W tym wykładzie będziemy rozważać funkcje prowadzące z \( \mathbb{R} \) w \( \mathbb{R} \). Zdefiniujemy pojęcie granicy funkcji w punkcie. Ponieważ o granicy funkcji w punkcie można mówić tylko w punktach skupienia dziedziny (punkt ten nie musi należeć do dziedziny), wykażemy teraz twierdzenie, które podaje warunek równoważny definicji 3.11. Przypomnijmy, że w \( \mathbb{R} \) z metryką euklidesową, kula \( K(x_0,r) \) jest przedziałem \( \displaystyle (x_0-r,x_0+r). \)
Twierdzenie 8.1.
Niech \( A\subseteq \mathbb{R},x_0\in \mathbb{R}. \)
Punkt \( x_0 \) jest punktem skupienia zbioru \( A \) wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje ciąg \( \displaystyle\{x_n\}\subseteq A\setminus\{x_0\} \) taki, że
\( \lim\limits_{n \to +\infty} x_n \ =\ x_0. \)
Dowód 8.1. [nadobowiązkowy]
"\( \displaystyle\Longrightarrow \)"
Niech \( x_0 \) będzie punktem skupienia zbioru \( A \). Dla dowolnego \( n\in\mathbb{N} \) rozważmy kulę \( \displaystyle \bigg(x_0-\frac{1}{n},x_0+\frac{1}{n}\bigg). \) Z definicji punktu skupienia wiemy, że istnieje punkt \( \displaystyle x_n\in A\cap \bigg(x_0-\frac{1}{n},x_0+\frac{1}{n}\bigg)\setminus\{x_0\} \) dla \( n\in\mathbb{N}. \) W ten sposób zdefiniowaliśmy ciąg \( \displaystyle\{x_n\}\subseteq A. \) Zauważmy, że \( \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} x_n=x_0. \)
"\( \displaystyle\Longleftarrow \)"
Przypuśćmy, że \( \displaystyle\{x_n\}\subseteq A\setminus\{x_0\} \) jest ciągiem takim, że \( \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} x_n=x_0. \) Należy pokazać, że \( x_0 \) jest punktem skupienia zbioru \( A. \) W tym celu weźmy dowolną kulę \( \displaystyle (x_0-r,x_0+r)\subseteq A. \) Z definicji granicy ciągu wiemy, że w tej kuli leżą wszystkie wyrazy ciągu począwszy od pewnego miejsca, czyli
\( \exists N\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N:\ x_n\in (x_0-r,x_0+r). \)
To oznacza, że w dowolnej kuli o środku w \( x_0 \) są wyrazy ciągu \( \displaystyle\{x_n\} \) (czyli elementy zbioru \( A\setminus\{x_0\} \)), czyli \( x_0 \) jest punktem skupienia zbioru \( A. \)
Wprowadzimy teraz pojęcie granicy funkcji \( f\colon\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R} \) w punkcie \( x_0\in \mathbb{R}. \) Można to zrobić na dwa równoważne sposoby.
Augustin Louis Cauchy (1789-1857)
Definicja 8.2. [Cauchy'ego granicy funkcji w punkcie]
Niech \( A \) będzie podzbiorem \( \displaystyle\mathbb{R}. \) Niech \( \displaystyle f\colon A\longrightarrow \mathbb{R} \) będzie funkcją oraz niech \( x_0\in \mathbb{R} \) będzie punktem skupienia zbioru \( A. \)
Mówimy, że funkcja \( f \) ma granicę (właściwą) \( g\in \mathbb{R} \) w punkcie \( x_0, \) jeśli
\( \forall \varepsilon>0\ \ \exists \delta>0\ \ \forall x\in A\setminus\{x_0\}:\ \)
\( \bigg[ |x_0-x| < \delta \ \Longrightarrow\ |f(x)-g| < \varepsilon\bigg]. \)
Piszemy wówczas
\( \lim_{x \to x_0}f(x) \ =\ g \quad\textrm{lub}\quad f(x) \longrightarrow [x \to x_0]{} g. \)
Definicja 8.3. [Heinego granicy funkcji w punkcie]
Niech \( A \) będzie podzbiorem \( \displaystyle\mathbb{R}. \) Niech \( \displaystyle f\colon A\longrightarrow \mathbb{R} \) będzie funkcją oraz niech \( x_0\in \mathbb{R} \) będzie punktem skupienia zbioru \( A. \)
Mówimy, że funkcja \( f \) ma granicę (właściwą) \( g\in \mathbb{R} \) w punkcie \( x_0\in \mathbb{R}, \) jeśli
\( \forall \{x_n\}\subseteq A\setminus\{x_0\}:\ \ \bigg[\lim\limits_{n \to +\infty} x_n=x_0 \ \Longrightarrow\ \lim\limits_{n \to +\infty} f(x_n)=g\bigg]. \)
Piszemy wówczas
\( \lim_{x \to x_0}f(x) \ =\ g \quad\textrm{lub}\quad f(x)\x rightarrow [x \to x_0]{} g. \)
Wykażemy teraz, że dwie powyższe definicje są równoważne.
