W poniższym tekście zastanowimy się w jaki sposób można odpowiadać na pytania w rodzaju:
- jakie jest prawdopodobieństwo tego, że w czterech rzutach monetą wypadnie więcej orłów, niż reszek?
- która suma oczek jest bardziej prawdopodobna w rzucie trzema kostkami, 10 czy 11?
Dziedziną matematyki, która takimi pytaniami się zajmuje jest rachunek prawdopodobieństwa. Zanim jednak spróbujemy na te pytania odpowiedzieć, musimy się nauczyć wyrażać je w języku rachunku prawdopodobieństwa.
Zbiór zdarzeń elementarnych
Doświadczenia takie jak cztery rzuty monetą, czy rzut trzema kostkami nazywa się doświadczeniami lub eksperymentami losowymi.
Pierwszym krokiem w konstruowaniu matematycznego modelu doświadczenia losowego jest opisanie wszystkich jego możliwych wyników.
|
Zbiór zdarzeń elementarnych Zbiorem zdarzeń elementarnych nazywamy zbiór zawierający wszystkie możliwe wyniki badanego doświadczenia losowego. Zbiór zdarzeń elementarnych oznaczamy z reguły symbolem Ω. Jego elementy nazywamy zdarzeniami elementarnymi, a podzbiory po prostu zdarzeniami. |
Zobaczmy kilka przykładów ilustrujących wprowadzone powyżej pojęcia.
Przykład 1 Jeśli dośwadczenie, które chcemy opisać polega na wykonaniu czterech rzutów monetą, to zdarzeniami elementarnymi mogą być na przykład czteroelementowe ciągi skłądające się z liter O (orzeł) i R (reszka), tj. OORO, RROO itd. Ω jest w tym przypadku zbiorem wszystkich ciągów tej postaci.
Zgodnie z naszą definicją dowolny pozbiór Ω jest zdarzeniem, np. podzbiór {OOOO,OOOR,OORO,OROO,ROOO} to zdarzenie "wypadło więcej orłów niż reszek".
Przykład 2 Jeśli opisywanym doświadczeniem jest rzut trzema kostkami, to zdarzeniami elementarnymi mogą być trzyelementowe ciągi składające się z liczb 1,2,3,4,5,6, np. (1,3,6),(5,2,5) czy (2,2,2). Ciąg (1,3,6) interpretujemy jako "1 na pierwszej kostce, 3 na drugiej kostce i 6 na trzeciej". Ω byłaby w tej sytuacji zbiorem wszystkich ciągów tej postaci.
Nie jest to jednak jedyna możliwość. Moglibyśmy na przykład za zdarzenia elementarne uznać uporządkowane niemalejąco ciągi wyników z poszczególnych kostek. Zdarzeniami byłby na przykład ciągi (1,2,6),(1,1,3) czy (5,5,6) (ale nie (3,1,2)).
Jeszcze inną możliwością jest zdefiniowanie zbioru zdarzeń elementarnych jako zbioru wszystkich możliwych sum z 3 kostek, a zatem \(\Omega = \{3,4,\ldots,18\}\).
Wybór konkretnej definicji Ω ma w pewnym stopniu charakter arbitralny. Na to, której definicji użyjemy ma wpływ wiele czynników, np.:
- To jaki aspekt doświadczenia nas interesuje: Jeśli rzucamy kostki na podłogę w pokoju, to w pewnych sytuacjach może mieć sens uwzględnienie w definicji Ω tego, w których częściach pokoju wylądowały poszczególne kostki (może próbujemy się upewnić, że podłoga nie jest pochyła). Nie byłoby to jednak zbyt mądre, jeśli jedynym co nas interesuje jest suma oczek.
- To jaką wiedzą na temat wyniku doświadczenia dysponujemy: Z reguły, choć zobaczymy od tej reguły wyjątki, nie ma sensu uwzględnianie w definicji Ω tych aspektów wyniku doświadczenia, których nie jesteśmy w stanie poznać, czy zaobserwować.
- Kwestie techniczne: Może się zdarzyć tak, że obliczenia przy użyciu jednej z możliwych definicji Ω są znacząco prostsze, niż dla innych definicji.
