Kolejne definicje które będziemy wprowadzać, będą miały swoje wersje: Cauchy'ego i Heinego. W każdym przypadku będą one równoważne. Nie będziemy już jednak dowodzić tych równoważności (dowody są podobne do dowodu przedstawionego powyżej).
Zdefiniujemy teraz pojęcie ciągłości funkcji w punkcie.
Definicja 8.5. [Ciągłość funkcji w punkcie]
Niech \( A\subseteq \mathbb{R}, \) niech \( \displaystyle f\colon A\longrightarrow \mathbb{R} \) będzie funkcją oraz niech \( x_0\in A \) (\( x_0 \) nie musi być punktem skupienia zbioru \( A \)). Mówimy, że funkcja \( f \) jest ciągła w punkcie \( x_0\in \mathbb{R}, \) jeśli
\( \begin{align*} \textrm(Cauchy) & & \forall \varepsilon>0\ \ \exists \delta>0\ \ \forall x\in A:\ \ \bigg[|x-x_0| < \delta \ \Longrightarrow\ |f(x)-f(x_0)| < \varepsilon\bigg]. \\ \textrm(Heine) & & \forall \{x_n\}\subseteq A:\ \ \bigg[\lim\limits_{n \to +\infty} x_n=x_0 \ \Longrightarrow\ \lim\limits_{n \to +\infty} f(x_n)=f(x_0)\bigg]. \end{align*} \)
Mówimy, że funkcja \( f \) jest ciągła, jeśli jest ciągła w każdym punkcie swojej dziedziny.
Zauważmy, że można mówić o ciągłości funkcji tylko w punktach jej dziedziny. Z powyższej definicji wynika, że funkcja jest ciągła w punkcie, jeśli ma w tym punkcie granicę równą wartości.
Uwaga 8.6.
Funkcja jest zawsze ciągła w punkcie izolowanym dziedziny.
Kolejne twierdzenie mówi, że ciągłość zachowuje się przy składaniu funkcji. Twierdzenie to jest natychmiastową konsekwencją definicji Heinego ciągłości funkcji w punkcie.
Twierdzenie 8.7. [Ciągłość złożenia]
Jeśli \( A,B\subseteq\mathbb{R} \) oraz \( \displaystyle f\colon A\longrightarrow B \) i \( \displaystyle g\colon B\longrightarrow\mathbb{R} \) są funkcjami, to
(1) jeśli \( f \) jest ciągła w \( x_0\in A \) oraz \( g \) jest ciągła w \( y_0=f(x_0)\in B, \) to \( g\circ f \) jest ciągła w \( x_0 \);
(2) jeśli \( f \) i \( g \) są funkcjami ciągłymi, to \( g\circ f \) jest także funkcją ciągła.
Dla funkcji o wartościach rzeczywistych możemy wykonywać działania na funkcjach (dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, potęgowanie). Naturalnym jest zatem pytanie o zachowanie się granic funkcji w punkcie po wykonaniu tych działań na funkcjach. Dowód poniższego twierdzenia jest prostą konsekwencją definicji Heinego granicy funkcji w punkcie oraz twierdzenia o arytmetyce granic (patrz twierdzenie 4.9.). Dowód pomijamy.
Twierdzenie 8.8. [O "arytmetyce" granic funkcji]
Jeśli \( A\subseteq \mathbb{R},x_0\in \mathbb{R} \) jest punktem skupienia zbioru \( A, \)
\( f_1,f_2\colon A\longrightarrow\mathbb{R} \) są funkcjami, \( \displaystyle \lim_{x \to x_0}f_1(x)=g_1 \) oraz \( \displaystyle \lim_{x \to x_0}f_2(x)=g_2, \) to
(1) \( \displaystyle \lim_{x \to x_0}|f_1|(x)=|g_1| \);
(2) \( \displaystyle \lim_{x \to x_0}(f_1\pm f_2)(x)=g_1\pm g_2 \);
(3) \( \displaystyle \lim_{x \to x_0}(f_1f_2)(x)=g_1g_2 \);
(4) \( \displaystyle \lim_{x \to x_0}(\frac{f_1}{f_2})(x)=\frac{g_1}{g_2}, \) o ile \( g_2\ne 0 \) oraz dla \( x\in A \) mamy \( f_2(x)\ne 0 \);
(5) \( \displaystyle \lim_{x \to x_0}\big[f_1(x)\big]^{f_2(x)}=g_1^{g_2}, \) o ile wyrażenia po obu stronach mają sens.
Natychmiastową konsekwencją powyższego twierdzenia jest kolejne twierdzenie mówiące, że ciągłość funkcji zachowuje się przy operacjach: wartości bezwzględnej, sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu. Dowód pomijamy.
Twierdzenie 8.9.
Jeśli \( A\subseteq \mathbb{R},x_0\in A \) oraz \( f_1,f_2\colon A\longrightarrow\mathbb{R} \) są funkcjami ciągłymi w punkcie \( x_0, \) to
(1) \( |f_1| \) jest funkcją ciągłą w \( x_0 \);
(2) \( f_1\pm f_2 \) jest funkcją ciągłą w \( x_0 \);
(3) \( f_1\cdot f_2 \) jest funkcją ciągłą w \( x_0 \);
(4) \( \displaystyle\frac{f_1}{f_2} \) jest funkcją ciągłą w \( x_0 \) (o ile \( f_2(x_0)\ne 0 \));