Twierdzenie Darboux

Wykażemy teraz użyteczny lemat mówiący, że jeśli funkcja ciągła jest dodatnia w pewnym punkcie, to jest także dodatnia w pewnym otoczeniu tego punktu.

Lemat 8.28.

Jeśli $A\subseteq \mathbb{R},x_0\in A$ oraz funkcja $f\colon A\longrightarrow \mathbb{R}$ jest ciągła w punkcie $x_0,$ to:
(1) jeśli $f(x_0)>0,$ to

$\exists \delta>0\ \forall x\in (x_0-\delta,x_0+\delta):\ f(x)>0$ (2) jeśli $f(x_0) < 0,$ to

$\exists \delta>0\ \forall x\in (x_0-\delta,x_0+\delta):\ f(x) < 0.$

Dowód 8.28.

(1) Załóżmy, że funkcja $f$ jest ciągła w punkcie $x_0\in A$ oraz $f(x_0)>0.$ Niech $\displaystyle\varepsilon:=\frac{f(x_0)}{2}.$ Korzystając z definicji Cauchy'ego granicy funkcji w punkcie mamy, że

$\exists \delta>0:\ \forall x\in (x_0-\delta,x_0+\delta):$

$f(x)\in \bigg(f(x_0)-\frac{f(x_0)}{2},f(x_0)+\frac{f(x_0)}{2}\bigg) \ =\ \bigg(\frac{f(x_0)}{2},\frac{3f(x_0)}{2}\bigg).$

Zatem $f(x)>0$ dla $x\in (x_0-\delta,x_0+\delta).$

(2) Dowód jest analogiczny.

Kolejne twierdzenie to tak zwana własność Darboux dla funkcji ciągłych. Mówi ono, że funkcja ciągła na przedziale $\displaystyle [a,b]$ i taka, że $f(a) < 0$ i $f(b)>0$ posiada pierwiastek w przedziale $\displaystyle (a,b).$ Na tej własności opiera się, stosowana w metodach numerycznych, metoda bisekcji poszukiwania miejsc zerowych funkcji.

wykresy

Twierdzenie 8.29. [Darboux]

Jeśli $a < b,\displaystyle f\colon [a,b]\longrightarrow\mathbb{R}$ jest funkcją ciągłą, $f(a)\cdot f(b) < 0,$ to

$\exists c\in(a,b):\ \ f(c)=0.$

Dowód 8.29.

[Szkic] Z warunku $f(a)\cdot f(b) < 0$ wynika, że funkcja $f$ przyjmuje na końcach wartości różnych znaków, tzn $f(a) < 0 < f(b)$ lub $f(b) < 0 < f(a).$ Niech na przykład $f(a) < 0 < f(b).$ Niech $c:=\sup\{x\in[a,b] | f(x) < 0\}.$ Zauważmy, że gdyby $f(c) < 0$ to istniałoby pewne $\displaystyle\delta >0,$ takie, że dla wszystkich $x\in (c-\delta, c+\delta)$ mielibyśmy $f(x) < 0$ (co wynika z lematu 8.28.). A zatem $c$ nie byłoby supremum $\displaystyle\{x\in[a,b] | f(x) < 0\},$ bo do tego zbioru należałby punkt $c+\frac{\delta}{2}>c.$ Analogicznie, gdyby $f(c)>0$ to także dla $x$ w pewnym przedziale $\displaystyle (c-\delta', c+\delta')$ mielibyśmy $f(x)>0,$ a zatem $c$ nie byłoby supremum $\displaystyle\{x\in[a,b] | f(x) < 0\},$ bo na przykład punkt $c-\frac{\delta'}{2} < c$ byłby mniejszym od $c$ ograniczeniem górnym tego zbioru. A zatem jedyna możliwość to $f(c)=0.$

Wniosek 8.30

Jeśli $a < b,\displaystyle f\colon [a,b]\longrightarrow\mathbb{R}$ jest funkcją ciągłą, $f(a) < f(b)$ (odpowiednio $f(a)>f(b)$), to

$\forall w\in\big(f(a),f(b)\big)\ \ \exists c\in(a,b):\ \ f(c)=w$

odpowiednio $\forall w\in\big(f(b),f(a)\big)\ \ \exists c\in(a,b):\ \ f(c)=w).$

Powyższe wyrażenia nazywamy własnością Darboux funkcji $f.$