Granica funkcji

W tym wykładzie będziemy rozważać funkcje prowadzące z $\mathbb{R}$ w $\mathbb{R}$. Zdefiniujemy pojęcie granicy funkcji w punkcie. Ponieważ o granicy funkcji w punkcie można mówić tylko w punktach skupienia dziedziny (punkt ten nie musi należeć do dziedziny), wykażemy teraz twierdzenie, które podaje warunek równoważny definicji 3.11. Przypomnijmy, że w $\mathbb{R}$ z metryką euklidesową, kula $K(x_0,r)$ jest przedziałem $\displaystyle (x_0-r,x_0+r).$

Twierdzenie 8.1.

Niech $A\subseteq \mathbb{R},x_0\in \mathbb{R}.$
Punkt $x_0$ jest punktem skupienia zbioru $A$ wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje ciąg $\displaystyle\{x_n\}\subseteq A\setminus\{x_0\}$ taki, że

$\lim\limits_{n \to +\infty} x_n \ =\ x_0.$

Dowód 8.1. [nadobowiązkowy]

"$\displaystyle\Longrightarrow$"

Niech $x_0$ będzie punktem skupienia zbioru $A$. Dla dowolnego $n\in\mathbb{N}$ rozważmy kulę $\displaystyle \bigg(x_0-\frac{1}{n},x_0+\frac{1}{n}\bigg).$ Z definicji punktu skupienia wiemy, że istnieje punkt $\displaystyle x_n\in A\cap \bigg(x_0-\frac{1}{n},x_0+\frac{1}{n}\bigg)\setminus\{x_0\}$ dla $n\in\mathbb{N}.$ W ten sposób zdefiniowaliśmy ciąg $\displaystyle\{x_n\}\subseteq A.$ Zauważmy, że $\displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} x_n=x_0.$

"$\displaystyle\Longleftarrow$"

Przypuśćmy, że $\displaystyle\{x_n\}\subseteq A\setminus\{x_0\}$ jest ciągiem takim, że $\displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} x_n=x_0.$ Należy pokazać, że $x_0$ jest punktem skupienia zbioru $A.$ W tym celu weźmy dowolną kulę $\displaystyle (x_0-r,x_0+r)\subseteq A.$ Z definicji granicy ciągu wiemy, że w tej kuli leżą wszystkie wyrazy ciągu począwszy od pewnego miejsca, czyli

$\exists N\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N:\ x_n\in (x_0-r,x_0+r).$

To oznacza, że w dowolnej kuli o środku w $x_0$ są wyrazy ciągu $\displaystyle\{x_n\}$ (czyli elementy zbioru $A\setminus\{x_0\}$), czyli $x_0$ jest punktem skupienia zbioru $A.$

Wprowadzimy teraz pojęcie granicy funkcji $f\colon\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}$ w punkcie $x_0\in \mathbb{R}.$ Można to zrobić na dwa równoważne sposoby.

rycina

Augustin Louis Cauchy (1789-1857)

Definicja 8.2. [Cauchy'ego granicy funkcji w punkcie]

Niech $A$ będzie podzbiorem $\displaystyle\mathbb{R}.$ Niech $\displaystyle f\colon A\longrightarrow \mathbb{R}$ będzie funkcją oraz niech $x_0\in \mathbb{R}$ będzie punktem skupienia zbioru $A.$
Mówimy, że funkcja $f$ ma granicę (właściwą) $g\in \mathbb{R}$ w punkcie $x_0,$ jeśli

$\forall \varepsilon>0\ \ \exists \delta>0\ \ \forall x\in A\setminus\{x_0\}:\ $

$\bigg[ |x_0-x| < \delta \ \Longrightarrow\ |f(x)-g| < \varepsilon\bigg].$

Piszemy wówczas

$\lim_{x \to x_0}f(x) \ =\ g \quad\textrm{lub}\quad f(x) \longrightarrow [x \to x_0]{} g.$

Definicja 8.3. [Heinego granicy funkcji w punkcie]

