Naturalnym uogólnieniem wielomianu (sumy skończonej ilości jednomianów) jest szereg potęgowy
∞∑n=0an(x−x0)n=a0+a1(x−x0)+a2(x−x0)2+a3(x−x0)3+⋯+an(x−xn)n+…
o środku w punkcie x0 i współczynnikach an. Własności szeregów potęgowych omówimy szerzej w ramach analizy matematycznej 2, pomijamy więc w tej chwili szczegółowe dowody. Aby uprościć wypowiedzi potrzebnych twierdzeń, zakładamy, że istnieje granica lim (tj. skończona lub równa \displaystyle \infty ).
Korzystając z kryterium Cauchy'ego zbieżności szeregów, można wykazać
Twierdzenie 9.11. [twierdzenie Cauchy'ego-Hadamarda]
Szereg potęgowy \displaystyle \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}a_n (x-x_0)^n jest zbieżny w przedziale otwartym \displaystyle (x_0 -R, x_0 +R) , gdzie \displaystyle \frac{1}{R}=\lim_{n\to \infty}\root{n}\of{|a_n|}.
Jeśli \displaystyle \lim_{n\to \infty}\root{n}\of{|a_n|}=0 , przyjmujemy \displaystyle R=\infty ;
jeśli zaś \displaystyle \lim_{n\to \infty}\root{n}\of{|a_n|}=\infty , przyjmujemy \displaystyle R=0 .
Liczbę \displaystyle R nazywamy promieniem zbieżności szeregu potęgowego.
Można wykazać następujące
Twierdzenie 9.12.
Funkcja \displaystyle \displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n (x-x_0)^n jest różniczkowalna w każdym punkcie przedziału otwartego \displaystyle (x_0-R, x_0+R) , gdzie \displaystyle R jest promieniem zbieżności szeregu potęgowego. Pochodną tej funkcji wyraża szereg potęgowy
\displaystyle \displaystyle f'(x)=\sum_{n=1}^{\infty}na_n (x-x_0)^{n-1}, \ \ |x-x_0 | < R.
Innymi słowy: szereg potęgowy można różniczkować wewnątrz przedziału, w którym jest zbieżny, a jego pochodną jest szereg pochodnych jego składników.
Zastosujmy twierdzenie o różniczkowaniu szeregu potęgowego do wyznaczenia pochodnej funkcji wykładniczej \displaystyle \exp x oraz funkcji sinus i cosinus, które definiuje się za pomocą szeregów potęgowych.
Wniosek 9.13.
Funkcje
\begin{array}{lllll} \begin{displaystyle} \displaystyle \displaystyle x\mapsto \exp x & = & \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!} & = & 1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}\displaystyle +\frac{x^5}{5!}+\dots \\ \displaystyle x\mapsto \sin x & = & \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^kx^{2k+1}}{(2k+1)!} & = & 0+x+0-\frac{x^3}{3!}+0+\frac{x^5}{5!}+\dots \\ \displaystyle x\mapsto \cos x & = & \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^kx^{2k}}{(2k)!} & = & 1+0-\frac{x^2}{2!}+0+\frac{x^4}{4!}+0-\dots \end{displaystyle}\end{array}
są różniczkowalne w każdym punkcie \displaystyle x\in \mathbb{R} , przy czym
\begin{array}{lll}\displaystyle (\exp x)' & = & \exp x, \\ (\sin x)' & = & \cos x, \\ (\cos x)' & = & - \sin x. \end{array}
Dowód 9.13.
Promień zbieżności każdego z powyższych szeregów definiujących odpowiednio funkcje \displaystyle \exp sinus i cosinus równy jest nieskończoności, ponieważ \displaystyle \lim_{n\to\infty}\root{n}\of{n!}=\infty . Aby przekonać się o tym, możemy na przykład zastosować oszacowanie
\displaystyle \big(\frac{n}{3}\big)^n\leq n! \leq \big(\frac{n}{2}\big)^n, \text{ dla } n\geq 6,
z którego mamy
\displaystyle \frac{n}{3}\leq \root{n}\of{n!}\leq \frac{n}{2}.
Na mocy twierdzenia o trzech ciągach istnieje więc granica \displaystyle \lim_{n\to\infty}\root{n}\of{n!}=\infty .
Stąd w całym przedziale \displaystyle (-\infty, \infty) możemy stosować twierdzenie o różniczkowaniu szeregu potęgowego i mamy
\displaystyle \begin{align*}(\exp x)' & =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{nx^{n-1}}{n!}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n-1}}{(n-1)!} \text{\ \ (podstawiamy }k:=n-1 \text{)} \\ & =\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^k}{k!}=\exp x.\end{align*}
W podobny sposób dowodzimy dwóch pozostałych równości: \displaystyle (\sin x)'=\cos x oraz \displaystyle (\cos x)'=-\sin x .
Oszacowanie
\displaystyle \big(\frac{n}{3}\big)^n\leq n! \leq \big(\frac{n}{2}\big)^n, \text{ dla } n\geq 6,
można wykazać indukcyjnie (szczegóły dowodu znajdują się np. w podręczniku Leona Jeśmianowicza i Jerzego Łosia Zbiór zadań z algebry, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, wyd.VII, Warszawa 1976). Uogólnieniem tego oszacowania jest
Twierdzenie 9.14. [twierdzenie Stirlinga]
Dla dowolnej liczby naturalnej \displaystyle n istnieje liczba \displaystyle \theta_n \in [0,1) (zależna od wyboru liczby \displaystyle n ) taka, że zachodzi równość
\displaystyle n!=\big(\frac{n}{e}\big)^n\sqrt{2\pi n}\exp\frac{\theta_n}{12 n}.
Równość tę nazywamy wzorem Stirlinga. Zwróćmy uwagę, że dla dużych \displaystyle n czynnik \displaystyle \exp\frac{\theta_n}{12 n}\approx 1 , stąd
\displaystyle n!\approx \big(\frac{n}{e}\big)^n\sqrt{2\pi n}.
W wielu praktycznych obliczeniach wystarczy posługiwać się nawet przybliżeniem
\displaystyle n!\approx \big(\frac{n}{e}\big)^n
lub (pamiętając, że \displaystyle 2 < e < 3 ) oszacowaniem
\displaystyle \big(\frac{n}{3}\big)^n\leq n! \leq \big(\frac{n}{2}\big)^n , dla \displaystyle n\geq 6,
które wykorzystaliśmy do wyznaczenia promienia zbieżności szeregu definiującego funkcję \displaystyle \exp .