Niech \( \displaystyle X\subset \mathbb{R} \) będzie niepustym podzbiorem zbioru liczb rzeczywistych i niech \( \displaystyle f:X\mapsto \mathbb{R} \). Oznaczmy przez \( \displaystyle d(x,y):=|x-y| \) odległość punktów \( \displaystyle x, y\in X \).
Definicja 9.22.
Mówimy, że funkcja \( \displaystyle f: X\mapsto \mathbb{R} \) osiąga maksimum lokalne (odpowiednio: minimum lokalne) w punkcie \( \displaystyle x_0\in X \), jeśli istnieje pewne otoczenie punktu \( \displaystyle x_0 \), w którym wartości funkcji \( \displaystyle f \) są nie większe (odpowiednio: nie mniejsze) od wartości funkcji \( \displaystyle f \) w punkcie \( \displaystyle x_0 \), to znaczy
\( \displaystyle \exists \delta>0 : \forall x\in X : d(x, x_0) < \delta \Longrightarrow f(x)\leq f(x_0), \)
odpowiednio:
\( \displaystyle \exists \delta>0 : \forall x\in X : d(x, x_0) < \delta \Longrightarrow f(x)\geq f(x_0). \)
Jeśli ponadto w pewnym sąsiedztwie punktu \( \displaystyle x_0 \) funkcja przyjmuje wartości mniejsze (odpowiednio: większe) od wartości funkcji \( \displaystyle f(x_0) \) w punkcie \( \displaystyle x_0 \), co zapisujemy:
\( \displaystyle \exists \delta>0 : \forall x\in X : 0 < d(x, x_0) < \delta \Longrightarrow f(x) < f(x_0), \)
odpowiednio:
\( \displaystyle \exists \delta>0 : \forall x\in X :0 < d(x, x_0) < \delta \Longrightarrow f(x)> f(x_0), \)
to mówimy, że funkcja \( \displaystyle f \) osiąga silne (ścisłe) maksimum lokalne (odpowiednio: silne (ścisłe) minimum lokalne) w punkcie \( \displaystyle x_0 \). Jeśli \( \displaystyle f(x_0)=\sup f(X) \) (odpowiednio: \( \displaystyle f(x_0)=\inf f(X) \)) - to znaczy: jeśli w punkcie \( \displaystyle x_0 \) funkcja \( \displaystyle f \) osiąga kres górny wartości (odpowiednio: kres dolny wartości) w zbiorze \( \displaystyle X \), to mówimy, że funkcja \( \displaystyle f \) osiąga w punkcie \( \displaystyle x_0 \) maksimum globalne (odpowiednio: minimum globalne). Minima i maksima lokalne (odpowiednio: minima i maksima globalne) nazywamy też krótko ekstremami lokalnymi (odpowiednio: ekstremami globalnymi) funkcji.
Przykład 9.23.
Funkcja \( \displaystyle f(x)=x^2 \) zawężona do przedziału \( \displaystyle -1\leq x\leq 2 \) osiąga minimum lokalne w punkcie \( \displaystyle x=0 \) równe \( \displaystyle f(0)=0 \). Funkcja ta osiąga dwa maksima lokalne w punktach \( \displaystyle x=-1 \) oraz \( \displaystyle x=2 \) równe odpowiednio: \( \displaystyle f(-1)=1 \) oraz \( \displaystyle f(2)=4 \). Kresem górnym wartości funkcji \( \displaystyle f \) w przedziale \( \displaystyle [-1,2] \) jest liczba 4, stąd w punkcie \( \displaystyle x=2 \) funkcja \( \displaystyle f \) osiąga maksimum globalne. Kresem dolnym wartości funkcji \( \displaystyle f \) jest liczba zero, stąd w \( \displaystyle x=0 \) funkcja osiąga minimum globalne.
Z kolei \( \displaystyle f(x)=x^2 \) zawężona do przedziału lewostronnie otwartego \( \displaystyle -1 < x\leq 2 \) osiąga minimum globalne w punkcie \( \displaystyle x=0 \), a w punkcie \( \displaystyle x=2 \) osiąga maksimum globalne. Nie osiąga ekstremum w punkcie \( \displaystyle x=-1 \), gdyż nie jest określona w tym punkcie.
