Twierdzenie Rolle'a. Punkty krytyczne

Niech $\displaystyle X\subset \mathbb{R}$ będzie niepustym podzbiorem zbioru liczb rzeczywistych i niech $\displaystyle f:X\mapsto \mathbb{R}$. Oznaczmy przez $\displaystyle d(x,y):=|x-y|$ odległość punktów $\displaystyle x, y\in X$.

Definicja 9.22.

Mówimy, że funkcja $\displaystyle f: X\mapsto \mathbb{R}$ osiąga maksimum lokalne (odpowiednio: minimum lokalne) w punkcie $\displaystyle x_0\in X$, jeśli istnieje pewne otoczenie punktu $\displaystyle x_0$, w którym wartości funkcji $\displaystyle f$ są nie większe (odpowiednio: nie mniejsze) od wartości funkcji $\displaystyle f$ w punkcie $\displaystyle x_0$, to znaczy

$\displaystyle \exists \delta>0 : \forall x\in X : d(x, x_0) < \delta \Longrightarrow f(x)\leq f(x_0),$

odpowiednio:

$\displaystyle \exists \delta>0 : \forall x\in X : d(x, x_0) < \delta \Longrightarrow f(x)\geq f(x_0).$

Jeśli ponadto w pewnym sąsiedztwie punktu $\displaystyle x_0$ funkcja przyjmuje wartości mniejsze (odpowiednio: większe) od wartości funkcji $\displaystyle f(x_0)$ w punkcie $\displaystyle x_0$, co zapisujemy:

$\displaystyle \exists \delta>0 : \forall x\in X : 0 < d(x, x_0) < \delta \Longrightarrow f(x) < f(x_0),$

odpowiednio:

$\displaystyle \exists \delta>0 : \forall x\in X :0 < d(x, x_0) < \delta \Longrightarrow f(x)> f(x_0),$

to mówimy, że funkcja $\displaystyle f$ osiąga silne (ścisłe) maksimum lokalne (odpowiednio: silne (ścisłe) minimum lokalne) w punkcie $\displaystyle x_0$. Jeśli $\displaystyle f(x_0)=\sup f(X)$ (odpowiednio: $\displaystyle f(x_0)=\inf f(X)$) - to znaczy: jeśli w punkcie $\displaystyle x_0$ funkcja $\displaystyle f$ osiąga kres górny wartości (odpowiednio: kres dolny wartości) w zbiorze $\displaystyle X$, to mówimy, że funkcja $\displaystyle f$ osiąga w punkcie $\displaystyle x_0$ maksimum globalne (odpowiednio: minimum globalne). Minima i maksima lokalne (odpowiednio: minima i maksima globalne) nazywamy też krótko ekstremami lokalnymi (odpowiednio: ekstremami globalnymi) funkcji.

Przykład 9.23.

Funkcja $\displaystyle f(x)=x^2$ zawężona do przedziału $\displaystyle -1\leq x\leq 2$ osiąga minimum lokalne w punkcie $\displaystyle x=0$ równe $\displaystyle f(0)=0$. Funkcja ta osiąga dwa maksima lokalne w punktach $\displaystyle x=-1$ oraz $\displaystyle x=2$ równe odpowiednio: $\displaystyle f(-1)=1$ oraz $\displaystyle f(2)=4$. Kresem górnym wartości funkcji $\displaystyle f$ w przedziale $\displaystyle [-1,2]$ jest liczba 4, stąd w punkcie $\displaystyle x=2$ funkcja $\displaystyle f$ osiąga maksimum globalne. Kresem dolnym wartości funkcji $\displaystyle f$ jest liczba zero, stąd w $\displaystyle x=0$ funkcja osiąga minimum globalne.

Z kolei $\displaystyle f(x)=x^2$ zawężona do przedziału lewostronnie otwartego $\displaystyle -1 < x\leq 2$ osiąga minimum globalne w punkcie $\displaystyle x=0$, a w punkcie $\displaystyle x=2$ osiąga maksimum globalne. Nie osiąga ekstremum w punkcie $\displaystyle x=-1$, gdyż nie jest określona w tym punkcie.