Definicje Cauchy'ego i Heinego granicy funkcji w punkcie są równoważne.
Dowód 8.4. [nadobowiązkowy]
Niech \( A \) będzie podzbiorem \( \displaystyle\mathbb{R}. \) Niech \( \displaystyle f\colon A\longrightarrow \mathbb{R} \) będzie funkcją oraz niech \( x_0\in \mathbb{R} \) będzie punktem skupienia zbioru \( A. \)
(1) Załóżmy, że funkcja \( f \) ma granicę \( g\in \mathbb{R} \) w punkcie \( x_0 \) w sensie definicji Cauchy'ego. Pokażemy, że \( g \) jest także granicą funkcji \( f \) w punkcie \( x_0 \) w sensie definicji Heinego. W tym celu niech \( \displaystyle\{x_n\}\subseteq A\setminus\{x_0\} \) będzie ciągiem takim, że \( \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} x_n=x_0. \) Należy pokazać, że \( \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} f(x_n)=g. \)
Ustalmy dowolne \( \displaystyle\varepsilon>0. \) Z definicji Cauchy'ego granicy funkcji w punkcie wiemy, że
\( \exists \delta>0\ \forall x\in A\cap \big((x_0-\delta,x_0+\delta)\setminus\{x_0\}\big):\ f(x)\in (g-\varepsilon,g+\varepsilon). \)
Ponieważ \( \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} x_n=x_0, \) więc z definicji granicy, od pewnego miejsca wszystkie wyrazy ciągu \( \displaystyle\{x_n\} \) są w kuli \( \displaystyle (x_0-\delta,x_0+\delta), \) czyli
\( \exists N\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N:\ |x_n-x_0| < \delta. \) Zatem z definicji Cauchy'ego wynika, że
\( \forall n\ge N:\ |f(x_n)-g| < \varepsilon. \) To oznacza, że \( \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} f(x_n)=g, \) czyli funkcja \( f \) ma granicę \( g \) w punkcie \( x_0 \) w sensie definicji Heinego.
(2) Załóżmy, że funkcja \( f \) ma granicę \( g\in \mathbb{R} \) w punkcie \( x_0 \) w sensie definicji Heinego. Pokażemy, że \( g \) jest także granicą funkcji \( f \) w punkcie \( x_0 \) w sensie definicji Cauchy'ego. Dla dowodu niewprost przypuśćmy, że granica w sensie Cauchy'ego nie istnieje, to znaczy
\( \exists \varepsilon>0\ \forall \delta>0\ \exists x\in A:\ 0 < |x_0-x| < \delta\ \) oraz \( |f(x)-g|\ge\varepsilon, \) w szczególności biorąc \( \displaystyle\delta=\frac{1}{n}, \) dla powyższego \( \displaystyle\varepsilon>0, \) mamy
\( \forall n\in\mathbb{N}\ \exists x_n\in A:\ 0 < |x_0-x_n| < \frac{1}{n}\ \) oraz \( | |f(x_n)-g|\ge\varepsilon, \) Łatwo zauważyć, że dla skonstruowanego ciągu \( \displaystyle\{x_n\} \) mamy \( \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} x_n=x_0 \) oraz nie jest prawdą, że \( \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} f(x_n)=g, \) co jest sprzeczne z faktem, że \( g \) jest granicą funkcji \( f \) w punkcie \( x_0 \) w sensie definicji Heinego.