Zadanie 1

Rozstrzygnij, czy
(a) grupa obrotów sześcianu jest izomorficzna z S₄ (grupą wszystkich permutacji zbioru 4-elementowego);
(b) grupa izometrii sześcianu jest izomorficzna z grupą automorfizmów grafu złożonego z 4 trójkątów A, B, C, D takich, że B, C, D sa rozłączne, zaś A ma dokładnie jeden wierzchołek wspólny z każdym z nich.

Zadanie 2

Niech P(G,k,j) oznacza liczbę istotnie różnych kolorowań grafu $G$, w których dokładnie $k$ wierzchołków jest białych, a $j = |V|-k$ wierzchołków jest czarnych. Dla grafu G niech S(G) oznacza stożek nad G, czyli graf powstający z G przez dodanie nowego wierzchołka połączonego ze wszystkimi w G.
Pokaż, że jeśli
(*) G nie ma wierzchołka stopnia |V(G)|-1,
to P(S(G),k,j) = P(G,k-1,j)+P(G,k,j-1), i podaj przykład pokazujacy, że założenie (*) jest istotne.

Zadanie 3

Podaj przykład grafu, którego grupą automorfizmów jest
(a) Z₂ + Z₂ (grupa czwórkowa Kleina); (b) Z₃.

Zadanie 4

Podaj przykład grafu G o nietrywialnej grupie automorfizmów i takiego, że po usunięciu z G dowolnej krawędzi otrzymujemy graf o trywialnej grupie automorfizmów.
Wariant uproszczony:
słowo dowolnej zastąp przez pewnej.

Zadanie 5

Oblicz, ile jest nieizomorficznych turniejów o 5 wierzchołkach.

Zadanie 6

Kolorujemy wierzchołki czworościanu foremnego z użyciem 3 kolorów, a krawędzie z użyciem 2 kolorów. Oblicz, na ile istotnie różnych sposobów można to zrobić, jeśli utożsamiamy takie kolorowania, że jedno przechodzi na drugie przy pewnym obrocie czworościanu w R^3.