Zawężenie funkcji $\displaystyle f(x)=x^2$ do przedziału obustronnie otwartego $\displaystyle -1 < x < 2$ osiąga minimum globalne w punkcie $\displaystyle x=0$ i jest to jedyne ekstremum tej funkcji. W przedziale $\displaystyle (-1,2)$ nie osiąga bowiem maksimum. Kres górny zbioru wartości funkcji $\displaystyle f$ w przedziale $\displaystyle (-1,2)$ wynosi $\displaystyle 4$, kres ten nie jest realizowany przez żadną wartość funkcji, to znaczy nie istnieje argument $\displaystyle x\in (-1,2)$ taki, że $\displaystyle f(x)=\sup\{f(t), -1 < t < 2\}$.

Wykażemy teraz twierdzenie stanowiące warunek konieczny istnienia ekstremum funkcji w punkcie, w którym jest ona różniczkowalna.

Niech $\displaystyle f:\mathbb{R}\mapsto\mathbb{R}$ będzie funkcją określoną w pewnym otoczeniu punktu $\displaystyle x_0\in \mathbb{R}$.

Twierdzenie 9.24.

Jeśli funkcja $\displaystyle f:(a,b)\mapsto\mathbb{R}$ osiąga ekstremum w punkcie $\displaystyle x_0\in (a,b)$ i jest różniczkowalna w punkcie $\displaystyle x_0$, to pochodna $\displaystyle f'(x_0)=0$.

Dowód 9.24.

Załóżmy, że w punkcie $\displaystyle x_0$ funkcja osiąga maksimum lokalne. Wobec tego istnieje liczba $\displaystyle \delta >0$ taka, że dla $\displaystyle x\in (x_0-\delta, x_0)$ mamy

$\displaystyle \frac{f(x_0)-f(x)}{x_0-x}\geq 0,$

natomiast dla $\displaystyle x\in (x_0, x_0+\delta)$ mamy

$\displaystyle \frac{f(x_0)-f(x)}{x_0-x}\leq 0.$

Wobec istnienia pochodnej $\displaystyle f'(x_0)$, istnieją granice powyższych ilorazów różnicowych
$\displaystyle \lim_{x\to x_0 -}\frac{f(x_0)-f(x)}{x_0-x}\geq 0$ oraz $\displaystyle \lim_{x\to x_0 +}\frac{f(x_0)-f(x)}{x_0-x}\leq 0$

i muszą być równe. Stąd $\displaystyle f'(x_0)=0$. W przypadku, gdy w punkcie $\displaystyle x_0$ funkcja osiąga minimum, rozumowanie przebiega podobnie.

Zwróćmy uwagę, że w twierdzeniu nie zakładaliśmy ciągłości funkcji $\displaystyle f$ w otoczeniu punktu $\displaystyle x_0$. Pamiętamy, że z faktu istnienia pochodnej $\displaystyle f'(x_0)$ wynika ciągłość funkcji $\displaystyle f$ w punkcie $\displaystyle x_0$.

Twierdzenie 9.25. [twierdzenie Rolle'a]

Niech $\displaystyle f:[a,b]\mapsto \mathbb{R}$ będzie funkcją ciągłą w przedziale domkniętym $\displaystyle [a,b]$ i różniczkowalną wewnątrz tego przedziału. Jeśli na końcach przedziału funkcja $\displaystyle f$ przyjmuje równe wartości $\displaystyle f(a)=f(b)$, to istnieje punkt $\displaystyle \xi\in(a,b)$, w którym zeruje się pochodna funkcji $\displaystyle f'(\xi)=0$.

Dowód 9.25.

Jeśli funkcja $\displaystyle f$ jest stała, to w każdym punkcie $\displaystyle \xi\in (a,b)$ mamy $\displaystyle f'(\xi)=0$. Jeśli natomiast $\displaystyle f$ nie jest stała, to z twierdzenia Weierstrassa o osiąganiu kresów przez funkcję ciągłą na zbiorze zwartym wynika, że w pewnym punkcie $\displaystyle \xi\in (a,b)$ funkcja $\displaystyle f$ osiąga kres górny lub kres dolny. Na podstawie poprzedniego twierdzenia pochodna w tym punkcie zeruje się, tj. $\displaystyle f'(\xi)=0$.

