Skip to Content

Potęga o wykładniku całkowitym dodatnim

śr., 09/15/2010 - 14:00 — ciebie

Definicja 1.1

Niech \(a\;\) będzie dowolną ustaloną liczbą rzeczywistą. Potęgą o wykładniku \(1\;\) liczby \(a\;\) jest liczba \(a\;\), tzn. \(a^1=a.\;\) Potęgą o wykładniku całkowitym dodatnim \(n>1\;\) liczby \(a\;\) nazywamy iloczyn \(n\;\) czynników, z których każdy jest równy ,,\(a\;\)'', tzn.
\(a^n=\underbrace{a \cdot a\cdot \ldots \cdot a}_{n~czynnikow}.\)
Liczbę \(a\;\) nazywamy podstawą.

Przykłady:
  1. \(2^5=2\cdot 2\cdot2 \cdot2 \cdot 2=32,\;\)
  2. \((-3)^4=(-3) \cdot (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) =81,\;\)
  3. \(0^2=0\cdot 0=0,\;\)
  4. \(\left(-\frac{3}{4}\right)^3=\) \(\left(-\frac{3}{4}\right) \cdot \left(-\frac{3}{4}\right)\cdot \left(-\frac{3}{4}\right)=\) \(-\frac{27}{64},\;\)
  5. \((-1)^7=-1,\;\)
  6. Jeśli \(n\;\) jest liczbą parzystą dodatnią, to \((-1)^n=1,\;\)
  7. Jeśli \(n\;\) jest liczbą nieparzystą dodatnią, to \((-1)^n=-1,\;\)
  8. \((-\pi)^5=(-\pi) \cdot (-\pi) \cdot (-\pi) \cdot (-\pi) \cdot (-\pi)=-\pi^5.\;\)

Uwaga 1.2 Definicja 1.1 nie jest definicją sformalizowaną. W sposób ścisły potęgę liczby o wykładniku całkowitym dodatnim definiuje się rekurencyjnie.

∎

Definicja 1.3

Niech \(a\;\) będzie dowolną ustaloną liczbą rzeczywistą. Potęgę o wykładniku całkowitym dodatnim liczby \(a\;\) określają równości
\( \begin{array}{cc} &a^1=a\\ &a^{n+1}=a^n\cdot a \text{ dla } n \in \mathrm{C}_+ \end{array} \)

Ważne własności operacji brania potęgi o wykładniku całkowitym dodatnim zebrane są w następującym Twierdzeniu.

Twierdzenie 1.4:

Niech \(a,b\;\) będą dowolnymi liczbami rzeczywistymi, \(n,m\;\) dowolnymi liczbami całkowitymi dodatnimi. Wówczas

  • a) \(a^n \cdot a^m=a^{n+m},\;\)
  • b\( _1\;\)) jeśli \(a\neq 0\;\) i \(n>m,\;\) to \(\frac{a^n}{a^m}=a^{n-m},\;\)
  • b\( _2\;\)) jeśli \(a \neq 0\;\) i \(n<m\;\), to \(\frac{a^n}{a^m}=\frac{1}{a^{m-n}},\;\)
  • c) \((a\cdot b)^n=a^n\cdot b^n,\;\)
  • d) jeśli \(b\neq 0\;\), to \(\left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n},\;\)
  • e) \((a^n)^m=a^{n\cdot m}.\;\)

