Zadanie 1

Znajdź funkcje tworzące ciągów $\langle H_n\rangle$ i $\langle n^2\rangle$.

Zadanie 2

Oblicz $a_n = \sum_{0\le i\le n} F_i\cdot F_{n-i}$.

Zadanie 3

Niech
$$G_k(z)=\sum_n\left\{{n}\atop{k}\right\}\,\frac{z^n}{n!}$$
będzie w.f.t. dla liczb Stirlinga drugiego rodzaju, przy ustalonym dolnym wskaźniku. Pokaż, że $G_k(z)=\frac{(e^z-1)^k}{k!}$, dowodząc kolejno tożsamości:
(a) $\left\{{n+1}\atop{k+1}\right\} = \sum_{m}{{n}\choose{ m}}\left\{{m}\atop{k}\right\}$
(b) $\left\{{n+1}\atop{k+1}\right\} = \left\{{n}\atop{k+1}\right\}(k+1)+\left\{{n}\atop{k}\right\}$
(c) $G_k\, e^z = (k+1)\, G_{k+1} + G_k$.
Znajdź zwarty wzór na wykładniczą funkcję tworzącą liczb Bella $B_n = \sum_k\left\{{n}\atop{k}\right\}$.

Zadanie 4

Permutacja f jest inwolucją, gdy złożenie f ze sobą jest identycznością. Pokaż, że wykładniczą f.t. dla liczby inwolucji jest $e^{z+\frac{z^2}{2}}$ .