Wprost z definicji funkcji hiperbolicznych, które poznaliśmy w drugim module, korzystając z faktu, że pochodna (expx)′=expx, wyprowadzamy
Wniosek 9.20.
Wzory na pochodne funkcji hiperbolicznych
\begin{array}{lll} \begin{displaystyle} \displaystyle (\sinh x)' & = & \displaystyle \frac{1}{2}(\exp x-\exp(-x))'=\frac{1}{2}(\exp x+\exp(-x))=\cosh x, \\ \displaystyle (\cosh x)' & = & \displaystyle \frac{1}{2}(\exp x+\exp(-x))'=\frac{1}{2}(\exp x-\exp(-x))=\sinh x, & \\ \displaystyle (\textrm{tgh } x)' & = & \displaystyle \bigg(\frac{\sinh x}{\cosh x}\bigg)'=\frac{\cosh x\cosh x-\sinh x\sinh x}{\cosh^2x}=1-\tgh^2 x=\frac{1}{\cosh^2 x}, \\ \displaystyle (\textrm{ctgh } x)' & = & \displaystyle \bigg(\frac{\cosh x}{\sinh x}\bigg)'=\frac{\sinh x\sinh x-\cosh x\cosh x}{\sinh^2x}=1-\ctgh^2 x=\frac{-1}{\sinh^2x}. \end{displaystyle}\end{array}
Dowodząc dwóch ostatnich wzorów, skorzystaliśmy z twierdzenia o pochodnej iloczynu oraz z tożsamości cosh2x−sinh2x=1, zwanej jedynką hiperboliczną.
Korzystając z twierdzenia o pochodnej funkcji odwrotnej i powyższych wzorów, możemy łatwo wykazać, że
(arsinhx)′=1√1+x2 oraz (artghx)′=11−x2. Szczegółowe obliczenia przeprowadzimy w ramach ćwiczeń.
Uwaga 9.21.
Otrzymane wzory warto zestawić i porównać ze wzorami określającymi pochodne funkcji trygonometrycznych i cyklometrycznych.
(sinhx)′=coshx, (sinx)′=cosx,(coshx)′=sinhx, (cosx)′=−sinx,(tgh x)′=1−tgh 2x, (tgx)′=1+tg2x,(ctgh x)′=1−ctgh 2x, (ctgx)′=−1−ctg2x,(arsinhx)′=1√1+x2, (arcsinx)′=1√1−x2,(artghx)′=11−x2, (arctgx)′=11+x2.