Opis
Zapoznanie się z podstawowymi pojęciami i narzędziami matematyki. Wprowadzenie fundamentalnych obiektów matematycznych i opis ich własności.
Sylabus
Autorzy
- Marek Zaionc — Uniwersytet Jagielloński
- Jakub Kozik — Uniwersytet Jagielloński
- Marcin Kozik — Uniwersytet Jagielloński
Zawartość
- Rachunek zdań i rachunek predykatów
- Aksjomatyka teorii mnogości ZFC
- Iloczyn kartezjański, relacje, relacja równoważności, rozkłady zbiorów
- Konstrukcja von Neumanna liczb naturalnych:
- twierdzenie o indukcji
- własności liczb
- definiowanie przez indukcję
- zasada minimum
- zasada maksimum
- Konstrukcja i działania na liczbach całkowitych
- Konstrukcja i działania na liczbach wymiernych
- Konstrukcja Cantora liczb rzeczywistych:
- Funkcje, twierdzenie o faktoryzacji:
- obrazy i przeciwobrazy zbiorów
- Teoria mocy:
- zbiory przeliczalne i ich własności
- zbiory liczb całkowitych i wymiernych są przeliczalne
- zbiór liczb rzeczywistych jest nieprzeliczalny
- zbiory \( \{0, 1\}^N \) i \( N^N \) nie są przeliczalne. Zbiór \( 2^N \sim R \)
- twierdzenie Knastera - Tarskiego (dla zbiorów)
- lemat Banacha
- twierdzenie Cantora-Bernsteina, (warunki równoważne)
- twierdzenie Cantora
- zbiory mocy kontinuum
- Zbiory uporządkowane:
- lemat Kuratowskiego Zorna
- przykłady dowodów przy pomocy lematu Kuratowskiego Zorna
- dowód lemat Kuratowskiego Zorna
- Zbiory liniowo uporządkowane:
- pojęcia gęstości i ciągłości
- porządek na \( R \) jest ciągły
- Zbiory dobrze uporządkowane:
- twierdzenie o indukcji
- liczby porządkowe
- zbiory liczb porządkowych
- twierdzenie o definiowaniu przez indukcje pozaskończoną
- twierdzenie Zermelo
Literatura
- H. Rasiowa, Wstęp do matematyki, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1971, 1984, 1998.
- K. Kuratowski, A. Mostowski, Teoria mnogości, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1978.
- W. Marek, J. Onyszkiewicz, Elementy logiki i teorii mnogosci w zadaniach, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 1996.