Twierdzenie o wartości średniej

Wnioskiem z twierdzenia Rolle'a jest następujące

Twierdzenie 9.36. [twierdzenie Cauchy'ego]

Niech $\displaystyle f,g: [a,b]\mapsto \mathbb{R}$ będą funkcjami ciągłymi w przedziale domkniętym $\displaystyle [a,b]$ i różniczkowalnymi w przedziale otwartym $\displaystyle (a,b)$. Wówczas istnieje punkt $\displaystyle \xi\in (a,b)$ taki, że

$\displaystyle \big(f(b)-f(a)\big)g'(\xi)=\big(g(b)-g(a)\big)f'(\xi).$

Zwróćmy uwagę, że powyższą równość można zapisać w bardziej przejrzystej postaci (i łatwiejszej do zapamiętania):

$\displaystyle \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)},$

o ile $\displaystyle g(a)\neq g(b)$ oraz $\displaystyle g'(\xi)\neq 0$. Twierdzenie Cauchy'ego głosi w tym przypadku, że istnieje wewnątrz przedziału $\displaystyle (a,b)$ punkt $\displaystyle \xi$ taki, że stosunek przyrostów wartości funkcji $\displaystyle f$ i $\displaystyle g$ między punktami $\displaystyle a$ i $\displaystyle b$ jest równy stosunkowi pochodnych tych funkcji w punkcie $\displaystyle \xi$.

Dowód 9.36.

Rozważmy pomocniczo funkcję $\displaystyle h(t):=\big(f(b)-f(a)\big)g(t)-\big(g(b)-g(a)\big)f(t)$ określoną dla $\displaystyle t\in [a,b]$. Funkcja $\displaystyle h$ jest ciągła w przedziale domkniętym $\displaystyle [a,b]$, różniczkowalna w przedziale otwartym $\displaystyle (a,b)$ o pochodnej równej

$\displaystyle \frac{d}{dt}h(t)=\big(f(b)-f(a)\big)\frac{d}{dt}g(t)-\big(g(b)-g(a)\big)\frac{d}{dt}f(t).$

Ponadto $\displaystyle h(a)=h(b)$. Na mocy twierdzenia Rolle'a istnieje więc taki punkt $\displaystyle \xi\in (a,b)$, w którym zeruje się pochodna $\displaystyle h'(\xi)=0$, skąd wynika teza twierdzenia.

Jako wniosek z twierdzenia Cauchy'ego otrzymujemy

Twierdzenie 9.37. [twierdzenie Lagrange'a]

Jeśli funkcja $\displaystyle f:[a,b]\mapsto \mathbb{R}$ jest ciągła w przedziale domkniętym $\displaystyle [a,b]$ i różniczkowalna w każdy punkcie przedziału otwartego $\displaystyle (a,b)$, to istnieje punkt $\displaystyle \xi\in (a,b)$ taki, że

$\displaystyle \frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(\xi).$

Dowód 9.37.

Wystarczy w twierdzeniu Cauchy'ego podstawić $\displaystyle g(t)=t.$ Wówczas $\displaystyle g(b)=b$, $\displaystyle g(a)=a$ oraz $\displaystyle g'(t)=1$.

wykres

Twierdzenie Lagrange'a nazywane jest też twierdzeniem o przyrostach (skończonych) lub twierdzeniem o wartości średniej, gdyż tezę twierdzenia można zapisać też następująco:

$\displaystyle f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a), \text{ dla pewnego } \xi\in (a,b).$

Innymi słowy: przyrost wartości funkcji $\displaystyle f(b)-f(a)$ odpowiadający przyrostowi argumentu funkcji od $\displaystyle a$ do $\displaystyle b$ równy jest iloczynowi przyrostu argumentu $\displaystyle b-a$ i wartości pochodnej funkcji $\displaystyle f$ w pewnym punkcie pośrednim $\displaystyle \xi$ leżącym między punktami $\displaystyle a$ i $\displaystyle b$.