Niech $A$ będzie podzbiorem $\displaystyle\mathbb{R}.$ Niech $\displaystyle f\colon A\longrightarrow \mathbb{R}$ będzie funkcją oraz niech $x_0\in \mathbb{R}$ będzie punktem skupienia zbioru $A.$
Mówimy, że funkcja $f$ ma granicę (właściwą) $g\in \mathbb{R}$ w punkcie $x_0\in \mathbb{R},$ jeśli

$\forall \{x_n\}\subseteq A\setminus\{x_0\}:\ \ \bigg[\lim\limits_{n \to +\infty} x_n=x_0 \ \Longrightarrow\ \lim\limits_{n \to +\infty} f(x_n)=g\bigg].$

Piszemy wówczas

$\lim_{x \to x_0}f(x) \ =\ g \quad\textrm{lub}\quad f(x)\x rightarrow [x \to x_0]{} g.$

wykresy

Wykażemy teraz, że dwie powyższe definicje są równoważne.

Definicje Cauchy'ego i Heinego granicy funkcji w punkcie są równoważne.

Dowód 8.4. [nadobowiązkowy]

Niech $A$ będzie podzbiorem $\displaystyle\mathbb{R}.$ Niech $\displaystyle f\colon A\longrightarrow \mathbb{R}$ będzie funkcją oraz niech $x_0\in \mathbb{R}$ będzie punktem skupienia zbioru $A.$

(1) Załóżmy, że funkcja $f$ ma granicę $g\in \mathbb{R}$ w punkcie $x_0$ w sensie definicji Cauchy'ego. Pokażemy, że $g$ jest także granicą funkcji $f$ w punkcie $x_0$ w sensie definicji Heinego. W tym celu niech $\displaystyle\{x_n\}\subseteq A\setminus\{x_0\}$ będzie ciągiem takim, że $\displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} x_n=x_0.$ Należy pokazać, że $\displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} f(x_n)=g.$
Ustalmy dowolne $\displaystyle\varepsilon>0.$ Z definicji Cauchy'ego granicy funkcji w punkcie wiemy, że

$\exists \delta>0\ \forall x\in A\cap \big((x_0-\delta,x_0+\delta)\setminus\{x_0\}\big):\ f(x)\in (g-\varepsilon,g+\varepsilon).$

Ponieważ $\displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} x_n=x_0,$ więc z definicji granicy, od pewnego miejsca wszystkie wyrazy ciągu $\displaystyle\{x_n\}$ są w kuli $\displaystyle (x_0-\delta,x_0+\delta),$ czyli

$\exists N\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N:\ |x_n-x_0| < \delta.$ Zatem z definicji Cauchy'ego wynika, że

$\forall n\ge N:\ |f(x_n)-g| < \varepsilon.$ To oznacza, że $\displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} f(x_n)=g,$ czyli funkcja $f$ ma granicę $g$ w punkcie $x_0$ w sensie definicji Heinego.

(2) Załóżmy, że funkcja $f$ ma granicę $g\in \mathbb{R}$ w punkcie $x_0$ w sensie definicji Heinego. Pokażemy, że $g$ jest także granicą funkcji $f$ w punkcie $x_0$ w sensie definicji Cauchy'ego. Dla dowodu niewprost przypuśćmy, że granica w sensie Cauchy'ego nie istnieje, to znaczy

$\exists \varepsilon>0\ \forall \delta>0\ \exists x\in A:\ 0 < |x_0-x| < \delta\ $    oraz    $|f(x)-g|\ge\varepsilon,$ w szczególności biorąc $\displaystyle\delta=\frac{1}{n},$ dla powyższego $\displaystyle\varepsilon>0,$ mamy

$\forall n\in\mathbb{N}\ \exists x_n\in A:\ 0 < |x_0-x_n| < \frac{1}{n}\ $    oraz    $| |f(x_n)-g|\ge\varepsilon,$ Łatwo zauważyć, że dla skonstruowanego ciągu $\displaystyle\{x_n\}$ mamy $\displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} x_n=x_0$ oraz nie jest prawdą, że $\displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} f(x_n)=g,$ co jest sprzeczne z faktem, że $g$ jest granicą funkcji $f$ w punkcie $x_0$ w sensie definicji Heinego.