Pochodna logarytmu

Funkcja $\displaystyle x\mapsto \ln x$ jest odwrotna do funkcji $\displaystyle x\mapsto\exp x$ . Stąd - na mocy twierdzenia o pochodnej funkcji odwrotnej - mamy

Uwaga 9.15. [wzór na pochodną logarytmu naturalnego]

$\displaystyle \frac{d}{dx}\ln x=\frac{1}{\frac{d}{dy}\exp y}=\frac{1}{\exp y}=\frac{1}{\exp(\ln x)}=\frac{1}{x}.$

Zauważmy też, że pochodna $\displaystyle \frac{d}{dx}\ln|x|=\frac{1}{x}$ , dla $\displaystyle x\neq 0$ . Oznaczmy symbolem $\displaystyle \mathrm{\,abs}\, (x)=|x|$ wartość bezwzględną liczby $\displaystyle x$ . Na mocy twierdzenia o pochodnej złożenia funkcji mamy równość

$\begin{array}{lll} \displaystyle \frac{d}{dx}(\ln|x|) & = & (\ln\circ\mathrm{\,abs}\,)'(x)=(\ln)'(\mathrm{\,abs}\,(x))\cdot (\mathrm{\,abs}\,)'(x) \\ \displaystyle & = & \displaystyle \frac{1}{|x|}\cdot\mathrm{sgn}\, x=\frac{x}{|x|^2}=\frac{1}{x}.\end{array}$

Ogólnie:

Uwaga 9.16.

Jeśli $\displaystyle f$ jest funkcją różniczkowalną w punkcie $\displaystyle x_0$ i $\displaystyle f(x_0)\neq 0$ , to istnieje pochodna złożenia $\displaystyle \ln |f|=\ln\circ\mathrm{\,abs}\,\circ f$ w punkcie $\displaystyle x_0$ i jest równa $\displaystyle \displaystyle (\ln|f|)'(x_0)=\frac{f'(x_0)}{f(x_0)}$ .

Przykład 9.17.

Mamy

$\displaystyle \frac{d}{dx}\ln|\sin x|=\frac{\cos x}{\sin x}=\mathrm{ctg}\, x,$

a także

$\displaystyle \frac{d}{dx}\ln|\cos x|=\frac{-\sin x}{\cos x}=-\mathrm{tg}\, x.$

Wniosek 9.18.

Pochodną funkcji $\displaystyle x\mapsto g(x)^{f(x)}=\exp\big(f(x)\ln g(x)\big)$ wyznaczymy, różniczkując złożenie iloczynu funkcji $\displaystyle x\mapsto f(x)\ln g(x)$ z funkcją wykładniczą $\displaystyle \exp$ .

Przykład 9.19.

a) Wyznaczmy pochodną funkcji wykładniczej o podstawie $\displaystyle a>0$ . Mamy $\displaystyle a^x=\exp (x \ln a)$ , więc

$\displaystyle \frac{d}{dx}a^x=\frac{d}{dx}\big(\exp (x \ln a)\big)= \exp (x \ln a)\cdot \frac{d}{dx} \big(x \ln a\big)=a^x \ln a,$ czyli $\displaystyle (a^x)'=a^x \ln a$ .

b) Wiemy już, że $\displaystyle \frac{d}{dx}x^n=nx^{n-1}$ , gdy $\displaystyle n$ jest liczbą naturalną. Korzystając z równości $\displaystyle x^a=\exp(a \ln x),x>0$ jesteśmy także w stanie wykazać, że $\displaystyle (x^a)'=ax^{a-1}$ , gdy $\displaystyle a$ jest dowolną liczbą rzeczywistą. Mamy bowiem

$\displaystyle \frac{d}{dx}x^a=\frac{d}{dx}\big(\exp(a \ln x)\big)=\exp(a \ln x)\cdot \frac{d}{dx}(a \ln x)=x^a \cdot \frac{a}{x}=ax^{a-1}.$