Wykażemy teraz użyteczny lemat mówiący, że jeśli funkcja ciągła jest dodatnia w pewnym punkcie, to jest także dodatnia w pewnym otoczeniu tego punktu.
Lemat 8.28.
Jeśli \( A\subseteq \mathbb{R},x_0\in A \) oraz funkcja \( f\colon A\longrightarrow \mathbb{R} \) jest ciągła w punkcie \( x_0, \) to:
(1) jeśli \( f(x_0)>0, \) to
\( \exists \delta>0\ \forall x\in (x_0-\delta,x_0+\delta):\ f(x)>0 \) (2) jeśli \( f(x_0) < 0, \) to
\( \exists \delta>0\ \forall x\in (x_0-\delta,x_0+\delta):\ f(x) < 0. \)
Dowód 8.28.
(1) Załóżmy, że funkcja \( f \) jest ciągła w punkcie \( x_0\in A \) oraz \( f(x_0)>0. \) Niech \( \displaystyle\varepsilon:=\frac{f(x_0)}{2}. \) Korzystając z definicji Cauchy'ego granicy funkcji w punkcie mamy, że
\( \exists \delta>0:\ \forall x\in (x_0-\delta,x_0+\delta): \)
\( f(x)\in \bigg(f(x_0)-\frac{f(x_0)}{2},f(x_0)+\frac{f(x_0)}{2}\bigg) \ =\ \bigg(\frac{f(x_0)}{2},\frac{3f(x_0)}{2}\bigg). \)
Zatem \( f(x)>0 \) dla \( x\in (x_0-\delta,x_0+\delta). \)
(2) Dowód jest analogiczny.
Kolejne twierdzenie to tak zwana własność Darboux dla funkcji ciągłych. Mówi ono, że funkcja ciągła na przedziale \( \displaystyle [a,b] \) i taka, że \( f(a) < 0 \) i \( f(b)>0 \) posiada pierwiastek w przedziale \( \displaystyle (a,b). \) Na tej własności opiera się, stosowana w metodach numerycznych, metoda bisekcji poszukiwania miejsc zerowych funkcji.
Twierdzenie 8.29. [Darboux]
Jeśli \( a < b,\displaystyle f\colon [a,b]\longrightarrow\mathbb{R} \) jest funkcją ciągłą, \( f(a)\cdot f(b) < 0, \) to
\( \exists c\in(a,b):\ \ f(c)=0. \)
Dowód 8.29.
[Szkic] Z warunku \( f(a)\cdot f(b) < 0 \) wynika, że funkcja \( f \) przyjmuje na końcach wartości różnych znaków, tzn \( f(a) < 0 < f(b) \) lub \( f(b) < 0 < f(a). \) Niech na przykład \( f(a) < 0 < f(b). \) Niech \( c:=\sup\{x\in[a,b] | f(x) < 0\}. \) Zauważmy, że gdyby \( f(c) < 0 \) to istniałoby pewne \( \displaystyle\delta >0, \) takie, że dla wszystkich \( x\in (c-\delta, c+\delta) \) mielibyśmy \( f(x) < 0 \) (co wynika z lematu 8.28.). A zatem \( c \) nie byłoby supremum \( \displaystyle\{x\in[a,b] | f(x) < 0\}, \) bo do tego zbioru należałby punkt \( c+\frac{\delta}{2}>c. \) Analogicznie, gdyby \( f(c)>0 \) to także dla \( x \) w pewnym przedziale \( \displaystyle (c-\delta', c+\delta') \) mielibyśmy \( f(x)>0, \) a zatem \( c \) nie byłoby supremum \( \displaystyle\{x\in[a,b] | f(x) < 0\}, \) bo na przykład punkt \( c-\frac{\delta'}{2} < c \) byłby mniejszym od \( c \) ograniczeniem górnym tego zbioru. A zatem jedyna możliwość to \( f(c)=0. \)
Wniosek 8.30
Jeśli \( a < b,\displaystyle f\colon [a,b]\longrightarrow\mathbb{R} \) jest funkcją ciągłą, \( f(a) < f(b) \) (odpowiednio \( f(a)>f(b) \)), to
\( \forall w\in\big(f(a),f(b)\big)\ \ \exists c\in(a,b):\ \ f(c)=w \)
odpowiednio \( \forall w\in\big(f(b),f(a)\big)\ \ \exists c\in(a,b):\ \ f(c)=w). \)
Powyższe wyrażenia nazywamy własnością Darboux funkcji \( f. \)