Zadanie 1

Pokaż następujące rekurencje na liczby $p_k(n)$ (liczba podziałów n na k składników):
$p_k(n) = p_{k-1}(n-1)+p_{k}(n-k)$
$p_k(n) = p_{k}(n-k)+p_{k-1}(n-k) +\cdots+p_{1}(n-k)$

Zadanie 2

Oblicz $p_2(n)$ i $p_3(n)$.

Zadanie 3

Pokaż oszacowanie
$$\frac{1}{k!}\cdot{{n-1}\choose{k-1}}\ \le \ p_k(n)\ \le \ \frac{1}{k!}\cdot{{n+\frac{k(k-1)}{2}-1}\choose{k-1}} .$$

Zadanie 4

Pokaż, że liczba $P(n)-P(n-1)$ jest równa liczbie podziałów~n na składniki większe niż 1.

Zadanie 5

Niech $D(n;a_1,\ldots,a_m)$ oznacza liczbę podziałów n na części rozmiarów należących do zbioru $\{a_1, a_2,\ldots, a_m\}$.
(a) Pokaż, że ten ciąg ma $1/(1-t^{a_1})(1-t^{a_2})\ldots(1-t^{a_m})$ jako swoją f.t.
(b) Z rozkładu na ułamki proste
$$\frac{1}{(1-t)(1-t^2)}=\frac{1}{2(1-t)^2}+\frac{1}{4(1-t)}+\frac{1}{4(1+t)}$$
wyprowadź wzór na D(n;1,2).

Zadanie 6

Wykaż, że łączna liczba składników we wszystkich podziałach liczby n jest równa $\sum_{k=0..n-1} P(k) \tau(n-k)$, gdzie P(k) to liczba
podziałów k, a $\tau(m) = \sum_{d | m} 1$ jest liczbą (dodatnich) dzielników m.