Zawężenie funkcji \( \displaystyle f(x)=x^2 \) do przedziału obustronnie otwartego \( \displaystyle -1 < x < 2 \) osiąga minimum globalne w punkcie \( \displaystyle x=0 \) i jest to jedyne ekstremum tej funkcji. W przedziale \( \displaystyle (-1,2) \) nie osiąga bowiem maksimum. Kres górny zbioru wartości funkcji \( \displaystyle f \) w przedziale \( \displaystyle (-1,2) \) wynosi \( \displaystyle 4 \), kres ten nie jest realizowany przez żadną wartość funkcji, to znaczy nie istnieje argument \( \displaystyle x\in (-1,2) \) taki, że \( \displaystyle f(x)=\sup\{f(t), -1 < t < 2\} \).
Wykażemy teraz twierdzenie stanowiące warunek konieczny istnienia ekstremum funkcji w punkcie, w którym jest ona różniczkowalna.
Niech \( \displaystyle f:\mathbb{R}\mapsto\mathbb{R} \) będzie funkcją określoną w pewnym otoczeniu punktu \( \displaystyle x_0\in \mathbb{R} \).
Twierdzenie 9.24.
Jeśli funkcja \( \displaystyle f:(a,b)\mapsto\mathbb{R} \) osiąga ekstremum w punkcie \( \displaystyle x_0\in (a,b) \) i jest różniczkowalna w punkcie \( \displaystyle x_0 \), to pochodna \( \displaystyle f'(x_0)=0 \).
Dowód 9.24.
Załóżmy, że w punkcie \( \displaystyle x_0 \) funkcja osiąga maksimum lokalne. Wobec tego istnieje liczba \( \displaystyle \delta >0 \) taka, że dla \( \displaystyle x\in (x_0-\delta, x_0) \) mamy
\( \displaystyle \frac{f(x_0)-f(x)}{x_0-x}\geq 0, \)
natomiast dla \( \displaystyle x\in (x_0, x_0+\delta) \) mamy
\( \displaystyle \frac{f(x_0)-f(x)}{x_0-x}\leq 0. \)
Wobec istnienia pochodnej \( \displaystyle f'(x_0) \), istnieją granice powyższych ilorazów różnicowych
\( \displaystyle \lim_{x\to x_0 -}\frac{f(x_0)-f(x)}{x_0-x}\geq 0 \) oraz \( \displaystyle \lim_{x\to x_0 +}\frac{f(x_0)-f(x)}{x_0-x}\leq 0 \)
i muszą być równe. Stąd \( \displaystyle f'(x_0)=0 \). W przypadku, gdy w punkcie \( \displaystyle x_0 \) funkcja osiąga minimum, rozumowanie przebiega podobnie.
Zwróćmy uwagę, że w twierdzeniu nie zakładaliśmy ciągłości funkcji \( \displaystyle f \) w otoczeniu punktu \( \displaystyle x_0 \). Pamiętamy, że z faktu istnienia pochodnej \( \displaystyle f'(x_0) \) wynika ciągłość funkcji \( \displaystyle f \) w punkcie \( \displaystyle x_0 \).
Twierdzenie 9.25. [twierdzenie Rolle'a]
Niech \( \displaystyle f:[a,b]\mapsto \mathbb{R} \) będzie funkcją ciągłą w przedziale domkniętym \( \displaystyle [a,b] \) i różniczkowalną wewnątrz tego przedziału. Jeśli na końcach przedziału funkcja \( \displaystyle f \) przyjmuje równe wartości \( \displaystyle f(a)=f(b) \), to istnieje punkt \( \displaystyle \xi\in(a,b) \), w którym zeruje się pochodna funkcji \( \displaystyle f'(\xi)=0 \).
Dowód 9.25.
Jeśli funkcja \( \displaystyle f \) jest stała, to w każdym punkcie \( \displaystyle \xi\in (a,b) \) mamy \( \displaystyle f'(\xi)=0 \). Jeśli natomiast \( \displaystyle f \) nie jest stała, to z twierdzenia Weierstrassa o osiąganiu kresów przez funkcję ciągłą na zbiorze zwartym wynika, że w pewnym punkcie \( \displaystyle \xi\in (a,b) \) funkcja \( \displaystyle f \) osiąga kres górny lub kres dolny. Na podstawie poprzedniego twierdzenia pochodna w tym punkcie zeruje się, tj. \( \displaystyle f'(\xi)=0 \).