Twierdzenie Rolle'a (zgodnie z interpretacją geometryczną pochodnej) orzeka, że jeśli funkcja różniczkowalna w przedziale $\displaystyle (a,b)$ przyjmuje na końcach przedziału $\displaystyle [a,b]$ (w którym jest ciągła) tę samą wartość, to między punktami $\displaystyle a$ i $\displaystyle b$ da się znaleźć punkt $\displaystyle \xi$ taki, że styczna do wykresu funkcji $\displaystyle f$ w punkcie $\displaystyle (\xi, f(\xi))$ jest pozioma, tj. równoległa do osi rzędnych.

Twierdzenie Rolle'a wymaga założenia o ciągłości funkcji w przedziale domkniętym $\displaystyle [a,b]$ i różniczkowalności we wszystkich punktach przedziału $\displaystyle (a,b)$.

wykres

Przykład 9.26.

Funkcja

$\displaystyle f(x)=\left \{\begin{align*} & 0, & \text{ dla } & x=0 \\ & \mathrm{ctg}\,(x), & \text{ dla } & 0 < x < \frac{\pi}{2}, \end{align*}. \right.$

jest określona na przedziale domkniętym $\displaystyle [0, \frac{\pi}{2}]$ i jest różniczkowalna wewnątrz tego przedziału, gdyż

$\displaystyle \forall x\in(0, \pi)\ \exists f'(x)=-1-\mathrm{ctg}\,^2 x \leq -1 < 0.$

Stąd w żadnym punkcie przedziału $\displaystyle (0, \frac{\pi}{2})$ pochodna $\displaystyle f'$ nie zeruje się, mimo że na końcach tego przedziału funkcja przyjmuje takie same wartości: $\displaystyle f(0)=f(\frac{\pi}{2})=0$. Twierdzenie Rolle'a nie zachodzi w tym przypadku, funkcja $\displaystyle f$ nie jest bowiem ciągła w punkcie $\displaystyle x=0$.

Przykład 9.27.

Funkcja $\displaystyle f(x)=|x|$ jest ciągła w przedziale $\displaystyle [-1,1]$ i na jego końcach osiąga równe wartości. Jest także różniczkowalna we wnętrzu tego przedziału z wyjątkiem tylko jednego punktu $\displaystyle x=0$, w którym nie istnieje pochodna $\displaystyle f'$. Twierdzenia Rolle'a również w tym przypadku nie stosuje się, gdyż - jak pamiętamy - dla $\displaystyle x\neq 0$ mamy

$\displaystyle f'(x)=\mathrm{sgn}\,(x)=\left \{\begin{align*} 1 & , & \text{ dla } & x>0 \\ -1 & , & \text{ dla } & x < 0. \end{align*}, \right.$

a więc nie ma w zbiorze $\displaystyle (-1, 0)\cup (0, 1)$ takiego punktu, w którym zerowałaby się pochodna $\displaystyle f'$.

W szczególności nie istnieje styczna do wykresu funkcji $\displaystyle x\mapsto |x|$ w punkcie $\displaystyle (0,0)$.

Dziedzina $\displaystyle \mathrm{dom}\, f'$ pochodnej $\displaystyle f'$ jest zawsze podzbiorem dziedziny $\displaystyle \mathrm{dom}\, f$ funkcji $\displaystyle f$. Z twierdzenia 9.24. wynika, że jeśli funkcja osiąga ekstremum w punkcie $\displaystyle a\in \mathrm{dom}\, f'$, to $\displaystyle f'(a)=0$. Jednak funkcja $\displaystyle f$ może osiągać również ekstrema w tych punktach, w których nie istnieje pochodna, tzn. w punktach zbioru $\displaystyle \mathrm{dom}\, f\setminus \mathrm{dom}\, f'$.

Definicja 9.28.

Niech $\displaystyle f:\mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}$. Mówimy, że punkt $\displaystyle a\in \mathrm{dom}\, f$ jest punktem krytycznym funkcji $\displaystyle f$, jeśli funkcja $\displaystyle f$ nie jest różniczkowalna w punkcie $\displaystyle a$ albo jest w tym punkcie różniczkowalna i pochodna $\displaystyle f'(a)=0$. Zbiór punktów

$\displaystyle \{a\in \mathrm{dom}\, f: a\notin \mathrm{dom}\, f'\}\cup \{a\in \mathrm{dom}\, f': f'(a)=0\}$

nazywamy zbiorem punktów krytycznych funkcji $\displaystyle f$.

