Ciało to struktura \( {\bf F}=(F,+,\cdot,0,1) \), gdzie \( F \) jest zbiorem, \( 0,1\in F \) i \( 0\neq1 \), a \( + \) i \( \cdot \) to dwuargumentowe działania na \( F \) spełniające następujące warunki:
- \( (F,+,0) \) jest grupą abelową, nazywaną grupą addytywną ciała,
- \( (F^*,\cdot,1) \), gdzie \( F^*=F-{\{ {0} \} } \), jest grupą abelową, nazywaną grupą multyplikatywną ciała,
- \( x\cdot(y+z)=x\cdot y+x\cdot z \) dla dowolnych \( x,y,z\in F \).
Ciało \( {\bf F}=(F,+,\cdot,0,1) \) jest skończone jeśli zbiór \( F \) jest skończony, w przeciwnym wypadku \( {\bf F} \) jest nieskończone.
Zgodnie z ogólnie przyjętą konwencją posługujemy się następującą notacją:
- \( xy \) oznacza \( x\cdot y \),
- \( (-x) \) oznacza element odwrotny do \( x \) w grupie addytywnej \( (F,+,0) \),
- \( x-y \) oznacza \( x+(-y) \),
- dla \( x\neq0 \) przez \( x^{-1} \) oznaczamy element odwrotny do \( x \) w grupie multyplikatywnej \( (F^*,\cdot,1) \),
- \( nx \), dla \( n\in\mathbb{Z} \), to dodatnie i ujemne wielokrotności elementu \( x \), czyli "potęgi" w grupie addytywnej \( (F, +) \),
- \( x^n \), dla \( x\neq0 \) i \( n\in\mathbb{Z} \), to dodatnie i ujemne potęgi elementu \( x \) w grupie multyplikatywnej \( (F^*,\cdot,1) \)
Przykład
- Dla dowolnej \( p \) liczby pierwszej, \( (\mathbb{Z}_p,+,\cdot,0,1) \) jest ciałem skończonym. Rzeczywiście:
- \( (\mathbb{Z}_p,+,0) \) jest grupą abelową,
- \( (\mathbb{Z}_p^*,\cdot,1) \) jest grupą (z uwagi na pierwszość liczby \( p \)) abelową,
- mnożenie jest rozdzielne względem dodawania.
- \( (\mathbb{Z},+,\cdot,0,1) \) nie jest ciałem, gdyż poza \( -1 \) i \( 1 \) liczby całkowite nie mają elementów odwrotnych względem mnożenia.
- \( (\mathbb{Q},+,\cdot,0,1) \) jest ciałem, gdyż:
- \( (\mathbb{Q},+,0) \) jest grupa abelową,
- \( (\mathbb{Q},\cdot,1) \) jest grupą abelową. W szczególności dla dowolnego \( q\in Q^* \) liczba \( \frac{1}{q} \) jest odwrotnością \( q \),
- mnożenie jest rozdzielne względem dodawania.
- \( (\mathbb{R},+,\cdot,0,1) \) jest ciałem.
Obserwacja 6.1
Dla elementu \( x \) ciała \( {\bf F}=(F,+,\cdot,0,1) \) mamy \( x\cdot0=0 \).
Dowód
Mamy \( x\cdot0=x\cdot(0+0)=x\cdot0+x\cdot0 \), co wobec prawa skracania dla grupy \( (F,+,0) \) daje \( 0=x\cdot0 \).
Obserwacja 6.2
Dla elementów \( x,y\in F \) ciała \( {\bf F}=(F,+,\cdot,0,1) \), jeśli \( xy=0 \), to \( x=0 \) lub \( y=0 \).
Dowód
Załóżmy, że \( xy=0 \) i \( x\neq0 \). Ponieważ \( x\in F^* \), to \( x \) ma element odwrotny w \( (F^*,\cdot,1) \), i wtedy \( y=1\cdot y=(x^{-1}x)y=x^{-1}(xy)=x^{-1}\cdot0=0 \).
W wykładzie tym pominiemy własności ciała liczb rzeczywistych. Skoncentrujemy naszą uwagę na charakteryzacji ciał skończonych, nazywanych też ciałami Galois. W tym celu potrzebujemy jednak wielu dodatkowych pojęć.