Twierdzenie Rolle'a (zgodnie z interpretacją geometryczną pochodnej) orzeka, że jeśli funkcja różniczkowalna w przedziale \( \displaystyle (a,b) \) przyjmuje na końcach przedziału \( \displaystyle [a,b] \) (w którym jest ciągła) tę samą wartość, to między punktami \( \displaystyle a \) i \( \displaystyle b \) da się znaleźć punkt \( \displaystyle \xi \) taki, że styczna do wykresu funkcji \( \displaystyle f \) w punkcie \( \displaystyle (\xi, f(\xi)) \) jest pozioma, tj. równoległa do osi rzędnych.
Twierdzenie Rolle'a wymaga założenia o ciągłości funkcji w przedziale domkniętym \( \displaystyle [a,b] \) i różniczkowalności we wszystkich punktach przedziału \( \displaystyle (a,b) \).
Przykład 9.26.
Funkcja
\( \displaystyle f(x)=\left \{\begin{align*} & 0, & \text{ dla } & x=0 \\ & \mathrm{ctg}\,(x), & \text{ dla } & 0 < x < \frac{\pi}{2}, \end{align*}. \right. \)
jest określona na przedziale domkniętym \( \displaystyle [0, \frac{\pi}{2}] \) i jest różniczkowalna wewnątrz tego przedziału, gdyż
\( \displaystyle \forall x\in(0, \pi)\ \exists f'(x)=-1-\mathrm{ctg}\,^2 x \leq -1 < 0. \)
Stąd w żadnym punkcie przedziału \( \displaystyle (0, \frac{\pi}{2}) \) pochodna \( \displaystyle f' \) nie zeruje się, mimo że na końcach tego przedziału funkcja przyjmuje takie same wartości: \( \displaystyle f(0)=f(\frac{\pi}{2})=0 \). Twierdzenie Rolle'a nie zachodzi w tym przypadku, funkcja \( \displaystyle f \) nie jest bowiem ciągła w punkcie \( \displaystyle x=0 \).
Przykład 9.27.
Funkcja \( \displaystyle f(x)=|x| \) jest ciągła w przedziale \( \displaystyle [-1,1] \) i na jego końcach osiąga równe wartości. Jest także różniczkowalna we wnętrzu tego przedziału z wyjątkiem tylko jednego punktu \( \displaystyle x=0 \), w którym nie istnieje pochodna \( \displaystyle f' \). Twierdzenia Rolle'a również w tym przypadku nie stosuje się, gdyż - jak pamiętamy - dla \( \displaystyle x\neq 0 \) mamy
\( \displaystyle f'(x)=\mathrm{sgn}\,(x)=\left \{\begin{align*} 1 & , & \text{ dla } & x>0 \\ -1 & , & \text{ dla } & x < 0. \end{align*}, \right. \)
a więc nie ma w zbiorze \( \displaystyle (-1, 0)\cup (0, 1) \) takiego punktu, w którym zerowałaby się pochodna \( \displaystyle f' \).
W szczególności nie istnieje styczna do wykresu funkcji \( \displaystyle x\mapsto |x| \) w punkcie \( \displaystyle (0,0) \).
Dziedzina \( \displaystyle \mathrm{dom}\, f' \) pochodnej \( \displaystyle f' \) jest zawsze podzbiorem dziedziny \( \displaystyle \mathrm{dom}\, f \) funkcji \( \displaystyle f \). Z twierdzenia 9.24. wynika, że jeśli funkcja osiąga ekstremum w punkcie \( \displaystyle a\in \mathrm{dom}\, f' \), to \( \displaystyle f'(a)=0 \). Jednak funkcja \( \displaystyle f \) może osiągać również ekstrema w tych punktach, w których nie istnieje pochodna, tzn. w punktach zbioru \( \displaystyle \mathrm{dom}\, f\setminus \mathrm{dom}\, f' \).
Definicja 9.28.
Niech \( \displaystyle f:\mathbb{R} \mapsto \mathbb{R} \). Mówimy, że punkt \( \displaystyle a\in \mathrm{dom}\, f \) jest punktem krytycznym funkcji \( \displaystyle f \), jeśli funkcja \( \displaystyle f \) nie jest różniczkowalna w punkcie \( \displaystyle a \) albo jest w tym punkcie różniczkowalna i pochodna \( \displaystyle f'(a)=0 \). Zbiór punktów
\( \displaystyle \{a\in \mathrm{dom}\, f: a\notin \mathrm{dom}\, f'\}\cup \{a\in \mathrm{dom}\, f': f'(a)=0\} \)
nazywamy zbiorem punktów krytycznych funkcji \( \displaystyle f \).