Dowód: Nieformalna Definicja 1.1 pozwala zrozumieć istotę każdej z własności

  1. \(a^n \cdot a^m=\) \(\underbrace{a \cdot a\cdot \ldots \cdot a}_n\cdot \underbrace{a\cdot a \cdot \ldots \cdot a}_m=\) \(\underbrace{a\cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n+m}=\) \(a^{n+m}.\;\)
  2. Niech \(n>m\;\) i \(a \neq 0.\;\) Wówczas
    \(\frac{a^n}{a^m}=\) \(\frac{\overbrace{a \cdot a\cdot \ldots \cdot a}^n}{ \underbrace{a \cdot a\cdot \ldots \cdot a}_m}=\) \(\frac{\overbrace{a \cdot a\cdot \ldots \cdot a}^m \cdot \overbrace{a \cdot a\cdot \ldots \cdot a}^{n-m}}{ \underbrace{a \cdot a\cdot \ldots \cdot a}_m}=\) \(\underbrace{a \cdot a\cdot \ldots \cdot a}_{n-m}=\) \(a^{n-m}.\;\)
    Niech \(n<m\;\) i \(a\neq0\;\). Wówczas
    \(\frac{a^n}{a^m}=\frac{1}{\frac{a^m}{a^n}}=\frac{1}{a^{m-n}}\;\)
    lub wprost
    \(\frac{a^n}{a^m}=\) \(\frac{\overbrace{a \cdot a\cdot \ldots \cdot a}^n}{ \underbrace{a \cdot a\cdot \ldots \cdot a}_m}=\) \(\frac{\overbrace{a \cdot a\cdot \ldots \cdot a}^n}{ \underbrace{a \cdot a\cdot \ldots \cdot a}_n\cdot\underbrace{a \cdot a\cdot \ldots \cdot a}_{m-n}}=\) \(\frac{1}{\underbrace{a \cdot a\cdot \ldots \cdot a}_{m-n}}=\) \(a^{m-n}.\;\)
  3. \((a\cdot b)^n=\) \(\underbrace{(a\cdot b)\cdot(a\cdot b)\cdot \ldots \cdot (a\cdot b)}_{n \text{ czynnikow } (a\cdot b)} =\) \( \underbrace{a\cdot a\cdot \ldots \cdot a}_{n \text{ czynnikow } a} \cdot \underbrace{b\cdot b\cdot \ldots \cdot b}_{n \text{ czynnikow } b}=\) \(a^n\cdot b^n.\;\)
  4. Dla \(b\neq 0\;\)
    \(\left(\frac{a}{b}\right)^n=\) \(\underbrace{\left(\frac{a}{b}\right)\cdot \left(\frac{a}{b}\right) \cdot \ldots \cdot \left(\frac{a}{b}\right) }_{n \text{ czynnikow } \left(\frac{a}{b}\right)}=\) \(\frac{\overbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a }^{n \text{ czynnikow }}}{\underbrace{b\cdot b\cdot \ldots \cdot b}_{n \text{ czynnikow }}}=\) \(\frac{a^n}{b^n} .\;\)
  5. (an)m = \(\underbrace{a^n \cdot a^n \cdot \ldots \cdot a^n}_{m \text{ czynnikow }(a^n)} =\) \( \underbrace{(\underbrace{a \cdot \ldots \cdot a}_n)\cdot(\underbrace{a \cdot \ldots \cdot a}_n)\cdot \ldots (\underbrace{a \cdot \ldots \cdot a}_n)}_{m \text{ czynnikow }(a\cdot \ldots \cdot a)}=\) \( \underbrace{a \cdot a\cdot \ldots \cdot a}_{ \underbrace{n+n+\ldots +n}_{m }}=\)
    \( \underbrace{a \cdot a\cdot \ldots \cdot a}_{m \cdot n \text{ czynnikow }} =\) \( a^{m \cdot n}.\;\)

Uwaga 1.5 Szkic dowodu Twierdzenia 1.4 nie jest sformalizowany. W sposób ścisły Twierdzenie 1.4 dowodzi się indukcyjnie.

∎

Zadanie 1.6 Podaj przykłady liczbowe ilustrujące każdą z własności wymienionych w Twierdzeniu 1.4 .

Rozwiązanie:

Odpowiedź mogłaby być następująca (każdy może podać inne przykłady):

