Teoria zbiorów, zwana również teorią mnogości, została stworzona około połowy XIX wieku, przez niemieckiego matematyka Georga Cantora. Teoria mnogości to gałąź matematyki zajmująca się zbiorami - kolekcja obiektów. Skończone zbiory można definiować, wypisując kolejno wszystkie ich elementy. Georg Cantor był pierwszą osobą, która podjęła się przeniesienia na ścisły grunt matematyczny pojęcia zbioru nieskończonego. Według Georga Cantora zbiór może być dowolną kolekcją obiektów zwanych elementami. Według tego podejścia zbiór jest pojęciem podstawowym i niedefiniowalnym. Niestety podejście do teorii zbiorów w ten sposób rodzi paradoksy i dlatego teoria mnogości prezentowana w ten sposób jest często nazywana "naiwną" teorią mnogości.

Teoria matematyczna nie może dopuszczać istnienia paradoksów i dlatego na początku XX wieku zmieniono podejście do teorii mnogości. Zaproponowany przez Ernsta Zermelo i uzupełniony przez Adolfa Abrahama Halevi Fraenkela system aksjomatów wyklucza paradoksy, które spowodowały, że naiwna teoria zbiorów musiała zostać porzucona. Aksjomaty te nakładają pewne ograniczenia na konstrukcje zaproponowane przez Georga Cantora. W większości przypadków jednak intuicje związane z naiwną teorią mnogości sprawdzają się również w aksjomatycznej teorii zbiorów. Zaprezentowane poniżej, skrótowe przedstawienie "naiwnej teorii mnogości" ma na celu wyrobienie intuicji niezbędnych przy dalszej pracy nad formalną wersją tych teorii. Aksjomatyczna teoria zbiorów zostanie przedstawiona w Wykładzie 4.

W podejściu zaproponowanym przez Georga Cantora zbiory skończone można łatwo wskazywać poprzez wyliczenie ich elementów. Definiowanie zbiorów nieskończonych wymaga bardziej rozwiniętego języka, niemniej jednak, według Georga Cantora, każda kolekcja obiektów jest zbiorem. Podstawowym symbolem używanym przy definiowaniu i opisywaniu zbiorów jest
\( \in \)
oznaczający, że dany byt jest "elementem" pewnego zbioru. Napis

"Kraków" \( \in \) "zbiór wszystkich miast Polski"

ilustruje zastosowanie tego symbolu.

Aby zdefiniować zbiór należy określić definitywny sposób na rozpoznawania, czy dany byt jest elementem zbioru, czy nie. Najczęściej używanym symbolem przy definiowaniu zbioru są nawiasy klamrowe. Definicja skończonego zbioru może być bardzo łatwa. Zbiór
\( \{2,3, \) Kraków \( \} \)

posiada trzy elementy. Liczba 2 jest elementem tego zbioru \( 2\in\{2,3, \) Kraków \( \} \), ale również
Kraków \( \in\{2,3, \) Kraków\( \} \).

Dwa zbiory są sobie równe (takie same), jeśli posiadają dokładnie te same elementy. Jedynymi elementami zbioru \( \{2,3\} \) są liczby naturalne 2 i 3 - ten sam fakt jest prawdziwy dla zbioru \( \{2,2,3\} \), a więc

\( \{2,3\} = \{2,3,3\}. \)

Podobnie \( \{2,3\}=\{3,2\} \) i

\( \{2,3\}= \) "zbiór liczb naturalnych ściśle pomiędzy 1 a 4".

W definicji zbioru nie ma znaczenia kolejność, w jakiej wymienione są jego elementy, ani krotność w jakiej dany element pojawia się w zbiorze.