Wiemy (zob. przykład 9.4.), że funkcja \( \displaystyle f \) może nie być różniczkowalna w kilku punktach, a nawet w żadnym punkcie swojej dziedziny, mimo że jest ciągła. Badając przebieg zmienności funkcji, nie możemy więc zawężać poszukiwania punktów ekstremalnych wyłącznie do tych punktów, w których funkcja jest różniczkowalna.
Uwaga 9.29.
Jeśli funkcja \( \displaystyle f \) osiąga ekstremum w pewnym punkcie, to punkt ten jest jej punktem krytycznym.
Dowód 9.29.
Funkcja \( \displaystyle f \) może osiągać ekstremum w punkcie, który należy do dziedziny pochodnej \( \displaystyle \mathrm{dom}\, f' \) albo do różnicy dziedziny funkcji i dziedziny jej pochodnej \( \displaystyle \mathrm{dom}\, f\setminus \mathrm{dom}\, f' \). W przypadku, gdy \( \displaystyle a\in\mathrm{dom}\, f' \), na mocy twierdzenia 9.24.> mamy
\( \displaystyle f'(a)=0 \), punkt \( \displaystyle a \) jest więc krytyczny. Z kolei, jeśli \( \displaystyle a\in\mathrm{dom}\, f\setminus \mathrm{dom}\, f' \), to punkt \( \displaystyle a \) jest krytyczny, z definicji 9.28.
Zauważmy, że powyższa uwaga doprecyzowywuje warunek konieczny istnienia ekstremum zawarty w twierdzeniu 9.24. w przypadku, gdy funkcja \( \displaystyle f \) nie jest różniczkowalna w punkcie, w którym osiąga ekstremum. Co więcej, funkcja \( \displaystyle f \) może osiągać ekstremum w punkcie, w którym nie jest nawet ciągła (zob. przykład poniżej). Punkt taki - na mocy uwagi uwagi 9.2.- należy do zbioru \( \displaystyle \mathrm{dom}\, f\setminus \mathrm{dom}\, f' \), jest więc krytyczny.
Przykład 9.30.
a) Funkcja \( \displaystyle f(x)=|x| \) określona jest w zbiorze \( \displaystyle \mathrm{dom}\, f= \mathbb{R} \), a różniczkowalna w \( \displaystyle \mathrm{dom}\, f'=\mathbb{R}\setminus \{0\} \). Jedynym punktem krytycznym \( \displaystyle f \) jest punkt \( \displaystyle 0\in \mathrm{dom}\, f\setminus \mathrm{dom}\, f' \), w którym \( \displaystyle f \) osiąga minimum.
b) Funkcja
\( \displaystyle \tilde{f}(x)=\{\begin{align*} 1, \text{ dla } x=0, \\ |x|, \text{ dla } x\neq 0\end{align*} . \)
różni się od poprzedniej funkcji jedynie wartością w zerze, nie jest w tym punkcie ciągła. Pochodna \( \displaystyle \tilde{f}'(x)=\mathrm{sgn}\, x \) nie zeruje się w żadnym punkcie swojej dziedziny \( \displaystyle \mathrm{dom}\, \tilde{f}'=(-\infty, 0)\cup (0, \infty) \). Jedynym punktem krytycznym funkcji \( \displaystyle \tilde{f} \) jest więc zero, w którym funkcja ta osiąga silne maksimum lokalne, gdyż dla \( \displaystyle 0 < |x| < 1 \) mamy \( \displaystyle \tilde{f}(x) < 1=\tilde{f}(0) \).
Przykład 9.31.
Funkcja \( \displaystyle f(x)=x \) zacieśniona do przedziału domkniętego \( \displaystyle [-1, \ 2] \) jest różniczkowalna w przedziale otwartym \( \displaystyle (-1,\ 2) \). W każdym punkcie \( \displaystyle -1 < x < 2 \) mamy \( \displaystyle f'(x)=1\neq 0 \). Stąd jedynymi punktami krytycznym są punkty \( \displaystyle \mathrm{dom}\, f\setminus \mathrm{dom}\, f'=\{-1, \ 2\} \), czyli końce przedziału domkniętego. W punkcie \( \displaystyle x=-1 \) funkcja \( \displaystyle f \) osiąga minimum \( \displaystyle f(-1)=-1 \), a w \( \displaystyle x=2 \) maksimum \( \displaystyle f(2)=2 \).
Przykład 9.32.
