Pokaż następujące rekurencje na liczby \(p_k(n)\) (liczba podziałów n na k składników):
\(p_k(n) = p_{k-1}(n-1)+p_{k}(n-k)\)
\(p_k(n) = p_{k}(n-k)+p_{k-1}(n-k) +\cdots+p_{1}(n-k)\)
Oblicz \(p_2(n)\) i \(p_3(n)\).
Pokaż oszacowanie
\[\frac{1}{k!}\cdot{{n-1}\choose{k-1}}\ \le \ p_k(n)\ \le \ \frac{1}{k!}\cdot{{n+\frac{k(k-1)}{2}-1}\choose{k-1}} .\]
Pokaż, że liczba \(P(n)-P(n-1)\) jest równa liczbie podziałów~n na składniki większe niż 1.
Niech \(D(n;a_1,\ldots,a_m)\) oznacza liczbę podziałów n na części rozmiarów należących do zbioru \(\{a_1, a_2,\ldots, a_m\}\).
(a) Pokaż, że ten ciąg ma \(1/(1-t^{a_1})(1-t^{a_2})\ldots(1-t^{a_m})\) jako swoją f.t.
(b) Z rozkładu na ułamki proste
\[ \frac{1}{(1-t)(1-t^2)}=\frac{1}{2(1-t)^2}+\frac{1}{4(1-t)}+\frac{1}{4(1+t)} \]
wyprowadź wzór na D(n;1,2).
Wykaż, że łączna liczba składników we wszystkich podziałach liczby n jest równa \(\sum_{k=0..n-1} P(k) \tau(n-k)\), gdzie P(k) to liczba
podziałów k, a \(\tau(m) = \sum_{d | m} 1\) jest liczbą (dodatnich) dzielników m.