Processing math: 100%

Odwzorowania liniowe

Definicja odwzorowania liniowego



Definicja 1.1 [Odwzorowanie liniowe]

Niech V, W będą przestrzeniami wektorowymi nad ciałem K i niech f:VW będzie odwzorowaniem. Mówimy, że f jest liniowe, jeśli spełnione są następujące warunki

L 1) dla każdych wektorów u,vVf(u+v)=f(u)+f(v),

L 2) dla każdych λK i vVf(λv)=λf(v).

Własność pierwszą nazywamy addytywnością odwzorowania f, drugą - jednorodnością f.

Zespół warunków L 1) i L 2) można zastąpić jednym z następujących warunków L 3) lub L4).

L 3) Dla każdych λ,μK i dla każdych u,vV zachodzi równość f(λu+μv)=λf(u)+μf(v).

L 4) Dla każdych skalarów λ1,...,λkK, wektorów v1,...,vkV i każdego kN, zachodzi równość


f(λ1v1+...+λkvk)=λ1f(v1)+...+λkf(vk).


Dowód równoważności warunków L 3) i L 4) polega na zastosowaniu indukcji.

Zauważmy od razu, że f(0)=f(0v)=0f(v), gdzie v jest dowolnym wektorem przestrzeni V. A zatem, dla odwzorowania liniowego zawsze mamy f(0)=0.


Przykład 1.2

Odwzorowanie stale równe zeru jest liniowe. Odwzorowanie identycznościowe dowolnej przestrzeni wektorowej na siebie jest liniowe. Odwzorowanie to oznaczać będziemy przez I.


Przykład 1.3

Weźmy przestrzeń V wszystkich funkcji ciągłych na przedziale (a,b)R o wartościach w R. Odwzorowanie


VffR(a,b)


jest odwzorowaniem liniowym.

Podobny przykład otrzymuje się dla całki oznaczonej.

Rozważmy jeszcze przestrzeń U funkcji różniczkowalnych na przedziale (a,b)R i odwzorowanie przyporządkowujące funkcji z U jej pochodną. Odwzorowanie to jest liniowe.


Sprzężenie w C nie jest liniowe

Przykład 1.4

Rozważmy odwzorowanie f:Cz¯zC. Jeśli potraktujemy odwzorowanie f jako odwzorowanie przestrzeni wektorowych nad ciałem C, to odwzorowanie to nie jest liniowe, bo nie jest jednorodne.

Jeśli jednak potraktujemy C jako przestrzeń wektorową nad ciałem R, to odwzorowanie f jest liniowe. Mówimy, że f jest R-liniowe, ale nie jest C-liniowe.



Własności odwzorowań liniowych. Obraz i jądro.


Omówimy teraz podstawowe własności odwzorowań liniowych.

Twierdzenie 2.1

Złożenie odwzorowań liniowych jest odwzorowaniem liniowym. Jeśli odwzorowanie liniowe jest bijekcją, to odwzorowanie odwrotne jest też liniowe.

Dowód

Tezy pierwszej dowodzi się bezpośrednim rachunkiem, co zostawiamy czytelnikowi. Dla sprawdzenia drugiej tezy ustalmy, że f:VW jest liniową bijekcją. Niech w,wW. Wtedy istnieją jedne jedyne wektory v,vV takie, że w=f(v) i w=f(v). Zatem v=f1(w) i v=f1(w). Niech λ,μ będą dowolnymi skalarami. Zachodzą równości


f1(λw+μw)=f1(λf(v)+μf(v))=f1(f(λv+μv))


=λv+μv=λf1(w)+μf1(w).


Istotne cechy odwzorowań liniowych, często wykorzystywane w dalszej części wykładu, opisują następujące lematy

Lemat 2.2

Niech A będzie zbiorem generującym przestrzeń V i odwzorowania f,h:VW będą liniowe. Jeśli f|A=h|A, to f=h.

Dowód

Niech vV będzie dowolnym wektorem. Istnieją wektory v1,...,vn ze zbioru A oraz skalary λ1,...,λn takie, że v=λ1v1+...+λnvn. Ponieważ obydwa odwzorowania f i h są liniowe, więc f(v)=λ1f(v1)+...+λnf(vn)=λ1h(v1)+...+λnh(vn)=h(v).


Lemat 2.3

Niech B będzie bazą przestrzeni V i ˜f:BW będzie dowolnym odwzorowaniem.