Funkcja \( \displaystyle f(x)=\sqrt{1-x^2} \) określona jest na przedziale domkniętym \( \displaystyle \mathrm{dom}\, f=[-1, \ 1] \), a jej pochodna \( \displaystyle f'(x) = \frac{-x}{\sqrt{1-x^2}} \) istnieje w punktach przedziału otwartego \( \displaystyle \mathrm{dom}\, f'=(-1,1) \). Pochodna zeruje się w punkcie \( \displaystyle x=0 \). Stąd zbiór punktów krytycznych funkcji \( \displaystyle f \) składa się z trzech punktów: \( \displaystyle \{-1, \ 0, \ 1\} \). Funkcja \( \displaystyle f \) osiąga w punkcie \( \displaystyle 0 \) maksimum \( \displaystyle f(0)=1 \), a w dwóch pozostałych punktach krytycznych osiąga minima \( \displaystyle f(-1)=f(1)=0 \). Zwróćmy uwagę, że w obu tych punktach pochodna nie istnieje. Co więcej, granice jednostronne pochodnej \( \displaystyle f' \):
\( \displaystyle \lim_{x\to -1+}f'(x)=\infty \ \ \text{ oraz } \ \ \lim_{x\to 1-}f'(x)=-\infty \)
są nieskończone.
Przykład 9.33.
Funkcja \( \displaystyle f(x)=\sqrt{x^2 -1} \) określona jest dla \( \displaystyle |x|\geq 1 \). Stąd \( \displaystyle \mathrm{dom}\, f=(-\infty, -1]\cup[1, \infty). \) Jej pochodna \( \displaystyle f'(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2-1}} \) określona jest w sumie przedziałów otwartych \( \displaystyle \mathrm{dom}\, f'=(-\infty, -1)\cup (1, \infty) \). Zwróćmy uwagę, że pochodna nie zeruje się w żadnym punkcie swojej dziedziny. Jednak zbiór punktów krytycznych funkcji \( \displaystyle f \) zawiera dwa punkty: \( \displaystyle -1 \) oraz \( \displaystyle 1 \), w których funkcja \( \displaystyle f \) osiąga minima
\( \displaystyle f(-1)=f(1)=0 \).
W punktach zbioru \( \displaystyle \mathrm{dom}\, f\setminus \mathrm{dom}\, f' \) funkcja nie musi osiągać ekstremum, co ilustrują kolejne przykłady.
Przykład 9.34.
Każdy punkt przedziału \( \displaystyle [0,1] \) jest punktem krytycznym funkcji Dirichleta
\( \displaystyle f(x)=\left \{\begin{align*} & 1, & \text{ dla } & x\in[0,1]\cap \mathbb{Q} \\ & 0, & \text{ dla } & x\in[0,1]\cap (\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q})\end{align*} . \right. \)
gdyż nie jest ona różniczkowalna (ani nawet ciągła) w żadnym punkcie tego przedziału. Jednak w żadnym punkcie przedziału \( \displaystyle [0,1] \) (ani w punkcie wymiernym, ani w niewymiernym) funkcja Dirichleta nie osiąga ekstremum, gdyż w dowolnie małym otoczeniu któregokolwiek punktu znajdziemy punkty wymierne i niewymierne, w których funkcja przyjmuje skrajnie różne wartości: albo jeden, albo zero.
Przykład 9.35.
Funkcja
\( \displaystyle f(x)= \left \{\begin{align*} & \sqrt{x}, & \text{dla } & x\geq 0 \\ - & \sqrt{-x}, & \text{ dla } & x < 0\end{align*}., \right. \)
określona jest dla wszystkich liczb rzeczywistych, stąd \( \displaystyle \mathrm{dom}\, f=(-\infty, \infty) \). Jej pochodna
\( \displaystyle f'(x)=\left\{\begin{align*} & \frac{1}{2\sqrt{x}}, & \text{ dla } & x> 0 \\ & \frac{1}{2\sqrt{-x}}, & \text{ dla } & x < 0\end{align*}\right\} =\frac{1}{2\sqrt{|x|}}, \text{ dla } x\neq 0 \)
nie zeruje się w żadnym punkcie swojej dziedziny \( \displaystyle \mathrm{dom}\, f'=(-\infty, 0)\cup (0, \infty) \). Funkcja \( \displaystyle f \) jest nieparzysta, ściśle rosnąca, nie osiąga więc ekstremum w żadnym punkcie swojej dziedziny, również w \( \displaystyle x=0 \), mimo że jest to punkt krytyczny tej funkcji.