Wiemy (zob. przykład 9.4.), że funkcja $\displaystyle f$ może nie być różniczkowalna w kilku punktach, a nawet w żadnym punkcie swojej dziedziny, mimo że jest ciągła. Badając przebieg zmienności funkcji, nie możemy więc zawężać poszukiwania punktów ekstremalnych wyłącznie do tych punktów, w których funkcja jest różniczkowalna.

Uwaga 9.29.

Jeśli funkcja $\displaystyle f$ osiąga ekstremum w pewnym punkcie, to punkt ten jest jej punktem krytycznym.

Dowód 9.29.

Funkcja $\displaystyle f$ może osiągać ekstremum w punkcie, który należy do dziedziny pochodnej $\displaystyle \mathrm{dom}\, f'$ albo do różnicy dziedziny funkcji i dziedziny jej pochodnej $\displaystyle \mathrm{dom}\, f\setminus \mathrm{dom}\, f'$. W przypadku, gdy $\displaystyle a\in\mathrm{dom}\, f'$, na mocy twierdzenia 9.24.> mamy

$\displaystyle f'(a)=0$, punkt $\displaystyle a$ jest więc krytyczny. Z kolei, jeśli $\displaystyle a\in\mathrm{dom}\, f\setminus \mathrm{dom}\, f'$, to punkt $\displaystyle a$ jest krytyczny, z definicji 9.28.

Zauważmy, że powyższa uwaga doprecyzowywuje warunek konieczny istnienia ekstremum zawarty w twierdzeniu 9.24. w przypadku, gdy funkcja $\displaystyle f$ nie jest różniczkowalna w punkcie, w którym osiąga ekstremum. Co więcej, funkcja $\displaystyle f$ może osiągać ekstremum w punkcie, w którym nie jest nawet ciągła (zob. przykład poniżej). Punkt taki - na mocy uwagi uwagi 9.2.- należy do zbioru $\displaystyle \mathrm{dom}\, f\setminus \mathrm{dom}\, f'$, jest więc krytyczny.

wykresy

Przykład 9.30.

a) Funkcja $\displaystyle f(x)=|x|$ określona jest w zbiorze $\displaystyle \mathrm{dom}\, f= \mathbb{R}$, a różniczkowalna w $\displaystyle \mathrm{dom}\, f'=\mathbb{R}\setminus \{0\}$. Jedynym punktem krytycznym $\displaystyle f$ jest punkt $\displaystyle 0\in \mathrm{dom}\, f\setminus \mathrm{dom}\, f'$, w którym $\displaystyle f$ osiąga minimum.

b) Funkcja

$\displaystyle \tilde{f}(x)=\{\begin{align*} 1, \text{ dla } x=0, \\ |x|, \text{ dla } x\neq 0\end{align*} .$

różni się od poprzedniej funkcji jedynie wartością w zerze, nie jest w tym punkcie ciągła. Pochodna $\displaystyle \tilde{f}'(x)=\mathrm{sgn}\, x$ nie zeruje się w żadnym punkcie swojej dziedziny $\displaystyle \mathrm{dom}\, \tilde{f}'=(-\infty, 0)\cup (0, \infty)$. Jedynym punktem krytycznym funkcji $\displaystyle \tilde{f}$ jest więc zero, w którym funkcja ta osiąga silne maksimum lokalne, gdyż dla $\displaystyle 0 < |x| < 1$ mamy $\displaystyle \tilde{f}(x) < 1=\tilde{f}(0)$.

Przykład 9.31.

Funkcja $\displaystyle f(x)=x$ zacieśniona do przedziału domkniętego $\displaystyle [-1, \ 2]$ jest różniczkowalna w przedziale otwartym $\displaystyle (-1,\ 2)$. W każdym punkcie $\displaystyle -1 < x < 2$ mamy $\displaystyle f'(x)=1\neq 0$. Stąd jedynymi punktami krytycznym są punkty $\displaystyle \mathrm{dom}\, f\setminus \mathrm{dom}\, f'=\{-1, \ 2\}$, czyli końce przedziału domkniętego. W punkcie $\displaystyle x=-1$ funkcja $\displaystyle f$ osiąga minimum $\displaystyle f(-1)=-1$, a w $\displaystyle x=2$ maksimum $\displaystyle f(2)=2$.

Przykład 9.32.

