Rozkład dwumianowy i Poissona

Zadanie 1 (Kształt rozkładu dwumianowego)

Rozważmy zmienną \(X \sim \textrm{Binom}(n,p)\). Niech \(K = \lfloor (n+1)p \rfloor\). Pokazać, że \( P(X=k) \) jest funkcją niemalejącą dla \(k \le K\), oraz malejącą dla \(k \ge K\).

Zadanie 2 (Kształt rozkładu Poissona)

Rozważmy zmienną \(X \sim \textrm{Pois}(\lambda) \). Niech \(K = \lfloor \lambda \rfloor\). Pokazać, że \( P(X=k) \) jest funkcją rosnącą dla \( k \le K\), oraz malejącą dla \(k \ge K\).

Zadanie 3 (Rozkład Poissona jako granica rozkładów dwumianowych)

Pokazać, że jeśli \(n_i \rightarrow \infty\) oraz \(n_i p_i \rightarrow \lambda\) (a zatem \(p_i \rightarrow 0\) ) to rozkłady \(\textrm{Binom}(n_i,p_i)\) zbiegają do rozkładu \(\textrm{Pois}(\lambda)\).

Uwaga: Chodzi tu o zbieżność punktową, tzn. zbieżność prawdopodobieństw przyjęcia każdej konkretnej wartości.

Zadanie 4

Idziemy na przyjęcie na którym jest 500 osób. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że dokładnie dwie osoby będą miały tę samą datę urodzin (tj. miesiąc/dzień) co my? Rozwiązać na dwa sposoby:

• użyć rozkładu dwumianowego,
• przybliżyć rozkładem Poissona.

Zadanie 5 (trudne)

Gramy serię gier (mecz) z przeciwnikiem od którego jesteśmy słabsi, tzn. nasze prawdopodobieństwo wygrania pojedynczej gry jest równe \(p < 0.5\). Mecz składa się z parzystej liczby gier, wygrywamy jeśli wygramy więcej niż połowę gier. Możemy wybrać liczbę gier w meczu: 0, 2,4,6, itd. Jaką liczbę powinniśmy wybrać, aby zmaksymalizować prawdopodobieństwo zwycięstwa?

Zadanie 6 (Zapałki Banacha)

Palący matematyk nosi po jednym pudełku zapałek w lewej i prawej kieszeni spodni. Za każdym razem, gdy chce zapalić, wyciąga pudełko z losowej kieszeni. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że gdy wyciągnie w końcu puste pudełko, w drugim jest dokładnie \(k\) zapałek? Zakładamy, że zabawa zaczyna się z dwoma pudełkami po \(n\) zapałek każde.
Uwaga: Uzyskany rozkład prawdopodobieństwa nazywa się ujemnym rozkładem dwumianowym. Czy widzisz dlaczego?

Rozkład geometryczny

Zadanie 1 (Własność braku pamięci)

Pokazać, że zmienna o rozkładzie geometrycznym "nie ma pamięci", tzn. dla dowolnych \(0\le m < n\) zachodzi \( P(X = n| X > m) = P( X = n-m) \). Nieco mniej formalnie: jeśli czekamy na orła i wypadło już \(m\) kolejnych reszek, to prawdopodobieństwo tego, że pierwszy orzeł wypadnie za \(n-m\) rzutów jest takie samo jak gdyby całej przeszłości (t.j. \(m\) reszek) nie było. Wiele osób sądzi, że \(P(X=n| X>m) > P(X=n-m) \) - orzeł niejako "należy się".

Zadanie 2 (Brak pamięci definiuje rozkład geometryczny)

Pokaż, że każda zmienna przyjmująca wartości \(1,2,\ldots\) i nie mająca pamięci (zobacz poprzednie zadanie) ma rozkład geometryczny. Jest to więc własność definiująca rozkład geometryczny.

Zadanie 3

Rzucamy monetą do momentu, kiedy wypadnie drugi orzeł. Pokazać, że jeśli ten drugi orzeł wypada w \(n\)-tym rzucie, prawdopodobieństwo wypadnięcia pierwszego orła w \(i\)-tym rzucie (\(i=1,\ldots,n-1\))jest takie samo dla każdego \(i\).

Niezależność zmiennych losowych

Zadanie 1 (Stabilność rozkładu dwumianowego i Poissona)

Jaki rozkład ma suma dwóch niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie dwumianowym z tym samym \(p\)? Jaki rozkład ma suma dwóch niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie Poissona?

Zadanie 2

Pokazać, że jeśli \(X\) i \(Y\) są niezależne i \(f,g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\), to \(f(X)\) i \(g(Y)\) są niezależne.

Zadanie 3 ("Dwumianowe przerzedzanie" rozkładu Poissona)

Jaki jest rozkład liczności potomstwa owada, u którego liczba złożonych jaj ma rozkład Poissona, i z każdego z jaj niezależnie wykluwa się młode z prawdopodobieństwem p?

Zadanie 4

W sytuacji jak w poprzednim zadaniu pokazać, że zmienne losowe opisujące wyklute i niewyklute jaja są niezależne.

Zadanie 5

Niech \(X, Y\) będą niezależne o rozkładzie Poissona. Pokazać, że rozkład \(X | X+Y=n\) jest dwumianowy, t.j. \( P(X=k|X+Y=n) = P(Z=k)\) dla pewnej zmiennej \(Z\) o rozkładzie dwumianowym.

Zadanie 6

Pokazać, że jeśli \(X,Y\) są niezależnymi zmiennymi o rozkładzie geometrycznym, to \(\min(X,Y)\) też ma rozkład geometryczny.