Zadanie 1

Udowodnij, że liczba elementów zbioru X należących do co najmniej $r>0$ spośród zbiorów $A_1,\ldots,A_n$, gdzie $A_i\subseteq X$ dla $i=1,\ldots n$, wynosi
$$\sum_{k=r}^n (-1)^{k-r}{{k-1}\choose{r-1}} S_k\ ,$$
gdzie $S_k=\sum_{1\leq i_1 < \ldots < i_k\leq n}|A_{i_1}\cap\ldots\cap A_{i_k}|$.

Zadanie 2

Oblicz, ile jest liczb 8-cyfrowych nie zawierających cyfry 0 ani ciągu kolejnych cyfr $\ldots 121\ldots$.

Zadanie 3

Znajdź liczbę permutacji zbioru $\{1,\ldots,7\}$ nie zawierających czterech kolejnych elementów w porządku rosnącym.

Zadanie 4

Pokaż, że wielomiany $ax+1, ax^2+(a+2)x+1, abx^2+(a+b+1)x+1$ są wieżowe dla dow. a,b naturalnych.

Zadanie 5

Znajdź liczbę n-nieporządków za pomoca wieżomianow (liczba rozstawień wież na dopełnieniu przekątnej).

Zadanie 6

7 krasnoludków $k_1,\ldots,k_7$ ma codziennie do wykonania 7 prac $k_1,\ldots,k_7$, przy czym:
$k_1$ nie umie wykonać $p_2, p_3$
$k_2$ nie umie wykonać $p_1, p_5$
$k_4$ nie umie wykonać $p_2, p_7$
$k_5$ nie umie wykonac $p_4$.
Przez ile dni mogą rozdzielać prace codziennie inaczej?

Zadanie 7

Udowodnij, że wielomianem wieżowym planszy $\{(i,i), (i,i+1): i = 1,\ldots,n\}$ jest $\sum_{k=0}^n {{2n+1-k}\choose{k}} x^k$.

Zadanie 8

Na ile sposobów można rozstawić 6 nie atakujących się wież na czarnych polach szachownicy 8x8?