Obrazy i przeciwobrazy

Obrazy i przeciwobrazy


Czasem warto spojrzeć na funkcję z szerszej perspektywy. Rozważmy pewną funkcję \( f:X \rightarrow
Y \). Funkcja ta w naturalny sposób wyznacza pewną funkcję przekształcającą podzbiory zbioru \( X \) w podzbiory zbioru \( Y \), przyporządkowując zbiorowi \( A\subset X \), zbiór elementów zbioru \( Y \), które są wartościami funkcji \( f \) dla pewnych argumentów ze zbioru \( A \). Funkcję tą formalnie definujemy w poniższy sposób.

Definicja 3.1.

Każda funkcja \( f:X \rightarrow Y \) wyznacza pewną funkcję \( \vec{f} : \mathcal{P}(X) \rightarrow \mathcal{P}(Y) \) tak, że dla dowolnego zbioru \( A\subset X \)

\( \vec{f}(A)= \{y\in Y: \exists_{x\in A} f(x)=y\}. \)

Dla dowolnego zbioru \( A\subset X \) zbiór \( \vec{f}(A) \) nazywamy obrazem zbioru \( A \) przez funkcję \( f \).

Przykład 3.2.

Niech \( f:N \rightarrow N \) będzie określona wzorem \( f(x)=2\cdot x \). Wtedy

1. \( \vec{f}(N) \) jest zbiorem liczb parzystych,
2. \( \vec{f} (\emptyset)= \emptyset \),
3. \( \vec{f} (\{1\})= \{2\} \),
4. \( \vec{f} (\{1,2\})= \{2,4\} \),
5. obrazem zbioru liczb parzystych przez funkcję \( f \) jest zbiór liczb podzielnych przez 4.

W podobny sposób definiujemy przeciwobrazy zbiorów przez funkcję. Przeciwobrazem zbioru \( B \subset Y \) przez funkcję \( f:X \rightarrow Y \) nazwiemy zbiór tych elementów zbioru \( X \), którym funkcja przypisuje wartości ze zbioru \( B \).

Definicja 3.3.

Każda funkcja \( f:X \rightarrow Y \) wyznacza pewną funkcję \( \vec{f}^{-1} : \mathcal{P}(Y) \rightarrow \mathcal{P}(X) \) w następujący sposób. Dla dowolnego zbioru \( B\subset Y \)

\( \vec{f}^{-1}(B)= \{x\in X: \exists_{y\in B} f(x)=y\}. \)

Dla dowolnego zbioru \( B\subset Y \) zbiór \( \vec{f}^{-1}(B) \) nazywamy przeciwobrazem zbioru \( B \) przez funkcję \( f \).

Przykład 3.4.

Niech \( f:N \rightarrow N \) będzie określona wzorem \( f(x)=2\cdot x \). Wtedy

1. \( \vec{f}^{-1}(N)=N \),
2. \( \vec{f}^{-1} (\emptyset)= \emptyset \),
3. \( \vec{f}^{-1} (\{1\})= \emptyset \),
4. \( \vec{f}^{-1} (\{1,2\})= \{1\} \),
5. przeciwobrazem zbioru liczb nieparzystych przez funkcję \( f \) jest zbiór pusty,
6. przeciwobrazem zbioru liczb podzielnych przez 4, przez funkcję \( f \) jest zbiór liczb parzystych,
7. przeciwobrazem zbioru liczb parzystych przez funkcję \( f \) jest \( N \).

Fakt 3.1.

Nietrudno zauważyć, że dla dowolnej funkcji częściowej \( f \)

\( \vec{f}(\emptyset)=\emptyset=\vec{f}^{-1}(\emptyset). \)

W poniższych ćwiczeniach badamy podstawowe własności obrazów i przeciwobrazów dowolnych funkcji.