Zbiory można definiować na wiele sposobów. Najprostszym sposobem zdefiniowania zbioru jest wyliczenie jego elementów. Strategia ta zawodzi jednak w odniesieniu do zbiorów nieskończonych -- nie jesteśmy w stanie wypisać wszystkich liczb naturalnych. Zgodnie z postulatami Georga Cantora możemy przyjąć, że istnieje zbiór wszystkich liczb naturalnych. Czasami, na określenie zbiorów nieskończonych używamy nieformalnego zapisu - zbiór wszystkich liczb naturalnych może być zapisany jako \( \{0,1,2,3,4,\ldots\}. \)

W podejściu zaproponowanym przez Georga Cantora równoważna definicja tego zbioru brzmi

"zbiór wszystkich liczb naturalnych"

Bardzo często tworzymy zbiory składające się z obiektów spełniających daną własność. Zbiór liczb parzystych możemy zdefiniować w sposób następujący
\( \{x\,|\, x \) jest liczbą parzystą \( \}. \)

Bardziej ogólnie

\( \{x\,|\, \) warunek. \( \} \)

W skład powyżej zdefiniowanego zbioru wchodzą te elementy, które spełniają warunek występujący po znaku \( \,|\, \). Żeby zakwalifikować element do powyższego zbioru, wstawiamy go w miejsce \( x \) w warunku występującym po \( \,|\, \) i sprawdzamy, czy jest on prawdziwy. Żeby pokazać, że \( 2\in\{x\,|\, x \) jest liczbą parzystą \( \}, \) musimy dowieść, że warunek "2 jest liczbą parzystą" jest prawdziwy.

Pomiędzy zbiorem liczb parzystych a zbiorem wszystkich liczb naturalnych występuje oczywista zależność. Każda liczba parzysta jest liczbą naturalną, co, ujęte w języku zbiorów, oznacza, że każdy element zbioru liczb parzystych jest elementem zbioru liczb naturalnych. Zbiór liczb parzystych jest podzbiorem zbioru liczb naturalnych (a zbiór liczb naturalnych nadzbiorem zbioru liczb parzystych). Zapisujemy to w następujący sposób

\( \{x\,|\, x \) jest liczbą parzystą \( \}\subseteq \) "zbiór liczb naturalnych" \( . \)

Ogólniej, jeśli każdy element zbioru \( A \) jest elementem zbioru \( B \) mówimy, że zbiór \( A \) jest podzbiorem zbioru \( B \) i piszemy
\( A\subseteq B. \)
W takim przypadku mówimy, że pomiędzy zbiorami \( A \) i \( B \) zachodzi inkluzja.

W szczególności, dla dowolnego zbioru \( A \) zachodzi \( A \subseteq A \). Wspomnieliśmy wcześniej, że dwa zbiory są sobie równe wtedy i tylko wtedy, kiedy posiadają dokładnie takie same elementy. Fakt ten możemy zapisać formalnie w następujący sposób

\( A = B \) wtedy i tylko wtedy, kiedy \( A \subseteq B \) i \( B \subseteq A. \)

Często zależy nam na określeniu znaczącym, że jeden zbiór jest podzbiorem drugiego i że zbiory te nie są sobie równe. Używamy wtedy symbolu \( ⊊ \) w następujący sposób

\( A ⊊ B \) wtedy i tylko wtedy, kiedy \( ( A \subseteq B \) i nieprawda, że \( A=B). \)

---

Ćwiczenie 1.1

Dla każdej pary zbiorów poniżej określ, czy są sobie równe oraz czy jeden z nich jest nadzbiorem drugiego

1. \( \{2,3\} \), \( \{x\,|\, x \) dzieli liczbę \( 6 \} \),
2. "zbiór liczb naturalnych" , \( \{x\,|\, 2 \) dzieli \( x^2 \} \),
3. \( \{x\,|\, x^2 =1\} \), \( \{x\,|\, x^3=1\} \).

Najczęstszymi operacjami wykonywanymi na zbiorach są operacje sumy, przecięcia i różnicy. Sumą dwóch zbiorów \( A \) i \( B \) jest zbiór oznaczony przez \( A\cup B \) w skład którego wchodzą wszystkie elementy zbioru \( A \), wszystkie elementy zbioru \( B \) i żadne elementy spoza tych zbiorów

\( A\cup B = \{x\,|\, x\in A \) lub \( x\in B\}. \)

rycina

Podobnie definiujemy przecięcie zbiorów
\( A\cap B = \{x\,|\, x\in A \) i \( x\in B\}. \)

ryvina

\( A\setminus B = \{x\,|\, x\in A \) i \( x\notin B\}. \)

rycina

Standardowy obrazek ilustrujący różnicę zbiorów.

