Processing math: 0%

Dobre ufundowanie

\def\NN{\mathbb{N}} \def\RR{\mathbb{R}} \def\r{\,r\,} \def\pot#1{{\sf P}(#1)} \def\la{\langle} \def\ra{\rangle} \def\poz{\vphantom{f}} \def\alz{\aleph_0} \def\C{{\mathfrak C}} \def\card#1{\overline{\overline{#1}}}

Zadanie 1

Czy zbiór \NN^* uporządkowany leksykograficznie jest dobrze ufundowany? A zbiór \NN^2?

Zadanie 2

Udowodnij, że jeśli \la A, \leq_A\ra oraz \la B, \leq_B\ra są dobrze ufundowane i A \cap B = \emptyset to porządek \la A \cup B, \leq\ra zdefiniowany następująco

x \leq y\; \Leftrightarrow \;\;x \leq_A y \; \vee \;x \leq_B y \;\vee \; (x \in A \wedge y \in B)

jest dobrze ufundowany.

Zadanie 3

Udowodnij, że jeśli zbiór X jest co najmniej trzyelementowy i \la X, \leq\ra jest dobrze uporządkowany (liniowy i dobrze ufundowany) to nie jest gęsty.

Zadanie 4

Udowodnij, ze jeśli f: A \to B jest monotoniczną bijekcją pomiedzy dobrymi porządkami \la A, \leq_A\ra i \la B, \leq_B\ra to funkcja odwrotna f^{-1} też jest monotoniczna. Czy założenie, że \la A, \leq_A\ra i \la B, \leq_B\ra są dobrymi porządkami jest istotne?

Zadanie 5

Podaj trzy przykłady dobrych porządków mocy \alz, tak aby żadne dwa nie były ze sobą izomorficzne.

Zadanie 6

Niech A\subseteq\RR będzie dobrze uporządkowany przez zwykłą relację nierówności dla liczb rzeczywistych. Udowodnić, że A jest zbiorem przeliczalnym.

Zadanie 7

Załóżmy, że \la A, \leq_1\ra i \la A, \leq_2\ra są dobrze ufundowane i takie, że \leq_1 \cup \leq_2 jest częściowym porządkiem. Udowodnij, że \la A, (\leq_1 \cup \leq_2)\ra jest porządkiem dobrze ufundowanym.
Wskazówka: wykorzystaj fakt, że \leq_1 \cup \leq_2 jest przechodnia.

Zadanie 8

Niech \la A, \leq\ra będzie zbiorem dobrze ufundowanym, w którym wszystkie antyłańcuchy są skończone. Niech \{a_i\}_{i\in\NN} będzie dowolnym ciągiem elementów A. Udowodnij, że istnieją takie liczby i,j, że i < j oraz a_i\leq a_j.

Zadanie 9

Mówimy, że relacja częściowego porządku \leq w zbiorze A jest bardzo dobrym ufundowaniem, jeżeli w każdym ciągu nieskończonym \{a_n\}_{n\in\NN} można wskazać takie i < j, że a_i\leq a_j. Udowodnij, że jeśli A jest bardzo dobrze ufundowany przez relację \leq, to każdy ciąg nieskończony w A ma nieskończony podciąg wstępujący a_{i_1}\leq a_{i_2}\leq a_{i_3}\leq \cdots