Informatyka MIMUW

Ciało to struktura ${\bf F}=(F,+,\cdot,0,1)$, gdzie $F$ jest zbiorem, $0,1\in F$ i $0\neq1$, a $+$ i $\cdot$ to dwuargumentowe działania na $F$ spełniające następujące warunki:

• $(F,+,0)$ jest grupą abelową, nazywaną grupą addytywną ciała,

• $(F^*,\cdot,1)$, gdzie $F^*=F-{\{ {0} \} }$, jest grupą abelową, nazywaną grupą multyplikatywną ciała,

• $x\cdot(y+z)=x\cdot y+x\cdot z$ dla dowolnych $x,y,z\in F$.

Ciało ${\bf F}=(F,+,\cdot,0,1)$ jest skończone jeśli zbiór $F$ jest skończony, w przeciwnym wypadku ${\bf F}$ jest nieskończone.

Zgodnie z ogólnie przyjętą konwencją posługujemy się następującą notacją:

• $xy$ oznacza $x\cdot y$,

• $(-x)$ oznacza element odwrotny do $x$ w grupie addytywnej $(F,+,0)$,

• $x-y$ oznacza $x+(-y)$,

• dla $x\neq0$ przez $x^{-1}$ oznaczamy element odwrotny do $x$ w grupie multyplikatywnej $(F^*,\cdot,1)$,

• $nx$, dla $n\in\mathbb{Z}$, to dodatnie i ujemne wielokrotności elementu $x$, czyli "potęgi" w grupie addytywnej $(F, +)$,

• $x^n$, dla $x\neq0$ i $n\in\mathbb{Z}$, to dodatnie i ujemne potęgi elementu $x$ w grupie multyplikatywnej $(F^*,\cdot,1)$

Przykład

• Dla dowolnej $p$ liczby pierwszej, $(\mathbb{Z}_p,+,\cdot,0,1)$ jest ciałem skończonym. Rzeczywiście:
  • $(\mathbb{Z}_p,+,0)$ jest grupą abelową,
  • $(\mathbb{Z}_p^*,\cdot,1)$ jest grupą (z uwagi na pierwszość liczby $p$) abelową,
  • mnożenie jest rozdzielne względem dodawania.
• $(\mathbb{Z},+,\cdot,0,1)$ nie jest ciałem, gdyż poza $-1$ i $1$ liczby całkowite nie mają elementów odwrotnych względem mnożenia.
• $(\mathbb{Q},+,\cdot,0,1)$ jest ciałem, gdyż:
  • $(\mathbb{Q},+,0)$ jest grupa abelową,
  • $(\mathbb{Q},\cdot,1)$ jest grupą abelową. W szczególności dla dowolnego $q\in Q^*$ liczba $\frac{1}{q}$ jest odwrotnością $q$,
  • mnożenie jest rozdzielne względem dodawania.
• $(\mathbb{R},+,\cdot,0,1)$ jest ciałem.

Obserwacja 6.1

Dla elementu $x$ ciała ${\bf F}=(F,+,\cdot,0,1)$ mamy $x\cdot0=0$.

Dowód

Mamy $x\cdot0=x\cdot(0+0)=x\cdot0+x\cdot0$, co wobec prawa skracania dla grupy $(F,+,0)$ daje $0=x\cdot0$.

Obserwacja 6.2

Dla elementów $x,y\in F$ ciała ${\bf F}=(F,+,\cdot,0,1)$, jeśli $xy=0$, to $x=0$ lub $y=0$.

Dowód

Załóżmy, że $xy=0$ i $x\neq0$. Ponieważ $x\in F^*$, to $x$ ma element odwrotny w $(F^*,\cdot,1)$, i wtedy $y=1\cdot y=(x^{-1}x)y=x^{-1}(xy)=x^{-1}\cdot0=0$.

W wykładzie tym pominiemy własności ciała liczb rzeczywistych. Skoncentrujemy naszą uwagę na charakteryzacji ciał skończonych, nazywanych też ciałami Galois. W tym celu potrzebujemy jednak wielu dodatkowych pojęć.