Ćwiczenie 1.2

Dla następujących par zbiorów ustal zawieranie lub równość

1. \( A= \) "zbiór liczb naturalnych" \( \setminus\{x\,|\, \) liczba nieparzysta, większa niż 2 dzieli \( x \} \)
   i drugi zbiór \( B=\{2^n\,|\, \) gdzie \( n \) jest liczbą naturalną \( \} \),
2. \( A=\{x\,|\, \) liczba 2 dzieli \( x \}\cup\{x\,|\, \) liczba 3 dzieli \( x \} \) i zbiór \( B=\{x\,|\, \) liczba 6 dzieli \( x \} \).

Dla dowolnego zbioru \( \mathrm {A} \) zachodzi \( A\cup A = A \) i \( A\cap A = A \). Zbiór, który otrzymujemy jako wynik operacji \( A\setminus A \) jest zbiorem pustym. Na mocy definicji różnicy zbiorów elementami zbioru \( A\setminus A \) są wyłącznie te elementy \( A \), które nie należą do \( A \). Takie elementy nie istnieją - żaden element ze zbioru \( A \) nie należy do \( A\setminus A \) i żaden element spoza \( A \) nie należy do tego zbioru. Zbiór pusty jest oznaczany przez \( \emptyset \). Odejmowanie zbiorów od samych siebie nie jest jedynym sposobem na otrzymanie zbioru pustego.

\( \{1,2,2006\}\setminus \) "zbiór liczb naturalnych" \( = \) "zbiór psów" \( \setminus \) "zbiór wszystkich zwierząt"

Zbiór po lewej stronie nierówności jest równy zbiorowi po prawej stronie nierówności. Każdy element zbioru po prawej stronie jest również elementem zbioru po lewej stronie nierówności i vice versa, dlatego że żaden z tych zbiorów nie posiada elementów.

Niestety, podejście zaproponowane przez Georga Cantora i uściślone Friedricha Frege posiada błędy. Jedną z pierwszych osób które zwróciły uwagę na niedociągnięcia tej teorii jest Bertrand Russell. Zgodnie z zasadami zaproponowanymi przez [Biografia_Cantor|Georga Cantora]] można zdefiniować dowolny zbiór. Zdefiniujmy, więc zbiór

\( Z = \{A\,|\, A\notin A\}. \)

Zbiór \( Z \) składa się ze zbiorów, które nie są swoimi własnymi elementami. Paradoks zaproponowany przez Bertranda Russella polega na tym, że pytanie czy \( Z \) jest swoim własnym elementem prowadzi do sprzeczności. Jeśli \( Z\in Z \) to, zgodnie z definicją zbioru \( Z \) otrzymujemy \( Z\notin Z \), co jest sprzecznością z założeniem. Jeśli \( Z\notin Z \), to \( Z \) spełnia warunek na przynależność do \( Z \) i w związku z tym \( Z\in Z \), co jest kolejną sprzecznością. Definicja zbioru zaproponowana przez Georga Cantora prowadzi do powstania logicznych paradoksów. Okazuje się, że pytanie: co jest zbiorem, jest trudniejsze niż wydawało się matematykom końca XIX wieku.

W dalszej części wykładu przedstawimy właściwe podejście do teorii mnogości. Podejście to jest oparte o część logiki zwaną rachunkiem predykatów. Podejście to zostało zaproponowane przez Ernsta Zermelo na początku XX wieku i ma na celu dostarczenie spójnej teorii zbiorów o mocy podobnej do naiwnej teorii, przy równoczesnym uniknięciu paradoksów. Aksjomatyczna teoria mocy definiuje bardzo dokładnie, które kolekcje obiektów są zbiorami. W szczególności paradoks zaproponowany przez Bertranda Russella nie pojawia się w aksjomatycznej teorii zbiorów, ponieważ zbiór zdefiniowany powyżej jako \( Z \) w niej nie istnieje.