Definicja 1.1 [Odwzorowanie liniowe]
Niech V, W będą przestrzeniami wektorowymi nad ciałem K i niech f:V⟶W będzie odwzorowaniem. Mówimy, że f jest liniowe, jeśli spełnione są następujące warunki
L 1) dla każdych wektorów u,v∈Vf(u+v)=f(u)+f(v),
L 2) dla każdych λ∈K i v∈Vf(λv)=λf(v).
Własność pierwszą nazywamy addytywnością odwzorowania f, drugą - jednorodnością f.
Zespół warunków L 1) i L 2) można zastąpić jednym z następujących warunków L 3) lub L4).
L 3) Dla każdych λ,μ∈K i dla każdych u,v∈V zachodzi równość f(λu+μv)=λf(u)+μf(v).
L 4) Dla każdych skalarów λ1,...,λk∈K, wektorów v1,...,vk∈V i każdego k∈N, zachodzi równość
Dowód równoważności warunków L 3) i L 4) polega na zastosowaniu indukcji.
Zauważmy od razu, że f(0)=f(0⋅v)=0⋅f(v), gdzie v jest dowolnym wektorem przestrzeni V. A zatem, dla odwzorowania liniowego zawsze mamy f(0)=0.
Przykład 1.2
Odwzorowanie stale równe zeru jest liniowe. Odwzorowanie identycznościowe dowolnej przestrzeni wektorowej na siebie jest liniowe. Odwzorowanie to oznaczać będziemy przez I.
Przykład 1.3
Weźmy przestrzeń V wszystkich funkcji ciągłych na przedziale (a,b)⊂R o wartościach w R. Odwzorowanie
jest odwzorowaniem liniowym.
Podobny przykład otrzymuje się dla całki oznaczonej.
Rozważmy jeszcze przestrzeń U funkcji różniczkowalnych na przedziale (a,b)⊂R i odwzorowanie przyporządkowujące funkcji z U jej pochodną. Odwzorowanie to jest liniowe.
Przykład 1.4
Rozważmy odwzorowanie f:C∋z⟶¯z∈C. Jeśli potraktujemy odwzorowanie f jako odwzorowanie przestrzeni wektorowych nad ciałem C, to odwzorowanie to nie jest liniowe, bo nie jest jednorodne.
Jeśli jednak potraktujemy C jako przestrzeń wektorową nad ciałem R, to odwzorowanie f jest liniowe. Mówimy, że f jest R-liniowe, ale nie jest C-liniowe.
Omówimy teraz podstawowe własności odwzorowań liniowych.
Twierdzenie 2.1
Złożenie odwzorowań liniowych jest odwzorowaniem liniowym. Jeśli odwzorowanie liniowe jest bijekcją, to odwzorowanie odwrotne jest też liniowe.
Dowód
Tezy pierwszej dowodzi się bezpośrednim rachunkiem, co zostawiamy czytelnikowi. Dla sprawdzenia drugiej tezy ustalmy, że f:V⟶W jest liniową bijekcją. Niech w,w′∈W. Wtedy istnieją jedne jedyne wektory v,v′∈V takie, że w=f(v) i w′=f(v′). Zatem v=f−1(w) i v′=f−1(w′). Niech λ,μ będą dowolnymi skalarami. Zachodzą równości
Istotne cechy odwzorowań liniowych, często wykorzystywane w dalszej części wykładu, opisują następujące lematy
Lemat 2.2
Niech A będzie zbiorem generującym przestrzeń V i odwzorowania f,h:V⟶W będą liniowe. Jeśli f|A=h|A, to f=h.
Dowód
Niech v∈V będzie dowolnym wektorem. Istnieją wektory v1,...,vn ze zbioru A oraz skalary λ1,...,λn takie, że v=λ1v1+...+λnvn. Ponieważ obydwa odwzorowania f i h są liniowe, więc f(v)=λ1f(v1)+...+λnf(vn)=λ1h(v1)+...+λnh(vn)=h(v).
Lemat 2.3
Niech B będzie bazą przestrzeni V i ˜f:B⟶W będzie dowolnym odwzorowaniem.
Istnieje dokładnie jedno odwzorowanie liniowe f:V⟶W takie, że ˜f=f|B
Dowód
Dla dowolnego v istnieją wektory e1,...,en należące do bazy i skalary λ1,...,λn takie, że v=λ1e1+...+λnen. Wybór wektorów z bazy i skalarów jest jednoznaczny. A zatem f zadane formułą
f(v)=λ1˜f(e1)+...+λn˜f(en) (2.1)
jest dobrze określone. Łatwo sprawdzić, że jest liniowe. Jest też oczywiste, że f musi być zadane formułą (2.1). Stąd jedyność f (lub z poprzedniego lematu).
