Wprost z definicji funkcji hiperbolicznych, które poznaliśmy w drugim module, korzystając z faktu, że pochodna \( \displaystyle (\exp x)'=\exp x \), wyprowadzamy
Wniosek 9.20.
Wzory na pochodne funkcji hiperbolicznych
\( \begin{array}{lll} \begin{displaystyle} \displaystyle (\sinh x)' & = & \displaystyle \frac{1}{2}(\exp x-\exp(-x))'=\frac{1}{2}(\exp x+\exp(-x))=\cosh x, \\ \displaystyle (\cosh x)' & = & \displaystyle \frac{1}{2}(\exp x+\exp(-x))'=\frac{1}{2}(\exp x-\exp(-x))=\sinh x, & \\ \displaystyle (\textrm{tgh } x)' & = & \displaystyle \bigg(\frac{\sinh x}{\cosh x}\bigg)'=\frac{\cosh x\cosh x-\sinh x\sinh x}{\cosh^2x}=1-\tgh^2 x=\frac{1}{\cosh^2 x}, \\ \displaystyle (\textrm{ctgh } x)' & = & \displaystyle \bigg(\frac{\cosh x}{\sinh x}\bigg)'=\frac{\sinh x\sinh x-\cosh x\cosh x}{\sinh^2x}=1-\ctgh^2 x=\frac{-1}{\sinh^2x}. \end{displaystyle}\end{array} \)
Dowodząc dwóch ostatnich wzorów, skorzystaliśmy z twierdzenia o pochodnej iloczynu oraz z tożsamości \( \displaystyle \cosh^2 x-\sinh^2 x=1 \), zwanej jedynką hiperboliczną.
Korzystając z twierdzenia o pochodnej funkcji odwrotnej i powyższych wzorów, możemy łatwo wykazać, że
\( \displaystyle ({\rm arsinh\, } x)'=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}} \) oraz \( \displaystyle ({\rm artgh\, } x)'=\frac{1}{1-x^2}. \) Szczegółowe obliczenia przeprowadzimy w ramach ćwiczeń.
Uwaga 9.21.
Otrzymane wzory warto zestawić i porównać ze wzorami określającymi pochodne funkcji trygonometrycznych i cyklometrycznych.
\( \displaystyle \begin{align*} & (\sinh x)'=\cosh x, \ \ \ \ & & (\sin x)'=\cos x, \\ & (\cosh x)'=\sinh x, \ \ \ \ & & (\cos x)'=-\sin x, \\ & (\textrm{tgh } x)'=1-\textrm{tgh }^2 x, \ \ \ \ & & (\mathrm{tg}\, x)'=1+\mathrm{tg}\,^2 x, \\ & (\textrm{ctgh } x)'=1-\textrm{ctgh }^2 x, \ \ \ \ & & (\mathrm{ctg}\, x)'=-1-\mathrm{ctg}\,^2 x, \\ & ({\rm arsinh\, } x)'=\frac{1}{\sqrt{1+x^2 }}, \ \ \ \ & & (\arcsin x)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2 }}, \\ & ({\rm artgh\, } x)'=\frac{1}{1-x^2 }, \ \ \ \ & & (\mathrm{arctg}\, x)'=\frac{1}{1+x^2}. \end{align*} \)