Rozkład dwumianowy i Poissona
Zadanie 1 (Kształt rozkładu dwumianowego)
Rozważmy zmienną X∼Binom(n,p). Niech K=⌊(n+1)p⌋. Pokazać, że P(X=k) jest funkcją niemalejącą dla k≤K, oraz malejącą dla k≥K.
Zadanie 2 (Kształt rozkładu Poissona)
Rozważmy zmienną X∼Pois(λ). Niech K=⌊λ⌋. Pokazać, że P(X=k) jest funkcją rosnącą dla k≤K, oraz malejącą dla k≥K.
Zadanie 3 (Rozkład Poissona jako granica rozkładów dwumianowych)
Pokazać, że jeśli ni→∞ oraz nipi→λ (a zatem pi→0 ) to rozkłady Binom(ni,pi) zbiegają do rozkładu Pois(λ).
Uwaga: Chodzi tu o zbieżność punktową, tzn. zbieżność prawdopodobieństw przyjęcia każdej konkretnej wartości.
Zadanie 4
Idziemy na przyjęcie na którym jest 500 osób. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że dokładnie dwie osoby będą miały tę samą datę urodzin (tj. miesiąc/dzień) co my? Rozwiązać na dwa sposoby:
- użyć rozkładu dwumianowego,
- przybliżyć rozkładem Poissona.
Zadanie 5 (trudne)
Gramy serię gier (mecz) z przeciwnikiem od którego jesteśmy słabsi, tzn. nasze prawdopodobieństwo wygrania pojedynczej gry jest równe p<0.5. Mecz składa się z parzystej liczby gier, wygrywamy jeśli wygramy więcej niż połowę gier. Możemy wybrać liczbę gier w meczu: 0, 2,4,6, itd. Jaką liczbę powinniśmy wybrać, aby zmaksymalizować prawdopodobieństwo zwycięstwa?
Zadanie 6 (Zapałki Banacha)
Palący matematyk nosi po jednym pudełku zapałek w lewej i prawej kieszeni spodni. Za każdym razem, gdy chce zapalić, wyciąga pudełko z losowej kieszeni. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że gdy wyciągnie w końcu puste pudełko, w drugim jest dokładnie k zapałek? Zakładamy, że zabawa zaczyna się z dwoma pudełkami po n zapałek każde.
Uwaga: Uzyskany rozkład prawdopodobieństwa nazywa się ujemnym rozkładem dwumianowym. Czy widzisz dlaczego?
Rozkład geometryczny
Zadanie 1 (Własność braku pamięci)
Pokazać, że zmienna o rozkładzie geometrycznym "nie ma pamięci", tzn. dla dowolnych 0≤m<n zachodzi P(X=n|X>m)=P(X=n−m). Nieco mniej formalnie: jeśli czekamy na orła i wypadło już m kolejnych reszek, to prawdopodobieństwo tego, że pierwszy orzeł wypadnie za n−m rzutów jest takie samo jak gdyby całej przeszłości (t.j. m reszek) nie było. Wiele osób sądzi, że P(X=n|X>m)>P(X=n−m) - orzeł niejako "należy się".
Zadanie 2 (Brak pamięci definiuje rozkład geometryczny)
Pokaż, że każda zmienna przyjmująca wartości 1,2,… i nie mająca pamięci (zobacz poprzednie zadanie) ma rozkład geometryczny. Jest to więc własność definiująca rozkład geometryczny.
Zadanie 3
Rzucamy monetą do momentu, kiedy wypadnie drugi orzeł. Pokazać, że jeśli ten drugi orzeł wypada w n-tym rzucie, prawdopodobieństwo wypadnięcia pierwszego orła w i-tym rzucie (i=1,…,n−1)jest takie samo dla każdego i.
Niezależność zmiennych losowych
Zadanie 1 (Stabilność rozkładu dwumianowego i Poissona)
Jaki rozkład ma suma dwóch niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie dwumianowym z tym samym p? Jaki rozkład ma suma dwóch niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie Poissona?
Zadanie 2
Pokazać, że jeśli X i Y są niezależne i f,g:R→R, to f(X) i g(Y) są niezależne.
Zadanie 3 ("Dwumianowe przerzedzanie" rozkładu Poissona)
Jaki jest rozkład liczności potomstwa owada, u którego liczba złożonych jaj ma rozkład Poissona, i z każdego z jaj niezależnie wykluwa się młode z prawdopodobieństwem p?
Zadanie 4
W sytuacji jak w poprzednim zadaniu pokazać, że zmienne losowe opisujące wyklute i niewyklute jaja są niezależne.
Zadanie 5
Niech X,Y będą niezależne o rozkładzie Poissona. Pokazać, że rozkład X|X+Y=n jest dwumianowy, t.j. P(X=k|X+Y=n)=P(Z=k) dla pewnej zmiennej Z o rozkładzie dwumianowym.
Zadanie 6
Pokazać, że jeśli X,Y są niezależnymi zmiennymi o rozkładzie geometrycznym, to min też ma rozkład geometryczny.