Processing math: 100%

Ćwiczenia 4: permutacje i liczby Stirlinga

Zadanie 1

Znajdź wzór na liczbę n-permutacji o danej sygnaturze.

Zadanie 2

Permutacja f jest inwolucją gdy ff=id. Pokaż, że
(a) permutacja jest inwolucją w.t.w. gdy ma sygnaturę 1α12α2;
(b) każda permutacja jest złożeniem dwóch inwolucji.

Zadanie 3

Dane są liczby naturalne nk>0. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w losowej n-permutacji jedynka należy do cyklu o długości k?

Zadanie 4

Pokaż, że losowa n-permutacja z prawdopodobieństwem $H_{n-1}/n$ składa się dokładnie z dwóch cykli.

Zadanie 5

Mamy n skarbonek i n kluczy, przy czym każdy klucz pasuje do dokładnie jednej skarbonki. Wrzucamy losowo po jednym kluczu do każdej skarbonki, po czym rozbijamy k skarbonek, 1kn. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że dzięki temu będzie można otworzyć wszystkie pozostałe skarbonki.

Zadanie 6

Pokaż tożsamość
xn=k{nk}xk_
przez interpretację kombinatoryczna.

Zadanie 7

Pokaż następujące wzory:
{nk}=i1,,inki1i2ink[1i1i2inkk] ,
[nk]=i1,,inki1i2ink[0<i1<i2<<ink<n]