Istnieje dokładnie jedno odwzorowanie liniowe f:VW takie, że ˜f=f|B


Dowód

Dla dowolnego v istnieją wektory e1,...,en należące do bazy i skalary λ1,...,λn takie, że v=λ1e1+...+λnen. Wybór wektorów z bazy i skalarów jest jednoznaczny. A zatem f zadane formułą

f(v)=λ1˜f(e1)+...+λn˜f(en)      (2.1)


jest dobrze określone. Łatwo sprawdzić, że jest liniowe. Jest też oczywiste, że f musi być zadane formułą (2.1). Stąd jedyność f (lub z poprzedniego lematu).

Ostatni lemat mówi, że odwzorowanie liniowe może być zadane na bazie. Lemat dotyczy także przestrzeni nieskończenie wymiarowych.

Twierdzenie 2.4

Niech f:VW będzie odwzorowaniem liniowym. Jeżeli U jest podprzestrzenią V, to obraz podprzestrzeni U przez odwzorowanie f, czyli f(U), jest podprzestrzenią W. Jeżeli U jest podprzestrzenią W, to przeciwobraz podprzestrzeni U przez odwzorowanie f, czyli f1(U), jest podprzestrzenią V.

Dowód

Jeżeli w,zf(U), to w=f(v) i z=f(u) dla pewnych u,vU. Zatem v+uU i w+z=f(v)+f(u)=f(v+u)f(U). Ponieważ λuU, więc λz=λf(u)=f(λu)f(U) dla dowolnego skalara λ.

Niech u,vf1(W). Wtedy f(u),f(v)W i, w konsekwencji, f(u)+f(v)W. Zatem f(u+v)=f(u)+f(v)W. Podobnie f(λu)=λf(u)W dla dowolnego λ.

Dla odwzorowania liniowego definiuje się dwie ważne podprzestrzenie - obraz i jądro odwzorowania liniowego.

Definicja 2.5 [Jądro odwzorowania]

Niech f:VW będzie odwzorowaniem liniowym. Jądrem odwzorowania f nazywamy podprzestrzeń f1({0}). Jądro oznaczamy symbolem kerf. Obrazem f nazywamy podprzestrzeń f(V) przestrzeni W. Przestrzeń tę oznaczamy imf. Wymiar przestrzeni imf nazywamy rzędem odwzorowania f i oznaczamy rkf.

Rzutowanie równolegle do podprzestrzeni

Przykład 2.6

Jeśli dana jest suma prosta V=UW, to rzutowanie PU na U równolegle do W jest liniowe. Ponadto kerPU=W oraz imPU=U.

Kolejny lemat wykorzystamy w dalszej części wykładu.


Lemat 2.7

Jeśli zbiór A generuje przestrzeń V i f:VW jest odwzorowaniem liniowym, to f(A) generuje przestrzeń imf.

Dowód

Oczywiście f(A)imf, a więc linf(A)imf. Niech wimf i niech vV będzie takim wektorem, że f(v)=w. Istnieją skalary λ1,...,λn oraz wektory v1,...,vnA takie, że v=λ1v1+...+λnvn. Zatem w=f(v)=λ1f(v1)+...+λnf(vn)linf(A).


Monomorfizmy. epimorfizmy, izomorfizmy



Definicja 3.1 [Monomorfizm]

Niech f będzie odwzorowaniem liniowym Odwzorowanie f nazywa się monomorfizmem, jeśli jest różnowartościowe. Odwzorowanie f nazywa się epimorfizmem, jeśli jest surjekcją. Odwzorowanie, które jest jednocześnie monomorfizmem i epimorfizmem (czyli liniowa bijekcja) nazywa się izomorfizmem.

Podamy teraz łatwe, ale bardzo ważne, twierdzenie charakteryzujące monomorfizmy.

Twierdzenie 3.2

Niech f:VW będzie odwzorowaniem liniowym. Odwzorowanie to jest monomorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy kerf={0}.


Dowód

Oczywiście 0kerf. Niech f będzie monomorfizmem. Jeśli v0, to f(v)f(0)=0. Oznacza to, że jedynym elementem zbioru kerf jest wektor zerowy. Odwrotnie, jeśli kerf składa się tylko z elementu zerowego i f(v)=f(u), to f(vu)=f(v)f(u)=0, a więc uvkerf. Ponieważ kerf={0}, więc u=v. Zatem f jest różnowartościowe.

Kolejne twierdzenie zawiera pewną charakteryzację monomorfizmów, epimorfizmów i izomorfizmów.


Twierdzenie 3.3

Niech f:VW będzie odwzorowaniem liniowym.

