Wnioskiem z twierdzenia Rolle'a jest następujące
Twierdzenie 9.36. [twierdzenie Cauchy'ego]
Niech \( \displaystyle f,g: [a,b]\mapsto \mathbb{R} \) będą funkcjami ciągłymi w przedziale domkniętym \( \displaystyle [a,b] \) i różniczkowalnymi w przedziale otwartym \( \displaystyle (a,b) \). Wówczas istnieje punkt \( \displaystyle \xi\in (a,b) \) taki, że
\( \displaystyle \big(f(b)-f(a)\big)g'(\xi)=\big(g(b)-g(a)\big)f'(\xi). \)
Zwróćmy uwagę, że powyższą równość można zapisać w bardziej przejrzystej postaci (i łatwiejszej do zapamiętania):
\( \displaystyle \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}, \)
o ile \( \displaystyle g(a)\neq g(b) \) oraz \( \displaystyle g'(\xi)\neq 0 \). Twierdzenie Cauchy'ego głosi w tym przypadku, że istnieje wewnątrz przedziału \( \displaystyle (a,b) \) punkt \( \displaystyle \xi \) taki, że stosunek przyrostów wartości funkcji \( \displaystyle f \) i \( \displaystyle g \) między punktami \( \displaystyle a \) i \( \displaystyle b \) jest równy stosunkowi pochodnych tych funkcji w punkcie \( \displaystyle \xi \).
Dowód 9.36.
Rozważmy pomocniczo funkcję \( \displaystyle h(t):=\big(f(b)-f(a)\big)g(t)-\big(g(b)-g(a)\big)f(t) \) określoną dla \( \displaystyle t\in [a,b] \). Funkcja \( \displaystyle h \) jest ciągła w przedziale domkniętym \( \displaystyle [a,b] \), różniczkowalna w przedziale otwartym \( \displaystyle (a,b) \) o pochodnej równej
\( \displaystyle \frac{d}{dt}h(t)=\big(f(b)-f(a)\big)\frac{d}{dt}g(t)-\big(g(b)-g(a)\big)\frac{d}{dt}f(t). \)
Ponadto \( \displaystyle h(a)=h(b) \). Na mocy twierdzenia Rolle'a istnieje więc taki punkt \( \displaystyle \xi\in (a,b) \), w którym zeruje się pochodna \( \displaystyle h'(\xi)=0 \), skąd wynika teza twierdzenia.
Jako wniosek z twierdzenia Cauchy'ego otrzymujemy
Twierdzenie 9.37. [twierdzenie Lagrange'a]
Jeśli funkcja \( \displaystyle f:[a,b]\mapsto \mathbb{R} \) jest ciągła w przedziale domkniętym \( \displaystyle [a,b] \) i różniczkowalna w każdy punkcie przedziału otwartego \( \displaystyle (a,b) \), to istnieje punkt \( \displaystyle \xi\in (a,b) \) taki, że
\( \displaystyle \frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(\xi). \)
Dowód 9.37.
Wystarczy w twierdzeniu Cauchy'ego podstawić \( \displaystyle g(t)=t. \) Wówczas \( \displaystyle g(b)=b \), \( \displaystyle g(a)=a \) oraz \( \displaystyle g'(t)=1 \).
Twierdzenie Lagrange'a nazywane jest też twierdzeniem o przyrostach (skończonych) lub twierdzeniem o wartości średniej, gdyż tezę twierdzenia można zapisać też następująco:
\( \displaystyle f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a), \text{ dla pewnego } \xi\in (a,b). \)
Innymi słowy: przyrost wartości funkcji \( \displaystyle f(b)-f(a) \) odpowiadający przyrostowi argumentu funkcji od \( \displaystyle a \) do \( \displaystyle b \) równy jest iloczynowi przyrostu argumentu \( \displaystyle b-a \) i wartości pochodnej funkcji \( \displaystyle f \) w pewnym punkcie pośrednim \( \displaystyle \xi \) leżącym między punktami \( \displaystyle a \) i \( \displaystyle b \).
