Znajdź wzór na liczbę n-permutacji o danej sygnaturze.
Permutacja f jest inwolucją gdy f∘f=id. Pokaż, że
(a) permutacja jest inwolucją w.t.w. gdy ma sygnaturę 1α12α2;
(b) każda permutacja jest złożeniem dwóch inwolucji.
Dane są liczby naturalne n≥k>0. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w losowej n-permutacji jedynka należy do cyklu o długości k?
Pokaż, że losowa n-permutacja z prawdopodobieństwem $H_{n-1}/n$ składa się dokładnie z dwóch cykli.
Mamy n skarbonek i n kluczy, przy czym każdy klucz pasuje do dokładnie jednej skarbonki. Wrzucamy losowo po jednym kluczu do każdej skarbonki, po czym rozbijamy k skarbonek, 1≤k≤n. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że dzięki temu będzie można otworzyć wszystkie pozostałe skarbonki.
Pokaż tożsamość
xn=∑k{nk}xk_
przez interpretację kombinatoryczna.
Pokaż następujące wzory:
{nk}=∑i1,…,in−ki1⋅i2…in−k⋅[1≤i1≤i2≤…≤in−k≤k] ,
[nk]=∑i1,…,in−ki1⋅i2…in−k⋅[0<i1<i2<…<in−k<n]