  1. Jeżeli f jest monomorfizmem, to f przekształca każdy zbiór liniowo niezależny na zbiór liniowo niezależny.
  2. Jeżeli f przekształca injektywnie pewną bazę przestrzeni V na zbiór liniowo niezależny, to f jest monomorfizmem.
  3. Jeżeli f jest epimorfizmem, to f przekształca każdy zbiór generujący V na zbiór generujący przestrzeń W.
  4. Jeżeli f przekształca pewien zbiór generujący V na zbiór generujący W, to f jest epimorfizmem.
  5. Jeżeli f jest izomorfizmem, to przekształca każdą bazę przestrzeni V na bazę przestrzeni W.
  6. Jeżeli f przekształca injektywnie pewną bazę przestrzeni V na bazę przestrzeni W, to f jest izomorfizmem.

Dowód

Rozważmy implikację 1.

Niech B będzie zbiorem liniowo niezależnym w V. Niech w1,...,wn będą różnymi między sobą wektorami z f(B) takimi, że λ1w1+...+λnwn=0. Istnieją v1,...,vnB (różne między sobą, bo f jest injekcją) takie, że w1=f(v1),...,wn=f(vn). Mamy równości: f(λ1v1+...+λnvn)=λ1f(v1)+...+λnf(vn)=0. Ponieważ f jest monomorfizmem, więc λ1v1+...+λnvn=0. Wobec tego, ponieważ v1,...,vn są liniowo niezależne, wszystkie λi, dla i=1,...,n, są równe zeru.

Dla dowodu drugiej implikacji, załóżmy, że B jest bazą przestrzeni V, przekształconą injektywnie na zbiór liniowo niezależny. Niech f(v)=0. Istnieją skalary λ1,...,λnK oraz wektory v1,...,vnB takie, że v=λ1v1+...+λnvn. Mamy więc równość: 0=λ1f(v1)+...+λn(vn). Ponieważ f jest injekcją na bazie, więc wektory f(v1),...,f(vn) są różne między sobą. A zatem f(v1),...,f(vn) jest skończonym podzbiorem f(B). Jest liniowo niezależny, a więc wszystkie skalary λ1,...,λn są równe 0 i, w konsekwencji, v=0.

Dowód pozostałych implikacji zostawiamy czytelnikowi.

Założenie w implikacji 2. w przypadku przestrzeni skończenie wymiarowych można sformułować tak:

Dla pewnej bazy e1,...,en przestrzeni V układ f(e1),...,f(en) jest liniowo niezależny.

Podobnie formułuje się założenie w implikacji 6.

Z powyższego twierdzenia, a także z dobrze już znanych faktów, że w skończenie wymiarowej przestrzeni każdy układ liniowo niezależny można uzupełnić do bazy i z każdego układu generatorów można wybrać bazę, dostajemy natychmiast


Wniosek 3.4

Niech V,W będą przestrzeniami skończenie wymiarowymi tego samego wymiaru. Niech f:VW będzie odwzorowaniem liniowym. Następujące warunki są równoważne

  1. f jest monomorfizmem.
  2. f jest epimorfizmem.
  3. f jest izomorfizmem.

Z twierdzenia (3.3) wynika także


Wniosek 3.5

Jeżeli f:VW jest izomorfizmem liniowym i przestrzeń V jest skończenie wymiarowa, to W jest też skończenie wymiarowa oraz dimV=dimW.


Rząd odwzorowania liniowego


Kolejne twierdzenie opisuje ważny związek między wymiarami jądra i obrazu danego odwzorowania liniowego.

Twierdzenie 4.1

Niech f:VW będzie odwzorowaniem liniowym. Jeżeli V jest skończenie wymiarowa, to


rkf+dimkerf=dimV.


Dowód

Jeżeli kerf=V lub kerf={0}, twierdzenie jest trywialne. Załóżmy, że kerfV i kerf{0}. Niech e1,...,ek będzie bazą kerf. Rozszerzmy tę bazę do bazy całej przestrzeni V. Niech e1,...,ek,ek+1,...,en będzie bazą rozszerzoną. Twierdzimy, że wektory f(ek+1),...,f(en) stanowią bazę przestrzeni imf.

Sprawdźmy najpierw, że wektory te generują przestrzeń imf. Jeśli wimf, to istnieje vV taki, że f(v)=w. Wektor v da się przedstawić jako kombinacja liniowa wektorów bazy e1,...,en, tzn. v=λ1e1+...+λnen. Zatem


w=f(v)=λ10+...+λk0+λk+1f(ek+1)+...+λnf(en).