Pamiętamy, że interpretacją geometryczną ilorazu różnicowego \( \displaystyle \displaystyle \frac{f(b)-f(a)}{b-a} \) jest współczynnik kierunkowy siecznej wykresu funkcji \( \displaystyle f \) przechodzącej przez punkty \( \displaystyle (a, f(a)) \) i \( \displaystyle (b, f(b)) \). Twierdzenie Lagrange'a orzeka więc, że między punktami \( \displaystyle a \) i \( \displaystyle b \) da się znaleźć taki punkt \( \displaystyle \xi \), że styczna do wykresu funkcji \( \displaystyle f \) w punkcie \( \displaystyle (\xi, f(\xi)) \) jest równoległa do siecznej przechodzącej przez punkty \( \displaystyle (a, f(a)) \) i \( \displaystyle (b, f(b)) \).
Wnioskiem z twierdzenia Lagrange'a o wartości średniej jest twierdzenie, które wiąże monotoniczność funkcji ze znakiem pierwszej pochodnej.
Twierdzenie 9.38.
Niech \( \displaystyle f \) będzie funkcją różniczkowalną w przedziale \( \displaystyle (a,b) \).
a) Jeśli \( \displaystyle f'(x)\geq 0 \) dla wszystkich \( \displaystyle x\in (a,b) \), to \( \displaystyle f \) jest rosnąca w przedziale \( \displaystyle (a,b) \).
a') Jeśli \( \displaystyle f'(x)> 0 \) dla wszystkich \( \displaystyle x\in (a,b) \), to \( \displaystyle f \) jest ściśle rosnąca w przedziale \( \displaystyle (a,b) \).
b) Jeśli \( \displaystyle f'(x)=0 \) dla wszystkich \( \displaystyle x\in (a,b) \), to \( \displaystyle f \) jest stała w przedziale \( \displaystyle (a,b) \).
c) Jeśli \( \displaystyle f'(x)\leq 0 \) dla wszystkich \( \displaystyle x\in (a,b) \), to \( \displaystyle f \) jest malejąca w przedziale \( \displaystyle (a,b) \).
c') Jeśli \( \displaystyle f'(x) < 0 \) dla wszystkich \( \displaystyle x\in (a,b) \), to \( \displaystyle f \) jest ściśle malejąca w przedziale \( \displaystyle (a,b) \).
Dowód 9.38.
Dla dowolnych punktów \( \displaystyle x_1 < x_2 \) z przedziału \( \displaystyle (a,b) \) zgodnie z twierdzeniem Lagrange'a potrafimy wskazać punkt \( \displaystyle \xi\in (x_1, x_2) \) taki, że \( \displaystyle f(x_2)-f(x_1)=f'(\xi)(x_2-x_1) \). Z równości tej wynikają powyższe implikacje.
Wnioskiem z tego twierdzenia jest warunek wystarczający istnienia ekstremum w przypadku, gdy funkcja jest różniczkowalna.
Wniosek 9.39.
Niech \( \displaystyle f \) będzie funkcją różniczkowalną w przedziale \( \displaystyle (a,b) \). Jeśli w punkcie \( \displaystyle x_0\in(a,b) \) pochodna funkcji \( \displaystyle f \) zeruje się (tj. \( \displaystyle f'(x_0)=0 \)) oraz zmienia znak, to znaczy
a) jest dodatnia w przedziale \( \displaystyle (a,x_0) \) i ujemna w \( \displaystyle (x_0,b) \),
b) jest ujemna w przedziale \( \displaystyle (a,x_0) \) i dodatnia w \( \displaystyle (x_0,b) \),
to funkcja \( \displaystyle f \) osiąga w punkcie \( \displaystyle x_0 \) ekstremum, odpowiednio:
a) minimum lokalne, b) maksimum lokalne.
Dowód 9.39.
a) Na mocy poprzedniego twierdzenia funkcja \( \displaystyle f \) jest ściśle rosnąca w przedziale \( \displaystyle (a, x_0) \) i ściśle malejąca w przedziale \( \displaystyle (x_0, b) \), osiąga więc maksimum lokalne w punkcie \( \displaystyle x_0 \). Dowód w przypadku b) jest podobny.