Pamiętamy, że interpretacją geometryczną ilorazu różnicowego $\displaystyle \displaystyle \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ jest współczynnik kierunkowy siecznej wykresu funkcji $\displaystyle f$ przechodzącej przez punkty $\displaystyle (a, f(a))$ i $\displaystyle (b, f(b))$. Twierdzenie Lagrange'a orzeka więc, że między punktami $\displaystyle a$ i $\displaystyle b$ da się znaleźć taki punkt $\displaystyle \xi$, że styczna do wykresu funkcji $\displaystyle f$ w punkcie $\displaystyle (\xi, f(\xi))$ jest równoległa do siecznej przechodzącej przez punkty $\displaystyle (a, f(a))$ i $\displaystyle (b, f(b))$.

Wnioskiem z twierdzenia Lagrange'a o wartości średniej jest twierdzenie, które wiąże monotoniczność funkcji ze znakiem pierwszej pochodnej.

Twierdzenie 9.38.

Niech $\displaystyle f$ będzie funkcją różniczkowalną w przedziale $\displaystyle (a,b)$.
a) Jeśli $\displaystyle f'(x)\geq 0$ dla wszystkich $\displaystyle x\in (a,b)$, to $\displaystyle f$ jest rosnąca w przedziale $\displaystyle (a,b)$.

a') Jeśli $\displaystyle f'(x)> 0$ dla wszystkich $\displaystyle x\in (a,b)$, to $\displaystyle f$ jest ściśle rosnąca w przedziale $\displaystyle (a,b)$.

b) Jeśli $\displaystyle f'(x)=0$ dla wszystkich $\displaystyle x\in (a,b)$, to $\displaystyle f$ jest stała w przedziale $\displaystyle (a,b)$.

c) Jeśli $\displaystyle f'(x)\leq 0$ dla wszystkich $\displaystyle x\in (a,b)$, to $\displaystyle f$ jest malejąca w przedziale $\displaystyle (a,b)$.

c') Jeśli $\displaystyle f'(x) < 0$ dla wszystkich $\displaystyle x\in (a,b)$, to $\displaystyle f$ jest ściśle malejąca w przedziale $\displaystyle (a,b)$.

Dowód 9.38.

Dla dowolnych punktów $\displaystyle x_1 < x_2$ z przedziału $\displaystyle (a,b)$ zgodnie z twierdzeniem Lagrange'a potrafimy wskazać punkt $\displaystyle \xi\in (x_1, x_2)$ taki, że $\displaystyle f(x_2)-f(x_1)=f'(\xi)(x_2-x_1)$. Z równości tej wynikają powyższe implikacje.

Wnioskiem z tego twierdzenia jest warunek wystarczający istnienia ekstremum w przypadku, gdy funkcja jest różniczkowalna.

Wniosek 9.39.

Niech $\displaystyle f$ będzie funkcją różniczkowalną w przedziale $\displaystyle (a,b)$. Jeśli w punkcie $\displaystyle x_0\in(a,b)$ pochodna funkcji $\displaystyle f$ zeruje się (tj. $\displaystyle f'(x_0)=0$) oraz zmienia znak, to znaczy

a) jest dodatnia w przedziale $\displaystyle (a,x_0)$ i ujemna w $\displaystyle (x_0,b)$,

b) jest ujemna w przedziale $\displaystyle (a,x_0)$ i dodatnia w $\displaystyle (x_0,b)$,

to funkcja $\displaystyle f$ osiąga w punkcie $\displaystyle x_0$ ekstremum, odpowiednio:

a) minimum lokalne, b) maksimum lokalne.

Dowód 9.39.

a) Na mocy poprzedniego twierdzenia funkcja $\displaystyle f$ jest ściśle rosnąca w przedziale $\displaystyle (a, x_0)$ i ściśle malejąca w przedziale $\displaystyle (x_0, b)$, osiąga więc maksimum lokalne w punkcie $\displaystyle x_0$. Dowód w przypadku b) jest podobny.