Funkcja $\displaystyle f(x)=\sqrt{1-x^2}$ określona jest na przedziale domkniętym $\displaystyle \mathrm{dom}\, f=[-1, \ 1]$, a jej pochodna $\displaystyle f'(x) = \frac{-x}{\sqrt{1-x^2}}$ istnieje w punktach przedziału otwartego $\displaystyle \mathrm{dom}\, f'=(-1,1)$. Pochodna zeruje się w punkcie $\displaystyle x=0$. Stąd zbiór punktów krytycznych funkcji $\displaystyle f$ składa się z trzech punktów: $\displaystyle \{-1, \ 0, \ 1\}$. Funkcja $\displaystyle f$ osiąga w punkcie $\displaystyle 0$ maksimum $\displaystyle f(0)=1$, a w dwóch pozostałych punktach krytycznych osiąga minima $\displaystyle f(-1)=f(1)=0$. Zwróćmy uwagę, że w obu tych punktach pochodna nie istnieje. Co więcej, granice jednostronne pochodnej $\displaystyle f'$:

$\displaystyle \lim_{x\to -1+}f'(x)=\infty \ \ \text{ oraz } \ \ \lim_{x\to 1-}f'(x)=-\infty$

są nieskończone.

Przykład 9.33.

Funkcja $\displaystyle f(x)=\sqrt{x^2 -1}$ określona jest dla $\displaystyle |x|\geq 1$. Stąd $\displaystyle \mathrm{dom}\, f=(-\infty, -1]\cup[1, \infty).$ Jej pochodna $\displaystyle f'(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}$ określona jest w sumie przedziałów otwartych $\displaystyle \mathrm{dom}\, f'=(-\infty, -1)\cup (1, \infty)$. Zwróćmy uwagę, że pochodna nie zeruje się w żadnym punkcie swojej dziedziny. Jednak zbiór punktów krytycznych funkcji $\displaystyle f$ zawiera dwa punkty: $\displaystyle -1$ oraz $\displaystyle 1$, w których funkcja $\displaystyle f$ osiąga minima

$\displaystyle f(-1)=f(1)=0$.

W punktach zbioru $\displaystyle \mathrm{dom}\, f\setminus \mathrm{dom}\, f'$ funkcja nie musi osiągać ekstremum, co ilustrują kolejne przykłady.

Przykład 9.34.

Każdy punkt przedziału $\displaystyle [0,1]$ jest punktem krytycznym funkcji Dirichleta

$\displaystyle f(x)=\left \{\begin{align*} & 1, & \text{ dla } & x\in[0,1]\cap \mathbb{Q} \\ & 0, & \text{ dla } & x\in[0,1]\cap (\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q})\end{align*} . \right.$

gdyż nie jest ona różniczkowalna (ani nawet ciągła) w żadnym punkcie tego przedziału. Jednak w żadnym punkcie przedziału $\displaystyle [0,1]$ (ani w punkcie wymiernym, ani w niewymiernym) funkcja Dirichleta nie osiąga ekstremum, gdyż w dowolnie małym otoczeniu któregokolwiek punktu znajdziemy punkty wymierne i niewymierne, w których funkcja przyjmuje skrajnie różne wartości: albo jeden, albo zero.

Przykład 9.35.

Funkcja

$\displaystyle f(x)= \left \{\begin{align*} & \sqrt{x}, & \text{dla } & x\geq 0 \\ - & \sqrt{-x}, & \text{ dla } & x < 0\end{align*}., \right.$

określona jest dla wszystkich liczb rzeczywistych, stąd $\displaystyle \mathrm{dom}\, f=(-\infty, \infty)$. Jej pochodna

$\displaystyle f'(x)=\left\{\begin{align*} & \frac{1}{2\sqrt{x}}, & \text{ dla } & x> 0 \\ & \frac{1}{2\sqrt{-x}}, & \text{ dla } & x < 0\end{align*}\right\} =\frac{1}{2\sqrt{|x|}}, \text{ dla } x\neq 0$

nie zeruje się w żadnym punkcie swojej dziedziny $\displaystyle \mathrm{dom}\, f'=(-\infty, 0)\cup (0, \infty)$. Funkcja $\displaystyle f$ jest nieparzysta, ściśle rosnąca, nie osiąga więc ekstremum w żadnym punkcie swojej dziedziny, również w $\displaystyle x=0$, mimo że jest to punkt krytyczny tej funkcji.