Ćwiczenie 3.1

Dla dowolnej funkcji \( f:X \rightarrow Y \) i dla dowolnych zbiorów \( A_1,A_2 \subset X \) udowodnij następujące fakty:

1. \( \vec{f}(A_1 \cup A_2)= \vec{f}(A_1) \cup \vec{f}(A_2) \),
2. \( \vec{f}(A_1 \cap A_2) \subset \vec{f}(A_1) \cap \vec{f}(A_2) \),
3. \( \vec{f}(X \setminus A_1) \supset \vec{f}(X) \setminus \vec{f}(A_1) \).



Ćwiczenie 3.2

Dla dowolnej funkcji \( f:X \rightarrow Y \) i dowolnej rodziny \( \kappa \) podzbiorów \( X \) (czyli \( \kappa \in \mathcal{P}(\mathcal{P}(X)) \)) udowodnij następujące fakty:

1. \( \vec{f}(\bigcup \kappa)= \bigcup\{\vec{f}(A): A\in \kappa\} \),
2. \( \vec{f}(\bigcap \kappa) \subset \bigcap\{\vec{f}(A): A\in \kappa\} \).


Ćwiczenie 3.3

Skonstruuj kontrprzykłady dla poniższych inkluzji:

1. \( \vec{f}(A_1 \cap A_2) \supset \vec{f}(A_1) \cap \vec{f}(A_2) \),
2. \( \vec{f}(X \setminus A_1) \subset \vec{f}(X) \setminus \vec{f}(A_1) \),
3. \( \vec{f}(\bigcap \kappa) \supset \bigcap\{\vec{f}(A): A\in \kappa\} \).

Znacznie bardziej regularnie zachowują się przeciwobrazy funkcji. Podstawowe własności są tematem następnych ćwiczeń.

Ćwiczenie 3.4

Dla dowolnej funkcji \( f:X \rightarrow Y \) i dla dowolnych zbiorów \( B_1,B_2 \subset Y \) udowodnij następujące fakty:

1. \( \vec{f}^{-1}(B_1 \cup B_2)= \vec{f}^{-1}(B_1) \cup \vec{f}^{-1}(B_2) \),
2. \( \vec{f}^{-1}(B_1 \cap B_2) = \vec{f}(B_1) \cap \vec{f}(B_2) \),
3. \( \vec{f}^{-1}(Y \setminus B_1) = \vec{f}^{-1}(Y) \setminus \vec{f}^{-1}(B_1) \).



Ćwiczenie 3.5
Dla dowolnej funkcji \( f:X \rightarrow Y \) i dowolnej rodziny \( \kappa \) podzbiorów \( Y \) (czyli \( \kappa \in \mathcal{P}(\mathcal{P}(Y)) \)) udowodnij następujące fakty:

1. \( \vec{f}^{-1}(\bigcup \kappa)= \bigcup\{\vec{f}^{-1}(B): B\in \kappa\} \),
2. \( \vec{f}^{-1}(\bigcap \kappa) \subset \bigcap\{\vec{f}^{-1}(B): B\in \kappa\} \).


Istnieje ścisły związek pomiędzy funkcjami a relacjami równoważności. Każda funkcja wyznacza pewną relację binarną w poniższy sposób.

Definicja 3.5.

Dla dowolnej funkcji \( f:X \rightarrow Y \) definujemy relację binarną \( \sim_{f} \subset X^2 \) następująco:

\( (x_1,x_2) \in \sim_{f} \Leftrightarrow f(x_1)=f(x_2). \)

W myśl powyższej definicji elementy \( x_1,x_2 \in X \) są w relacji \( \sim_{f} \), jeśli funkcja \( f \) na tych elementach przyjmuje te same wartości. W poniższym ćwiczeniu dowodzimy, że relacja ta jest relacją równoważności na zbiorze \( X \). Relacja ta pełni ważną rolę w podstawowych konstrukcjach liczb, które będą tematem wykłady "Konstrukcje liczbowe, liczby całkowite, wymierne, konstrukcja Cantora liczb rzeczywistych".

Ćwiczenie 3.6

Udowodnij, że dla dowolnej funkcji \( f:X \rightarrow Y \) relacja \( \sim_{f} \) jest relacją równoważności na zbiorze \( X \).