Zadanie 1

Pokaż następujące rekurencje na liczby \(p_k(n)\) (liczba podziałów n na k składników):
\(p_k(n) = p_{k-1}(n-1)+p_{k}(n-k)\)
\(p_k(n) = p_{k}(n-k)+p_{k-1}(n-k) +\cdots+p_{1}(n-k)\)

Zadanie 2

Oblicz \(p_2(n)\) i \(p_3(n)\).

Zadanie 3

Pokaż oszacowanie
\[\frac{1}{k!}\cdot{{n-1}\choose{k-1}}\ \le \ p_k(n)\ \le \ \frac{1}{k!}\cdot{{n+\frac{k(k-1)}{2}-1}\choose{k-1}} .\]

Zadanie 4

Pokaż, że liczba \(P(n)-P(n-1)\) jest równa liczbie podziałów~n na składniki większe niż 1.

Zadanie 5