  • a) \(6^3\cdot 6^{10}=\) \(6^{13}, \;\;\;\;\;\left(-\frac{2}{3}\right)^5 \cdot\left(-\frac{2}{3}\right)^8=\) \(\left(-\frac{2}{3}\right)^{13},\;\)
  • b\( _1\;\)) \(\frac{5^{15}}{5^3}=\) 515 − 3 = \(5^{12}, \;\;\;\; \frac{\left(-\frac{3}{4}\right)^8}{\left(-\frac{3}{4}\right)^5}=\) \( \left(-\frac{3}{4}\right)^{8-5}=\) \(\left(-\frac{3}{4}\right)^3=\) \(-\frac{27}{64},\;\)
  • b\( _2\;\)) \(\frac{10^2}{10^9}=\) \(\frac{1}{10^{9-2}}=\) \(\frac{1}{10^7},\;\;\;\; \frac{(-0,2)^6}{(-0,2)^{10}}=\) \(\frac{1}{(-0,2)^4}=\) \(\frac{1}{0,0016}=\) \(\frac{10000}{16}=\) \(625,\;\)
  • c) \((5\cdot 7)^2=\) \(5^2\cdot 7^2=\) \(25\cdot 49=\) \(1225, \;\;\;\; ((-5)\cdot 0,1)^3=\) \((-5)^3\cdot(0,1)^3=\) \(-125\cdot 0,001=\) \(-0,125,\;\)
  • d) \(\left(\frac{4}{7}\right)^3=\) \(\frac{4^3}{7^3}=\) \(\frac{64}{343}, \;\;\;\; \left(\frac{-2}{3}\right)^5=\) \(\frac{(-2)^5}{3^5}=\) \(\frac{-32}{243},\;\)
  • e) \(\left(\left(\frac{1}{3}\right)^2\right)^4=\) \(\left(\frac{1}{3}\right)^8, \;\;\;\; \left(\left(-4\right)^3\right)^5=\) \(\left(-4\right)^{15}.\;\)
∎

Zadanie 1.7 Wyjaśnij, z jakich własności potęgi skorzystano w poniższych obliczeniach.

  1. \(2^3\cdot 3^5\cdot 6^2=\) \(2^3\cdot 3^5\cdot(2\cdot 3)^2=\) \(2^3\cdot 3^5\cdot 2^2\cdot 3^2=\) \((2^3\cdot 2^2)\cdot(3^5\cdot 3^2)=\) \(2^5\cdot 3^7,\;\)
  2. \(\left(\frac{1}{5}\right)^4\cdot(25)^3=\) \(\frac{1^4}{5^4}\cdot(25)^3 =\) \(\frac{1}{5^4}\cdot(5^2)^3=\) \(\frac{1}{5^4}\cdot 5^6=\) \(\frac{5^6}{5^4}=\) 52 = \(25,\;\)
  3. \(\frac{4^3}{16^4}=\frac{4^3}{(4^2)^4}=\frac{4^3}{4^8}=\frac{1}{4^5}= \frac{1}{1024},\;\)
  4. \(\frac{1}{3}\cdot\left(-\frac{3}{5}\right)^3=\) \(\frac{1}{3}\cdot \left((-1)\cdot\frac{3}{5}\right)^3=\) \( \frac{1}{3}\cdot(-1)^3\cdot\left(\frac{3}{5}\right)^3=\) \( \frac{1}{3}\cdot(-1)\cdot\frac{3^3}{5^3}=\) \( -\frac{3^3}{3}\cdot\frac{1}{5^3}=\) \(-3^2\cdot\frac{1}{5^3}=\) \(-\frac{9}{125},\;\)
  5. \(((-2)^3)^4\cdot8=\) \((-2)^{12}\cdot2^3=\) \(((-1)\cdot2)^{12}\cdot2^3=\) \( (-1)^{12}\cdot2^{12}\cdot2^3=\) 212 + 3 = \(2^{15}.\;\)

Rozwiązanie:

  1. \(2^3\cdot 3^5\cdot 6^2=\) \(2^3\cdot 3^5\cdot(2\cdot 3)^2\stackrel{(c)}{=}2^3\cdot 3^5\cdot 2^2\cdot 3^2=\) \((2^3\cdot 2^2)\cdot(3^5\cdot 3^2)\stackrel{(a)}{=}2^5\cdot 3^7\;\).
  2. \(\left(\frac{1}{5}\right)^4\cdot(25)^3\stackrel{(d)}{=} \frac{1^4}{5^4}\cdot(25)^3=\) \(\frac{1}{5^4}\cdot(5^2)^3\stackrel{(e)}{=} \frac{1}{5^4}\cdot 5^6=\) \(\frac{5^6}{5^4}\stackrel{(b_1)}{=}5^2=\) \(25\;\).
  3. \(\frac{4^3}{164}=\) \(\frac{4^3}{(4^2)^4}\stackrel{(e)}{=} \frac{4^3}{4^8}\stackrel{(b_2)}{=}\frac{1}{4^5}=\) \(\frac{1}{1024}\;\).
  4. \(\frac{1}{3}\cdot\left(-\frac{3}{5}\right)^3=\) \(\frac{1}{3}\cdot \left((-1)\cdot\frac{3}{5}\right)^3\stackrel{(c)}{=} \frac{1}{3}\cdot(-1)^3 \cdot\left(\frac{3}{5}\right)^3\stackrel{(d)}{=} \frac{1}{3}\cdot(-1)\cdot\frac{3^3}{5^3}=\) \(-\frac{3^3}{3}\cdot\frac{1}{5^3} \stackrel{(b_1)}{=} -3^2\cdot\frac{1}{5^3}=\) \(-\frac{9}{125}\;\).
  5. \(((-2)^3)^4\cdot8\stackrel{(e)}{=} (-2)^{12}\cdot2^3=\) \(((-1)\cdot2)^{12}\cdot2^3 \stackrel{(c)}{=} (-1)^{12}\cdot2^{12}\cdot2^3=\) \(2^{12+3}\stackrel{(a)}{=}2^{15}.\;\)
∎

Przydatne w rachunkach są następujące własności potęgi wynikające z Twierdzenia 1.4 i własności działań na liczbach.

Twierdzenie 1.8:

Niech \(a\;\) będzie liczbą rzeczywistą, \(n\;\) i \(m\;\) liczbami całkowitymi dodatnimi.

  1. Jeśli \(n\;\) jest liczbą parzystą, to \((-a)^n=a^n.\;\)
  2. Jeśli \(n\;\) jest liczbą nieparzystą, to \((-a)^n=-a^n\;\).
  3. Jeśli \(a\neq0,\;\) to \(\left(\frac{1}{a}\right)^n=\frac{1}{a^n}.\;\)
  4. Jeśli \(m\;\) i \(n\;\) są liczbami nieparzystymi, to \(((-a)^n)^m=-a^{n \cdot m}.\;\)
  5. Jeśli \(m\;\) lub \(n\;\) jest liczbą parzystą, to \(((-a)^n)^m=a^{n\cdot m}.\;\)

Dowód:

  1. Niech \(n\;\) będzie liczbą parzystą dodatnią. Wówczas
    \((-a)^n=((-1)a)^n=(-1)^n\cdot a^n=a^n.\;\)
  2. Niech \(n\;\) będzie liczbą nieparzystą dodatnią. Wówczas
    \((-a)^n=((-1)a)^n=(-1)^n\cdot a^n=(-1)\cdot a^n=-a^n.\;\)
  3. Dla \(a\neq0\;\): \(\left(\frac{1}{a}\right)^n=\frac{1^n}{a^n}=\frac{1}{a^n}.\;\)
  4. Jeśli \(m\;\) i \(n\;\) są liczbami nieparzystymi, to \(n\cdot m\;\) jest liczbą nieparzystą. Stąd \(((-a)^n)^m=(-a)^{n\cdot m}=-a^{n\cdot m }.\;\)
  5. Jeśli \(m\;\) lub \(n\;\) jest liczbą parzystą, to \(n\cdot m\;\) jest liczbą parzystą. Stąd \(((-a)^n)^m=(-a)^{n \cdot m}=a^{n\cdot m}.\;\)

Zadanie 1.9 Podaj przykłady liczbowe ilustrujące każdą z własności wymienionych w Twierdzeniu 1.8 .

Rozwiązanie:

Odpowiedź mogłaby być następująca:

  1. \(\left(-\frac{3}{4}\right)^8=\left(\frac{3}{4}\right)^8,\;\)
  2. \((-6)^5=-6^5,\;\)
  3. \(\left( \frac{1}{-21}\right)^3=\) \(\frac{1}{(-21)^3}, \;\;\; \left(\frac{1}{4}\right)^5=\) \(\frac{1}{4^5}, \;\;\; \left(\frac{1}{0,3}\right)^4=\) \(\frac{1}{(0,3)^4},\;\)
  4. \(((-2)^3)^{121}=-2^{363},\;\)
  5. \(((-3)^{1501})^{1502}=3^{1501\cdot 1502}, \;\;\; ((-3)^{20})^{31}=3^{620}.\;\)
∎



Theme by Dr. Radut.