Zwróćmy uwagę, że nie potrzeba zakładać zerowania się pierwszej pochodnej funkcji w punkcie \( \displaystyle x_0 \). Prawdziwy jest więc także
Wniosek 9.40.
Jeśli funkcja \( \displaystyle f \) ciągła w przedziale \( \displaystyle (a,b) \) jest różniczkowalna w przedziałach \( \displaystyle (a, x_0) \) oraz \( \displaystyle (x_0, b) \), przy czym pochodna \( \displaystyle f' \) jest
a) dodatnia w przedziale \( \displaystyle (a, x_0) \) i ujemna w \( \displaystyle (x_0, b) \),
b) ujemna w przedziale \( \displaystyle (a, x_0) \) i dodania w \( \displaystyle (x_0, b) \),
to funkcja \( \displaystyle f \) osiąga w punkcie \( \displaystyle x_0 \) ekstremum, odpowiednio:
a) minimum lokalne,
b) maksimum lokalne.
Przykład funkcji \( \displaystyle f(x)=|x| \), która osiąga minimum w punkcie \( \displaystyle x_0=0 \), a ma pochodną ujemną dla \( \displaystyle x < 0 \), a dodatnią dla \( \displaystyle x>0 \) i wcale nie ma pochodnej w punkcie \( \displaystyle x_0=0 \), stanowi ilustrację ostatniego wniosku.
Przykład 9.41.
Pochodna funkcji \( \displaystyle f(x)=2x^3+3x^2 -12 x+7 \) wynosi
\( \displaystyle f'(x)=6x^2+6x-12=6(x^2+x-2)=6(x+2)(x-1). \)
Stąd \( \displaystyle f'(x) < 0 \) w przedziale \( \displaystyle (-2,1) \), a w obu przedziałach \( \displaystyle (-\infty, -2) \) oraz \( \displaystyle (1, +\infty) \) pochodna jest dodatnia. Na mocy wykazanego twierdzenia, funkcja \( \displaystyle f \) jest ściśle rosnąca w przedziale \( \displaystyle (-\infty, -2) \), następnie maleje w przedziale \( \displaystyle (-2, 1) \) i znowu rośnie w przedziale \( \displaystyle (1, \infty) \). Wobec tego w punkcie \( \displaystyle x=-2 \) osiąga maksimum lokalne równe \( \displaystyle f(-2)=27 \), a w punkcie \( \displaystyle x=1 \) minimum lokalne równe \( \displaystyle f(1)=0 \).
Uwaga 9.42.
Założenie, że pochodna \( \displaystyle f'(x)\geq 0 \) (odpowiednio \( \displaystyle f'(x)>0 \), \( \displaystyle f'(x)=0 \) itd) w każdym punkcie przedziału \( \displaystyle (a,b) \) jest istotne.
a) Rozważmy funkcję: \( \displaystyle f(x)=[x], \) gdzie \( \displaystyle [x] \) oznacza część całkowitą liczby rzeczywistej \( \displaystyle x \), czyli największą liczbę całkowitą nie większą od \( \displaystyle x \). Wówczas \( \displaystyle f \) jest różniczkowalna w zbiorze \( \displaystyle \mathbb{R}\setminus\mathbb{Z} \) (czyli wszędzie poza zbiorem liczb całkowitych) i w zbiorze tym pochodna \( \displaystyle f'(x)=0 \), mimo że funkcja \( \displaystyle f \) jest rosnąca.
b) Funkcja \( \displaystyle g(x)=x-[x] \) jest różniczkowalna w zbiorze \( \displaystyle \mathbb{R}\setminus\mathbb{Z} \) i w każdym punkcie tego zbioru jej pochodna \( \displaystyle g'(x)=1 \). Jednak funkcja ta nie jest ściśle rosnąca w zbiorze \( \displaystyle \mathbb{R}\setminus \mathbb{Z} \). Jest natomiast ściśle rosnąca w każdym z przedziałów postaci \( \displaystyle (n, n+1) \), gdzie \( \displaystyle n\in\mathbb{Z} \).
