Zadanie 1

Pokaż następujące rekurencje na liczby $p_k(n)$ (liczba podziałów n na k składników):
$p_k(n) = p_{k-1}(n-1)+p_{k}(n-k)$
$p_k(n) = p_{k}(n-k)+p_{k-1}(n-k) +\cdots+p_{1}(n-k)$

Zadanie 2

Oblicz $p_2(n)$ i $p_3(n)$.

Zadanie 3

Pokaż oszacowanie
$$\frac{1}{k!}\cdot{{n-1}\choose{k-1}}\ \le \ p_k(n)\ \le \ \frac{1}{k!}\cdot{{n+\frac{k(k-1)}{2}-1}\choose{k-1}} .$$

Zadanie 4

Pokaż, że liczba $P(n)-P(n-1)$ jest równa liczbie podziałów~n na składniki większe niż 1.

Zadanie 5