Zadanie 1 Zaproponuj postać zbioru Ω dla doświadczenia polegającego na rozdaniu 5 losowych kart z talii 52-kartowej.
- zbiór wszystkich 5-elementowych ciągów różnych elementów K.
- zbiór wszystkich 5-elementowych podzbiorów zbioru K,
Pierwsza z definicji uwzględnia kolejność w jakiej rozdawane są karty, druga nie. Należy zwrócić uwagę, że żadna z definicji Ω nie jest lepsza od drugiej. Wszystko zależy od tego jaki problem próbujemy rozwiązać. Oczywiście te dwie definicje nie wyczerpują wszystkich możliwości.
Zadanie 2 Rzucamy trzema kostkami i jako Ω przyjmujemy zbiór wszystkich trzyelementowych ciągów składających się z liczb 1,2,3,4,5,6. Zapisz w postaci odpowiadnich podzbiorów \(A,B \subseteq \Omega\) następujące zdarzenia:
- A : suma oczek wynosi 6,
- B : na dwóch (ale nie trzech) kostkach wypadło tyle samo oczek .
A = {(1,1,4),(1,4,1),(4,1,1),(1,2,3),(1,3,2),(2,1,3),(2,3,1),(3,1,2),(3,2,1),(2,2,2)}.
Podzbiór \(B \subseteq \Omega \) zawiera wiele elementów, dlatego nie będziemy ich wszystkich wypisywać. Możemy go opisać w następujący sposób: dla każdej pary liczb \(a,b \in \{1,2,3,4,5,6\}\) oraz \(a \neq b\), zbiór B zawiera elementy (a,a,b),(a,b,a),(b,a,a). Czy potrafisz powiedzieć ile elementów zawiera zbiór B?
Działania na zdarzeniach
W poprzednim podrozdziale dowiedzieliśmy się, że zdarzenia takie jak "wypadło w sumie 6 oczek" czy "na dwóch kostkach wypadła taka sama liczba oczek" możemy opisywać za pomocą podzbiorów Ω. Na podzbiorach tych możemy wykonywać operacje takie jak: suma zbiorów, przecięcie zbiorów itp. Okazuje się, że otrzymujemy w ten sposób bardzo naturalne zdarzenia.
Niech \(A,B \subseteq \Omega\) będą dowolnymi zdarzeniami. Wtedy mamy następującą odpowiedniość:
- \(A \cup B \) : zaszło A lub B,
- \(A \cap B \) : zaszło jednocześnie A i B,
- \(\bar{A}\) : A nie zaszło,
- \(A \ B \) : zaszło A, ale nie B.
Zadanie 3 Niech \(A,B \subseteq \Omega\) będą dowolnymi zdarzeniami.Opisz za pomocą operacji na zbiorach A,B następujące zdarzenia:
- zaszło dokładnie jedno ze zdarzeń A,B,
- nie zaszło żadne ze zdarzeń A,B.
\( (A \cup B) \ (A \cap B), \)
ewentualnie tak:
\( (A \cap \bar{B}) \cup (\bar{A} \cap B) .\)
Drugie zdarzenie można opisać tak:
\( \bar{A \cup B} \)
lub tak:
\( \bar{A} \cap \bar{B} .\)
Prawdopodobieństwo
Zanim zaczniemy obliczać prawdopodobieństwa różnych zdarzeń, zastanówmy się czym właściwie jest prawdopodobieństwo. Chcielibyśmy, żeby każdemu zdarzeniu była przypisana pewna liczba, którą będziemy nazywać prawdopodobieństwem tego zdarzenia. Liczba ta powinna należeć do przedziału [0,1], przy czym zdarzenia o prawdopodobieństwie 0 to zdarzenia niemożliwe, a zdarzenia o prawdopodobieństwie 1 to zdarzenia pewne.