Aby sprawdzić liniową niezależność tych wektorów, załóżmy, że


λk+1f(ek+1)+...+λnf(en)=0


dla pewnych skalarów λk+1,...λn. Wtedy f(λk+1ek+1+...+λnen)=0, czyli λk+1ek+1+...+λnenkerf. Wobec tego istnieją skalary λ1,...,λk takie, że


λk+1ek+1+...+λnen=λ1e1+...+λkek.


Ponieważ układ wektorów e1,...,ek,ek+1,...,en jest liniowo niezależny, wszystkie skalary w powyższej równości, w szczególności skalary λk+1,...,λn, są równe 0.


Z Twierdzenia 2.7 otrzymujemy natychmiast


Wniosek 4.2

Niech V i W będą skończenie wymiarowe. Dla odwzorowania liniowego f:VW jego rząd spełnia nierówność


rkfmin{dimV,dimW}.



Przestrzeń dualna


Przypomnijmy sobie Przykład 7. z Wykładu 2. Wiemy z niego, że ogół odwzorowań prowadzących z niepustego zbioru V do przestrzeni wektorowej W jest przestrzenią wektorową z działaniami wprowadzonymi w Przykładzie 7. Przypomnijmy, że


(f+h)(v)=f(v)+h(v),


(λf)(v)=λ(f(v))


dla f,hWV, vV i λK. Niech V,W będą, jak w całym tym wykładzie, przestrzeniami wektorowymi nad jednym ciałem K i f,h:VW - odwzorowaniami liniowymi. Łatwo widać, że suma tych odwzorowań, a także iloczyn odwzorowania liniowego przez skalar są odwzorowaniami liniowymi. Zatem ogół odwzorowań liniowych z przestrzeni V do W stanowi podprzestrzeń wektorową przestrzeni WV.

Rozważmy sytuację szczególną. Za W weźmy ciało K. Przestrzeń odwzorowań liniowych prowadzących z V do K oznaczmy przez V. Przestrzeń tę nazywamy przestrzenią dualną do V. A zatem


V={α:VK | α  liniowe}.


Załóżmy teraz, że przestrzeń V jest skończenie wymiarowa i ma wymiar n. Niech e1,...,en będzie bazą tej przestrzeni. Zdefiniujemy ciąg e1,...,en elementów przestrzeni V następująco. Pamiętając o tym, że odwzorowanie liniowe możemy zadać na bazie, określamy


ei(ej)=δij,      (5.2)


gdzie δij jest tzw. deltą Kroneckera. Symbol ten zdefiniowany jest następująco: δij=0 dla ij oraz δij=1 dla i=j.

Udowodnimy teraz


Twierdzenie 5.1

Ciąg e1,...,en jest bazą przestrzeni V.


Dowód

Układ e1,...,en jest liniowo niezależny. Istotnie, niech

λ1e1+...+λnen=0.      (5.3)


Zero występujące z prawej strony tej równości oznacza odwzorowanie tożsamościowo równe zeru. Oznaczmy przez α odwzorowanie określone przez lewą stroną równości (5.3). Dla każdego vV mamy α(v)=0. W szczególności dla każdego wektora ei bazy e1,...,en mamy α(ei)=0. Wstawiając do obu stron równości (5.3) kolejne wektory bazy e1,...,en stwierdzamy, że λ1,..., λn są równe zeru.

Aby stwierdzić że e1,...,en stanowię zbiór generatorów przestrzeni V wystarczy sprawdzić, że dla każdego αV mamy


α=α(e1)e1+...+α(en)en.      (5.4)


Dla sprawdzenia tej równości, wystarczy porównać wartości odwzorowań liniowych znajdujących się po obydwu jej stronach na kolejnych wektorach bazy e1,...,en.

Formuła (5.4) jest sama w sobie ważna i bardzo pożyteczna.

Zauważmy jeszcze, że jeśli f:VW jest liniowe, to

definiując odwzorowanie
f:WV
formułą


f(α)=αf,


otrzymujemy odwzorowanie liniowe. Sprawdzenie zostawiamy czytelnikowi. Odwzorowanie to nazywamy odwzorowaniem dualnym (lub transponowanym) do f.

Korzystając bezpośrednio z definicji odwzorowania dualnego, łatwo sprawdzić następujący fakt

Twierdzenie 5.2

Niech f:VW,h:WZ będą odwzorowaniami liniowymi. Zachodzi równość odwzorowań


(hf)=fh.