W trakcie nauki matematyki przydatne okazywały się wielokrotnie wyrażenia algebraiczne. Były to pewne "zapisy" zbudowane z cyfr, liter (zwanych zmiennymi) oraz znaków działań i nawiasów. Można było na tych "zapisach", podobnie jak na liczbach, wykonywać operacje: dodawało się je, odejmowało, mnożyło jedne przez drugie, a także porządkowało, zmieniało kolejność przy wykonywaniu dodawania czy mnożenia. Reguły, przy pomocy których wolno było przekształcać te wyrażenia w wyrażenia "równoważne", wprowadzano stopniowo i wynikały one z odpowiednich własności działań na liczbach. Zrozumiałe stały się terminy: jednomian, jednomian uporządkowany, suma algebraiczna, iloczyn jednomianów, iloczyn sum algebraicznych, wzory skróconego mnożenia, a także operacje redukcji wyrazów podobnych dodawania czy mnożenia sum algebraicznych, czy wreszcie upraszczanie złożonych wyrażeń algebraicznych. W trakcie przekształcania wyrażeń algebraicznych zachowywana była zawsze taka sama kolejność działań, jaka obowiązywała przy operacjach na liczbach, a przekształcane wyrażenia wiązało się znakiem "\(=\;\)" tak samo, jak to się czyni, gdy posługujemy się liczbami.
Wyrażenia algebraiczne w zwięzły sposób pozwalały opisać, jak oblicza się pole czy objętość pewnych figur geometrycznych, a także wyrazić powiązania między pewnymi wielkościami matematycznymi czy fizycznymi oraz ściśle ujmować istotne informacje zawarte w zadaniach tekstowych. Procedura obliczania pola, objętości jakiejś szczególnej figury czy wartości wybranej wielkości fizycznej polegała na tym, by podać wartość odpowiedniego wyrażenia algebraicznego dla konkretnych wartości występujących w nim zmiennych liczbowych. Od samego początku nauce o wyrażeniach algebraicznych towarzyszyła czynność obliczanie wartości wyrażenia dla konkretnych wartości zmiennych - i jest to, w porównaniu z nauką o liczbach, zupełnie nowe zjawisko.
Zwróćmy uwagę na jedną ważną rzecz związaną z równością wyrażeń algebraicznych, rzecz, która na ogół nie jest wyraźnie komentowana. Jeśli np. piszemy
\(3x\cdot x - 2x^2-6xy+xy = x(x-5y)\;\),
czy
\(\frac{1}{2}(a+b)h = \frac{a+b}{2}\cdot h\;\),
to w tych "równościach" ukryte są dwa znaczenia:
- można napisać znak "\(=\;\)", ponieważ istnieją reguły przekształcania wyrażeń algebraicznych, na które można się powołać,
- można pisać znak "\(=\;\)", ponieważ przy podstawieniu za \(x\;\) i \(y\;\) (za \(a,b,h\;\) ) z obu stron równości dowolnych ustalonych liczb otrzymamy zawsze zdanie prawdziwe dotyczące liczb.
Wielomiany, którym poświęcony jest ten paragraf, są szczególnej postaci wyrażeniami algebraicznymi.