Podane funkcje są ciągłe poza zbiorem liczb całkowitych. Można jednak skonstruować przykład funkcji ciągłej, rosnącej o zerowej pochodnej w prawie każdym punkcie, to znaczy w każdym punkcie przedziału \( \displaystyle (0,1) \) poza punktami trójkowego zbioru Cantora
\( \displaystyle C:=\left\{\sum_{k=1}^\infty \frac{a_k}{3^k}, \ \ a_k\in\{0,2\}\right\}. \)
Przypomnijmy, że zbiór ten rozważaliśmy w ramach pierwszego modułu.
Przykład 9.43.
Niech \( \displaystyle \displaystyle x=(0,a_1 a_2 a_3 a_4 \dots)_{(3)}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n}{3^n} \) będzie dowolną liczbą z przedziału \( \displaystyle [0,1] \) zapisaną w systemie trójkowym za pomocą ciągu cyfr \( \displaystyle a_n=a_n(x)\in\{0,1,2\} \). Niech \( \displaystyle N=N(x) \) będzie najmniejszą liczbą naturalną, dla której \( \displaystyle a_n=1 \). Innymi słowy: niech \( \displaystyle N=N(x) \) będzie pozycją pierwszej jedynki w zapisie trójkowym liczby \( \displaystyle x \), licząc od przecinka pozycyjnego w prawo. Jeśli nie ma takiej liczby, przyjmujemy \( \displaystyle N(x)=\infty \). Określmy ciąg
\( \displaystyle b_n=\left\{\begin{align*} \frac{1}{2}a_n, \text{ dla } n < N(x) \\ 1, \text{ dla } n=N(x) \\ 0, \text{ dla } n>N(x)\end{align*} \right. \)
za pomocą którego definiujemy funkcję Cantora (zwaną także diabelskimi schodami) wzorem
\( \displaystyle \displaystyle f(x)=\sum_{k=1}^{N(x)} \frac{b_k}{2^k}. \)
Łatwo sprawdzić, że \( \displaystyle f(0)=0 \), \( \displaystyle f(1)=1 \), a na odcinkach, które usuwamy kolejno z przedziału \( \displaystyle [0,1] \) podczas kolejnych etapów konstrukcji trójkowego zbioru Cantora, funkcja ta jest stała:
\( \displaystyle f(x)=\frac{1}{2} \text{ dla } x\in\big(\frac{1}{3},\displaystyle\frac{2}{3}\big), \)
\( \displaystyle f(x)=\frac{1}{4} \text{ dla } x\in\big(\frac{1}{9},\frac{2}{9}\big) \text{ oraz } f(x)=\frac{3}{4}\text{ dla } x\in\big(\frac{7}{9}, \frac{8}{9}\big), \)
\( \displaystyle f(x)=\frac{1}{8} \text{ dla } x\in \big(\frac{1}{27},\frac{2}{27}\big), \ f(x)=\frac{3}{8} \text{ dla } x\in\big(\frac{7}{27}, \frac{8}{27}\big), \)
\( \displaystyle f(x)=\frac{5}{8} \text{ dla } x\in \big(\frac{19}{27},\frac{20}{27}\big), f(x)=\frac{7}{8} \text{ dla } x\in\big(\frac{25}{27},\frac{26}{27}\big), \)
i tak dalej. Można wykazać, że funkcja ta jest ciągła w każdym punkcie przedziału \( \displaystyle [0,1] \). Zauważmy, że funkcja Cantora jest różniczkowalna w każdym punkcie zbioru \( \displaystyle [0,1]\setminus C \) (tj. w każdym punkcie przedziału \( \displaystyle (0,1) \) poza punktami trójkowego zbioru Cantora \( \displaystyle C \)). Pochodna funkcji Cantora jest w tych punktach równa zeru, a mimo to (co nietrudno zauważyć) funkcja
Cantora jest rosnąca (niemalejąca) w przedziale \( \displaystyle [0,1] \).