Ciągłość funkcji

Kolejne definicje które będziemy wprowadzać, będą miały swoje wersje: Cauchy'ego i Heinego. W każdym przypadku będą one równoważne. Nie będziemy już jednak dowodzić tych równoważności (dowody są podobne do dowodu przedstawionego powyżej).

Zdefiniujemy teraz pojęcie ciągłości funkcji w punkcie.

Definicja 8.5. [Ciągłość funkcji w punkcie]

Niech $A\subseteq \mathbb{R},$ niech $\displaystyle f\colon A\longrightarrow \mathbb{R}$ będzie funkcją oraz niech $x_0\in A$ ($x_0$ nie musi być punktem skupienia zbioru $A$). Mówimy, że funkcja $f$ jest ciągła w punkcie $x_0\in \mathbb{R},$ jeśli

$\begin{align*} \textrm(Cauchy) & & \forall \varepsilon>0\ \ \exists \delta>0\ \ \forall x\in A:\ \ \bigg[|x-x_0| < \delta \ \Longrightarrow\ |f(x)-f(x_0)| < \varepsilon\bigg]. \\ \textrm(Heine) & & \forall \{x_n\}\subseteq A:\ \ \bigg[\lim\limits_{n \to +\infty} x_n=x_0 \ \Longrightarrow\ \lim\limits_{n \to +\infty} f(x_n)=f(x_0)\bigg]. \end{align*}$

Mówimy, że funkcja $f$ jest ciągła, jeśli jest ciągła w każdym punkcie swojej dziedziny.

wykresy

Zauważmy, że można mówić o ciągłości funkcji tylko w punktach jej dziedziny. Z powyższej definicji wynika, że funkcja jest ciągła w punkcie, jeśli ma w tym punkcie granicę równą wartości.

wykres

Uwaga 8.6.

Funkcja jest zawsze ciągła w punkcie izolowanym dziedziny.

Kolejne twierdzenie mówi, że ciągłość zachowuje się przy składaniu funkcji. Twierdzenie to jest natychmiastową konsekwencją definicji Heinego ciągłości funkcji w punkcie.

Twierdzenie 8.7. [Ciągłość złożenia]

Jeśli $A,B\subseteq\mathbb{R}$ oraz $\displaystyle f\colon A\longrightarrow B$ i $\displaystyle g\colon B\longrightarrow\mathbb{R}$ są funkcjami, to

(1) jeśli $f$ jest ciągła w $x_0\in A$ oraz $g$ jest ciągła w $y_0=f(x_0)\in B,$ to $g\circ f$ jest ciągła w $x_0$;

(2) jeśli $f$ i $g$ są funkcjami ciągłymi, to $g\circ f$ jest także funkcją ciągła.

Dla funkcji o wartościach rzeczywistych możemy wykonywać działania na funkcjach (dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, potęgowanie). Naturalnym jest zatem pytanie o zachowanie się granic funkcji w punkcie po wykonaniu tych działań na funkcjach. Dowód poniższego twierdzenia jest prostą konsekwencją definicji Heinego granicy funkcji w punkcie oraz twierdzenia o arytmetyce granic (patrz twierdzenie 4.9.). Dowód pomijamy.

Twierdzenie 8.8. [O "arytmetyce" granic funkcji]

Jeśli $A\subseteq \mathbb{R},x_0\in \mathbb{R}$ jest punktem skupienia zbioru $A,$
$f_1,f_2\colon A\longrightarrow\mathbb{R}$ są funkcjami, $\displaystyle \lim_{x \to x_0}f_1(x)=g_1$ oraz $\displaystyle \lim_{x \to x_0}f_2(x)=g_2,$ to

(1) $\displaystyle \lim_{x \to x_0}|f_1|(x)=|g_1|$;

(2) $\displaystyle \lim_{x \to x_0}(f_1\pm f_2)(x)=g_1\pm g_2$;

(3) $\displaystyle \lim_{x \to x_0}(f_1f_2)(x)=g_1g_2$;

(4) $\displaystyle \lim_{x \to x_0}(\frac{f_1}{f_2})(x)=\frac{g_1}{g_2},$ o ile $g_2\ne 0$ oraz dla $x\in A$ mamy $f_2(x)\ne 0$;

(5) $\displaystyle \lim_{x \to x_0}\big[f_1(x)\big]^{f_2(x)}=g_1^{g_2},$ o ile wyrażenia po obu stronach mają sens.

Natychmiastową konsekwencją powyższego twierdzenia jest kolejne twierdzenie mówiące, że ciągłość funkcji zachowuje się przy operacjach: wartości bezwzględnej, sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu. Dowód pomijamy.

Twierdzenie 8.9.

Jeśli $A\subseteq \mathbb{R},x_0\in A$ oraz $f_1,f_2\colon A\longrightarrow\mathbb{R}$ są funkcjami ciągłymi w punkcie $x_0,$ to

(1) $|f_1|$ jest funkcją ciągłą w $x_0$;

(2) $f_1\pm f_2$ jest funkcją ciągłą w $x_0$;

(3) $f_1\cdot f_2$ jest funkcją ciągłą w $x_0$;

(4) $\displaystyle\frac{f_1}{f_2}$ jest funkcją ciągłą w $x_0$ (o ile $f_2(x_0)\ne 0$);