeby zebrać wszystkie historyjki? Jaka jest wariancja tej wielkości? Zakładamy, że historyjki znajdujące się w kolejno kupowanych gumach są losowe (każda równie prawdopodobna) i niezależne od siebie.

Zadanie 3

Wrzucamy losowo \(n\) kul do \(n\) urn. Oblicz wartość oczekiwaną i wariancję liczby niepustych urn.

Zadanie 4

W \(n\)-wierzchołkowym grafie losowym \(G\) każda krawędź istnieje z prawdopodobieństwem \(p\) niezależnie od pozostałych krawędzi. Oblicz wartość oczekiwaną liczby wierzchołków izolowanych i wariancję tej wielkości.

Funkcje tworzące prawdopodobieństwa

Zadanie 1

Oblicz wartość oczekiwaną i wariancję rozkładu Poissona korzystając z funkcji tworzących prawdopodobieństwa.

Zadanie 2

Oblicz wartość oczekiwaną i wariancję rozkładu geometrycznego korzystając z funkcji tworzących prawdopodobieństwa.