Zwróćmy uwagę, że nie potrzeba zakładać zerowania się pierwszej pochodnej funkcji w punkcie $\displaystyle x_0$. Prawdziwy jest więc także

Wniosek 9.40.

Jeśli funkcja $\displaystyle f$ ciągła w przedziale $\displaystyle (a,b)$ jest różniczkowalna w przedziałach $\displaystyle (a, x_0)$ oraz $\displaystyle (x_0, b)$, przy czym pochodna $\displaystyle f'$ jest

a) dodatnia w przedziale $\displaystyle (a, x_0)$ i ujemna w $\displaystyle (x_0, b)$,

b) ujemna w przedziale $\displaystyle (a, x_0)$ i dodania w $\displaystyle (x_0, b)$,

to funkcja $\displaystyle f$ osiąga w punkcie $\displaystyle x_0$ ekstremum, odpowiednio:

a) minimum lokalne,

b) maksimum lokalne.

Przykład funkcji $\displaystyle f(x)=|x|$, która osiąga minimum w punkcie $\displaystyle x_0=0$, a ma pochodną ujemną dla $\displaystyle x < 0$, a dodatnią dla $\displaystyle x>0$ i wcale nie ma pochodnej w punkcie $\displaystyle x_0=0$, stanowi ilustrację ostatniego wniosku.

Przykład 9.41.

Pochodna funkcji $\displaystyle f(x)=2x^3+3x^2 -12 x+7$ wynosi

$\displaystyle f'(x)=6x^2+6x-12=6(x^2+x-2)=6(x+2)(x-1).$

Stąd $\displaystyle f'(x) < 0$ w przedziale $\displaystyle (-2,1)$, a w obu przedziałach $\displaystyle (-\infty, -2)$ oraz $\displaystyle (1, +\infty)$ pochodna jest dodatnia. Na mocy wykazanego twierdzenia, funkcja $\displaystyle f$ jest ściśle rosnąca w przedziale $\displaystyle (-\infty, -2)$, następnie maleje w przedziale $\displaystyle (-2, 1)$ i znowu rośnie w przedziale $\displaystyle (1, \infty)$. Wobec tego w punkcie $\displaystyle x=-2$ osiąga maksimum lokalne równe $\displaystyle f(-2)=27$, a w punkcie $\displaystyle x=1$ minimum lokalne równe $\displaystyle f(1)=0$.

wykres

Uwaga 9.42.

Założenie, że pochodna $\displaystyle f'(x)\geq 0$ (odpowiednio $\displaystyle f'(x)>0$, $\displaystyle f'(x)=0$ itd) w każdym punkcie przedziału $\displaystyle (a,b)$ jest istotne.

a) Rozważmy funkcję: $\displaystyle f(x)=[x],$ gdzie $\displaystyle [x]$ oznacza część całkowitą liczby rzeczywistej $\displaystyle x$, czyli największą liczbę całkowitą nie większą od $\displaystyle x$. Wówczas $\displaystyle f$ jest różniczkowalna w zbiorze $\displaystyle \mathbb{R}\setminus\mathbb{Z}$ (czyli wszędzie poza zbiorem liczb całkowitych) i w zbiorze tym pochodna $\displaystyle f'(x)=0$, mimo że funkcja $\displaystyle f$ jest rosnąca.

b) Funkcja $\displaystyle g(x)=x-[x]$ jest różniczkowalna w zbiorze $\displaystyle \mathbb{R}\setminus\mathbb{Z}$ i w każdym punkcie tego zbioru jej pochodna $\displaystyle g'(x)=1$. Jednak funkcja ta nie jest ściśle rosnąca w zbiorze $\displaystyle \mathbb{R}\setminus \mathbb{Z}$. Jest natomiast ściśle rosnąca w każdym z przedziałów postaci $\displaystyle (n, n+1)$, gdzie $\displaystyle n\in\mathbb{Z}$.

