Processing math: 100%

Porównanie pochodnych funkcji trygonometrycznych i hiperbolicznych

Porównanie pochodnych funkcji trygonometrycznych i hiperbolicznych


Wprost z definicji funkcji hiperbolicznych, które poznaliśmy w drugim module, korzystając z faktu, że pochodna (expx)=expx, wyprowadzamy

Wniosek 9.20.

Wzory na pochodne funkcji hiperbolicznych

\begin{array}{lll} \begin{displaystyle} \displaystyle (\sinh x)' & = & \displaystyle \frac{1}{2}(\exp x-\exp(-x))'=\frac{1}{2}(\exp x+\exp(-x))=\cosh x, \\  \displaystyle (\cosh x)' & = & \displaystyle \frac{1}{2}(\exp x+\exp(-x))'=\frac{1}{2}(\exp x-\exp(-x))=\sinh x, &  \\  \displaystyle (\textrm{tgh } x)' & = & \displaystyle \bigg(\frac{\sinh x}{\cosh x}\bigg)'=\frac{\cosh x\cosh x-\sinh x\sinh x}{\cosh^2x}=1-\tgh^2 x=\frac{1}{\cosh^2 x}, \\  \displaystyle (\textrm{ctgh } x)' & = & \displaystyle \bigg(\frac{\cosh x}{\sinh x}\bigg)'=\frac{\sinh x\sinh x-\cosh x\cosh x}{\sinh^2x}=1-\ctgh^2 x=\frac{-1}{\sinh^2x}. \end{displaystyle}\end{array}

Dowodząc dwóch ostatnich wzorów, skorzystaliśmy z twierdzenia o pochodnej iloczynu oraz z tożsamości cosh2xsinh2x=1, zwanej jedynką hiperboliczną.

Korzystając z twierdzenia o pochodnej funkcji odwrotnej i powyższych wzorów, możemy łatwo wykazać, że

(arsinhx)=11+x2    oraz    (artghx)=11x2. Szczegółowe obliczenia przeprowadzimy w ramach ćwiczeń.

Uwaga 9.21.

Otrzymane wzory warto zestawić i porównać ze wzorami określającymi pochodne funkcji trygonometrycznych i cyklometrycznych.

(sinhx)=coshx,    (sinx)=cosx,(coshx)=sinhx,    (cosx)=sinx,(tgh x)=1tgh 2x,    (tgx)=1+tg2x,(ctgh x)=1ctgh 2x,    (ctgx)=1ctg2x,(arsinhx)=11+x2,    (arcsinx)=11x2,(artghx)=11x2,    (arctgx)=11+x2.