Znajdź funkcje tworzące ciągów \(\langle H_n\rangle\) i \(\langle n^2\rangle\).
Oblicz \( a_n = \sum_{0\le i\le n} F_i\cdot F_{n-i}\).
Niech
\[
G_k(z)=\sum_n\left\{{n}\atop{k}\right\}\,\frac{z^n}{n!}
\]
będzie w.f.t. dla liczb Stirlinga drugiego rodzaju, przy ustalonym dolnym wskaźniku. Pokaż, że \(G_k(z)=\frac{(e^z-1)^k}{k!}\), dowodząc kolejno tożsamości:
(a) \(\left\{{n+1}\atop{k+1}\right\} = \sum_{m}{{n}\choose{ m}}\left\{{m}\atop{k}\right\} \)
(b) \(\left\{{n+1}\atop{k+1}\right\} = \left\{{n}\atop{k+1}\right\}(k+1)+\left\{{n}\atop{k}\right\}\)
(c) \(G_k\, e^z = (k+1)\, G_{k+1} + G_k\).
Znajdź zwarty wzór na wykładniczą funkcję tworzącą liczb Bella \(B_n = \sum_k\left\{{n}\atop{k}\right\}\).
Permutacja f jest inwolucją, gdy złożenie f ze sobą jest identycznością. Pokaż, że wykładniczą f.t. dla liczby inwolucji jest \(e^{z+\frac{z^2}{2}}\) .