Podane funkcje są ciągłe poza zbiorem liczb całkowitych. Można jednak skonstruować przykład funkcji ciągłej, rosnącej o zerowej pochodnej w prawie każdym punkcie, to znaczy w każdym punkcie przedziału $\displaystyle (0,1)$ poza punktami trójkowego zbioru Cantora

$\displaystyle C:=\left\{\sum_{k=1}^\infty \frac{a_k}{3^k}, \ \ a_k\in\{0,2\}\right\}.$

Przypomnijmy, że zbiór ten rozważaliśmy w ramach pierwszego modułu.

wykres

Przykład 9.43.

Niech $\displaystyle \displaystyle x=(0,a_1 a_2 a_3 a_4 \dots)_{(3)}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n}{3^n}$ będzie dowolną liczbą z przedziału $\displaystyle [0,1]$ zapisaną w systemie trójkowym za pomocą ciągu cyfr $\displaystyle a_n=a_n(x)\in\{0,1,2\}$. Niech $\displaystyle N=N(x)$ będzie najmniejszą liczbą naturalną, dla której $\displaystyle a_n=1$. Innymi słowy: niech $\displaystyle N=N(x)$ będzie pozycją pierwszej jedynki w zapisie trójkowym liczby $\displaystyle x$, licząc od przecinka pozycyjnego w prawo. Jeśli nie ma takiej liczby, przyjmujemy $\displaystyle N(x)=\infty$. Określmy ciąg

$\displaystyle b_n=\left\{\begin{align*} \frac{1}{2}a_n, \text{ dla } n < N(x) \\ 1, \text{ dla } n=N(x) \\ 0, \text{ dla } n>N(x)\end{align*} \right.$

za pomocą którego definiujemy funkcję Cantora (zwaną także diabelskimi schodami) wzorem

$\displaystyle \displaystyle f(x)=\sum_{k=1}^{N(x)} \frac{b_k}{2^k}.$

Łatwo sprawdzić, że $\displaystyle f(0)=0$, $\displaystyle f(1)=1$, a na odcinkach, które usuwamy kolejno z przedziału $\displaystyle [0,1]$ podczas kolejnych etapów konstrukcji trójkowego zbioru Cantora, funkcja ta jest stała:

$\displaystyle f(x)=\frac{1}{2} \text{ dla } x\in\big(\frac{1}{3},\displaystyle\frac{2}{3}\big),$

$\displaystyle f(x)=\frac{1}{4} \text{ dla } x\in\big(\frac{1}{9},\frac{2}{9}\big) \text{ oraz } f(x)=\frac{3}{4}\text{ dla } x\in\big(\frac{7}{9}, \frac{8}{9}\big),$

$\displaystyle f(x)=\frac{1}{8} \text{ dla } x\in \big(\frac{1}{27},\frac{2}{27}\big), \ f(x)=\frac{3}{8} \text{ dla } x\in\big(\frac{7}{27}, \frac{8}{27}\big),$

$\displaystyle f(x)=\frac{5}{8} \text{ dla } x\in \big(\frac{19}{27},\frac{20}{27}\big), f(x)=\frac{7}{8} \text{ dla } x\in\big(\frac{25}{27},\frac{26}{27}\big),$

i tak dalej. Można wykazać, że funkcja ta jest ciągła w każdym punkcie przedziału $\displaystyle [0,1]$. Zauważmy, że funkcja Cantora jest różniczkowalna w każdym punkcie zbioru $\displaystyle [0,1]\setminus C$ (tj. w każdym punkcie przedziału $\displaystyle (0,1)$ poza punktami trójkowego zbioru Cantora $\displaystyle C$). Pochodna funkcji Cantora jest w tych punktach równa zeru, a mimo to (co nietrudno zauważyć) funkcja

Cantora jest rosnąca (niemalejąca) w przedziale $\displaystyle [0,1]$.