Processing math: 97%

Ćwiczenia 4: Dyskretne zmienne losowe

Rozkład dwumianowy i Poissona

Zadanie 1 (Kształt rozkładu dwumianowego)

Rozważmy zmienną XBinom(n,p). Niech K=(n+1)p. Pokazać, że P(X=k) jest funkcją niemalejącą dla kK, oraz malejącą dla kK.

Zadanie 2 (Kształt rozkładu Poissona)

Rozważmy zmienną XPois(λ). Niech K=λ. Pokazać, że P(X=k) jest funkcją rosnącą dla kK, oraz malejącą dla kK.

Zadanie 3 (Rozkład Poissona jako granica rozkładów dwumianowych)

Pokazać, że jeśli ni oraz nipiλ (a zatem pi0 ) to rozkłady Binom(ni,pi) zbiegają do rozkładu Pois(λ).

Uwaga: Chodzi tu o zbieżność punktową, tzn. zbieżność prawdopodobieństw przyjęcia każdej konkretnej wartości.

Zadanie 4

Idziemy na przyjęcie na którym jest 500 osób. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że dokładnie dwie osoby będą miały tę samą datę urodzin (tj. miesiąc/dzień) co my? Rozwiązać na dwa sposoby:

  • użyć rozkładu dwumianowego,
  • przybliżyć rozkładem Poissona.

Zadanie 5 (trudne)

Gramy serię gier (mecz) z przeciwnikiem od którego jesteśmy słabsi, tzn. nasze prawdopodobieństwo wygrania pojedynczej gry jest równe p<0.5. Mecz składa się z parzystej liczby gier, wygrywamy jeśli wygramy więcej niż połowę gier. Możemy wybrać liczbę gier w meczu: 0, 2,4,6, itd. Jaką liczbę powinniśmy wybrać, aby zmaksymalizować prawdopodobieństwo zwycięstwa?

Zadanie 6 (Zapałki Banacha)

Palący matematyk nosi po jednym pudełku zapałek w lewej i prawej kieszeni spodni. Za każdym razem, gdy chce zapalić, wyciąga pudełko z losowej kieszeni. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że gdy wyciągnie w końcu puste pudełko, w drugim jest dokładnie k zapałek? Zakładamy, że zabawa zaczyna się z dwoma pudełkami po n zapałek każde.
Uwaga: Uzyskany rozkład prawdopodobieństwa nazywa się ujemnym rozkładem dwumianowym. Czy widzisz dlaczego?

Rozkład geometryczny

Zadanie 1 (Własność braku pamięci)

Pokazać, że zmienna o rozkładzie geometrycznym "nie ma pamięci", tzn. dla dowolnych 0m<n zachodzi P(X=n|X>m)=P(X=nm). Nieco mniej formalnie: jeśli czekamy na orła i wypadło już m kolejnych reszek, to prawdopodobieństwo tego, że pierwszy orzeł wypadnie za nm rzutów jest takie samo jak gdyby całej przeszłości (t.j. m reszek) nie było. Wiele osób sądzi, że P(X=n|X>m)>P(X=nm) - orzeł niejako "należy się".

Zadanie 2 (Brak pamięci definiuje rozkład geometryczny)

Pokaż, że każda zmienna przyjmująca wartości 1,2, i nie mająca pamięci (zobacz poprzednie zadanie) ma rozkład geometryczny. Jest to więc własność definiująca rozkład geometryczny.

Zadanie 3

Rzucamy monetą do momentu, kiedy wypadnie drugi orzeł. Pokazać, że jeśli ten drugi orzeł wypada w n-tym rzucie, prawdopodobieństwo wypadnięcia pierwszego orła w i-tym rzucie (i=1,,n1)jest takie samo dla każdego i.

Niezależność zmiennych losowych

Zadanie 1 (Stabilność rozkładu dwumianowego i Poissona)

Jaki rozkład ma suma dwóch niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie dwumianowym z tym samym p? Jaki rozkład ma suma dwóch niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie Poissona?

Zadanie 2

Pokazać, że jeśli X i Y są niezależne i f,g:RR, to f(X) i g(Y) są niezależne.

Zadanie 3 ("Dwumianowe przerzedzanie" rozkładu Poissona)

Jaki jest rozkład liczności potomstwa owada, u którego liczba złożonych jaj ma rozkład Poissona, i z każdego z jaj niezależnie wykluwa się młode z prawdopodobieństwem p?

Zadanie 4

W sytuacji jak w poprzednim zadaniu pokazać, że zmienne losowe opisujące wyklute i niewyklute jaja są niezależne.

Zadanie 5

Niech X,Y będą niezależne o rozkładzie Poissona. Pokazać, że rozkład X|X+Y=n jest dwumianowy, t.j. P(X=k|X+Y=n)=P(Z=k) dla pewnej zmiennej Z o rozkładzie dwumianowym.

Zadanie 6

Pokazać, że jeśli X,Y są niezależnymi zmiennymi o rozkładzie geometrycznym, to min też ma rozkład geometryczny.