Twierdzenie Weierstrassa

rycina

Okazuje się, że jeśli weźmiemy obraz przez funkcję ciągłą zbioru zwartego, to otrzymamy także zbiór zwarty.

Twierdzenie 8.25.

Jeśli $A$ jest zbiorem zwartym w $\displaystyle\mathbb{R}$ oraz $\displaystyle f\colon A\longrightarrow \mathbb{R}$ jest funkcją ciągłą, to $f(A)$ jest zbiorem zwartym w $\displaystyle\mathbb{R}.$

Dowód 8.25.

Aby pokazać zwartość zbioru $f(A),$ weźmy dowolny ciąg $\displaystyle\{y_n\}\subseteq f(A).$ Ponieważ każde $y_n$ jest w obrazie zbioru $A,$ więc dla każdego $y_n$ istnieje $x_n\in A$ takie, że $f(x_n)=y_n.$ Ponieważ zbiór $A$ jest zwarty (z założenia), zatem dla ciągu $\displaystyle\{x_n\}\subseteq A$ istnieje podciąg $\displaystyle\big\{x_{n_k}\big\}$ zbieżny w $A,$ to znaczy

$\exists a\in A:\ \lim\limits_{k \to +\infty} x_{n_k} \ =\ a.$

Z ciągłości funkcji $f$ wynika, że

$\lim\limits_{k \to +\infty} y_{n_k} \ =\ \lim\limits_{k \to +\infty} f(x_{n_k}) \ =\ f(a),$

zatem pokazaliśmy, że ciąg $\displaystyle\{y_{n}\}$ posiada podciąg zbieżny w $f(A),$ co kończy dowód zwartości $f(A).$

wykres

Twierdzenie 8.26. [Weierstrassa]

Jeśli $A\subseteq\mathbb{R}$ jest zbiorem zwartym oraz $\displaystyle f\colon A\longrightarrow\mathbb{R}$ jest funkcją ciągłą, to funkcja $f$ osiąga swoje kresy, to znaczy $\exists x_1,x_2\in A\ \forall x\in A:\ f(x_1)\le f(x)\le f(x_2).$

Dowód 8.26.

Ponieważ funkcja $\displaystyle f\colon A\longrightarrow\mathbb{R}$ jest ciągła, a zbiór $A$ jest zwarty, więc z twierdzenie 8.25. wynika, że zbiór $f(A)$ jest zwarty, a zatem także ograniczony (patrz twierdzenie 8.23.), to znaczy

$\forall x\in A:\ -\infty < \inf f(A) \ \le\ f(x) \ \le\ \sup f(A) \ < \ +\infty.$

Należy pokazać, że

$\exists x_1,x_2\in A:\ f(x_1)=\inf f(A),\ f(x_2)=\sup f(A).$

Pokażemy istnienie $x_1$ o powyższej własności (dowód istnienia $x_2$ jest analogiczny).

Niech $m\ \stackrel{df}{=}\ \inf f(A)$ oraz dla dowodu niewprost, przypuśćmy, że $\displaystyle\inf f(A)$ nie jest realizowane, to znaczy

$\forall x\in A:\ f(x)>m.$

Zdefiniujmy nową funkcję $\displaystyle g\colon A\longrightarrow\mathbb{R}$ w następujący sposób:

$g(x) \ =\ \frac{1}{f(x)-m} \quad\textrm{dla}\ x\in A.$

Definicja $g$ jest poprawna (gdyż mianownik jest niezerowy) oraz funkcja $g$ jest ciągła (porównaj twierdzenie 8.8.). Korzystając ponownie z twierdzenie 8.25. wiemy, że zbiór $g(A)$ jest zwarty, a zatem także ograniczony, zatem jego supremum $M\ \stackrel{df}{=}\ \sup g(A)$ jest skończone, czyli

$0 \ < \ M \ < \ +\infty.$ Oczywiście $\forall x\in A: g(x)\le M.$

Dla dowolnego $x\in A,$ mamy

$f(x) \ =\ \frac{1}{g(x)}+m \ \ge\ \frac{1}{M}+m,$

w szczególności $m < \inf f(A),$ sprzeczność.
Wykazaliśmy zatem, że funkcja $f$ osiąga swój kres dolny, czyli

$\exists x_1\in A:\ f(x_1)=\inf f(A).$

Uwaga 8.27.

Założenie zwartości w twierdzeniu Weierstrassa jest niezbędne. Rozważmy funkcję $f\colon\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}$ daną wzorem $f(x)=\mathrm{arctg}\, x.$ Jest ona ciągła,

$\sup_{x\in\mathbb{R}}f(x)=\frac{\pi}{2},\quad \inf_{x\in\mathbb{R}}f(x)=-\frac{\pi}{2},$

ale dla żadnego punktu $x\in\mathbb{R}$ funkcja $f$ nie przyjmuje wartości $\displaystyle\frac{\pi}{2}$ i $\displaystyle -\frac{\pi}{2}.$

Założenia twierdzenia Weierstrassa nie są tutaj spełnione gdyż zbiór $\displaystyle\mathbb{R}$ nie jest zwarty.