Można więc myśleć o prawdopodobieństwie jako o funkcji \(P:\mathbb{P}(\Omega) \rightarrow [0,1]\), gdzie \(\mathbb{P}(\Omega)\) jest zbiorem wszystkich podzbiorow Ω, czyli zbiorem wszystkich zdarzeń. Oczywiście nie każda taka funkcja ma sens jako prawdopodobieństwo. W poniższej definicji zawarte są pewne naturalne warunki, które funkcja powinna spełniać, żeby można było o niej myśleć jako o prawdopodobieństwie:
|
Prawdopodobieństwo Prawdopodobieństwem (lub funkcją prawdopodobieństwa) na zbiorze zdarzeń elementarnych Ω nazywamy funkcję \(P:\mathbb{P}(\Omega) \rightarrow [0,1]\), taką, że:
|
Intuicyjnie, pierwszy z warunków mowi, ze coś zdarzy się na pewno, któryś z możliwych wyników doświadczenia zawsze musi zajść. Drugi warunek natomiast mówi, że prawdopodobieństwa rozłącznych zdarzeń powinny się sumować, np. prawdopodobieństwo wypadnięcia na kostce piątki lub szóstki powinno być sumą prawdopodobieństwa wypadnięcia piątki i prawdopodobieństwa wypadnięcia szóstki.
Uwaga Drugi z warunków w definicji prawdopodobieństwa z reguły zakłada się w ogólniejszej wersji: Dla każdych parami rozłącznych zdarzeń \(A_1,A_2,\ldots \subseteq \Omega\) zachodzi \(P(\bigcup_i A_i) = \sum P(A_i)\).
Z dwóch podstawowych własności wymienionych w definicji prawdopodobieństwa wynika w prosty sposób wiele innych, np.
| Fakt (Własności prawdopodobieństwa) |
|
Punkt 3 także możemy łatwo uzyskać z drugiego warunku definicji. Mamy bowiem \(P(B) = P(A \cup (B\ A)) = P(A)+P(B\ A) \ge P(A)\).
Punkt 4, będący uogólnieniem drugiego warunku w definicji funkcji prawdopodobieństwa na dowolną liczbę zbiorów, można udowodnić przez indukcję. Warunek w definicji stanowi podstawę indukcji, krok indukcji wygląda następująco:
\( P(A_1 \cup \ldots \cup A_k)=P((A_1 \cup A_2) \cup A_3 \cup A_4 \ldots \cup A_k) = P(A_1 \cup A_2)+P(A_3)+P(A_4)+\ldots+P(A_k) = P(A_1)+\ldots+P(A_k)\).
Punkt 5 jest także uogólnieniem drugiego warunku definicji, tym razem na zbiory niekoniecznie rozłączne. Dowód jest prosty:
\(P(A \cup B) = P(A \cup (B\ A)) = P(A)+P(B\ A)=P(A)+P(B\ A)+P(A \cap B) - P(A\cap B) = P(A) + P(B) - P(A\cap B) \).
Zadanie 4 Jaś zda egzamin z matematyki z prawdopodobieństwem 0.8, a egzamin z fizyki z prawdopodobieństwem 0.7. Z kolei prawdopodobieństwo tego, że zda oba egzaminy wynosi 0.6. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że:
- Jaś zda którykolwiek z egzaminów?
- Jaś zda dokładnie jeden z egzaminów?
- Jaś zda egzamin z matematyki, ale nie zda egzaminu z fizyki?
- M : Jaś zdaje egzamin z matematyki,
- F : Jaś zdaje egzamin z fizyki,
- A : Jaś zdaje którykolwiek z egzaminów,
- B : Jaś zdaje dokładnie jeden z egzaminów,
- C : Jaś zdaje egzamin z matematyki, ale nie z fizyki.
Wtedy:
\( P(A) = P(M \cup F) = P(M)+P(F)-P(M \cap F) = 0.8+0.7-0.6 = 0.9, \) (skorzystaliśmy tu z własności 5).
\( P(B) = P(M \cup F) - P(M \cap F) = 0.9 - 0.6 = 0.3 \) (skorzystaliśmy z poprzedniego punktu).
\(P(C) = P(M \cap \bar{F}) = P(M \ (M \cap F)) = P(M) - P(M\cap F) = 0.8-0.6 = 0.2 \) (skorzystaliśmy z tego, że zbiory \(M\ (M\cap F)\) i \(M \cap F\) są rozłączne, więc ich prawdopodobieństwa się sumują).