Ostatni lemat mówi, że odwzorowanie liniowe może być zadane na bazie. Lemat dotyczy także przestrzeni nieskończenie wymiarowych.
Twierdzenie 2.4
Niech f:V⟶W będzie odwzorowaniem liniowym. Jeżeli U jest podprzestrzenią V, to obraz podprzestrzeni U przez odwzorowanie f, czyli f(U), jest podprzestrzenią W. Jeżeli U jest podprzestrzenią W, to przeciwobraz podprzestrzeni U przez odwzorowanie f, czyli f−1(U), jest podprzestrzenią V.
Dowód
Jeżeli w,z∈f(U), to w=f(v) i z=f(u) dla pewnych u,v∈U. Zatem v+u∈U i w+z=f(v)+f(u)=f(v+u)∈f(U). Ponieważ λu∈U, więc λz=λf(u)=f(λu)∈f(U) dla dowolnego skalara λ.
Niech u,v∈f−1(W). Wtedy f(u),f(v)∈W i, w konsekwencji, f(u)+f(v)∈W. Zatem f(u+v)=f(u)+f(v)∈W. Podobnie f(λu)=λf(u)∈W dla dowolnego λ.
Dla odwzorowania liniowego definiuje się dwie ważne podprzestrzenie - obraz i jądro odwzorowania liniowego.
Definicja 2.5 [Jądro odwzorowania]
Niech f:V⟶W będzie odwzorowaniem liniowym. Jądrem odwzorowania f nazywamy podprzestrzeń f−1({0}). Jądro oznaczamy symbolem kerf. Obrazem f nazywamy podprzestrzeń f(V) przestrzeni W. Przestrzeń tę oznaczamy imf. Wymiar przestrzeni imf nazywamy rzędem odwzorowania f i oznaczamy rkf.
Przykład 2.6
Jeśli dana jest suma prosta V=U⊕W, to rzutowanie PU na U równolegle do W jest liniowe. Ponadto kerPU=W oraz imPU=U.
Kolejny lemat wykorzystamy w dalszej części wykładu.
Lemat 2.7
Jeśli zbiór A generuje przestrzeń V i f:V⟶W jest odwzorowaniem liniowym, to f(A) generuje przestrzeń imf.
Dowód
Oczywiście f(A)⊂imf, a więc linf(A)⊂imf. Niech w∈imf i niech v∈V będzie takim wektorem, że f(v)=w. Istnieją skalary λ1,...,λn∈ oraz wektory v1,...,vn∈A takie, że v=λ1v1+...+λnvn. Zatem w=f(v)=λ1f(v1)+...+λnf(vn)∈linf(A).
Definicja 3.1 [Monomorfizm]
Niech f będzie odwzorowaniem liniowym Odwzorowanie f nazywa się monomorfizmem, jeśli jest różnowartościowe. Odwzorowanie f nazywa się epimorfizmem, jeśli jest surjekcją. Odwzorowanie, które jest jednocześnie monomorfizmem i epimorfizmem (czyli liniowa bijekcja) nazywa się izomorfizmem.
Podamy teraz łatwe, ale bardzo ważne, twierdzenie charakteryzujące monomorfizmy.
Twierdzenie 3.2
Niech f:V⟶W będzie odwzorowaniem liniowym. Odwzorowanie to jest monomorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy kerf={0}.
Dowód
Oczywiście 0∈kerf. Niech f będzie monomorfizmem. Jeśli v≠0, to f(v)≠f(0)=0. Oznacza to, że jedynym elementem zbioru kerf jest wektor zerowy. Odwrotnie, jeśli kerf składa się tylko z elementu zerowego i f(v)=f(u), to f(v−u)=f(v)−f(u)=0, a więc u−v∈kerf. Ponieważ kerf={0}, więc u=v. Zatem f jest różnowartościowe.
Kolejne twierdzenie zawiera pewną charakteryzację monomorfizmów, epimorfizmów i izomorfizmów.
Twierdzenie 3.3
Niech f:V⟶W będzie odwzorowaniem liniowym.
Dowód
Rozważmy implikację 1.
Niech B będzie zbiorem liniowo niezależnym w V. Niech w1,...,wn będą różnymi między sobą wektorami z f(B) takimi, że λ1w1+...+λnwn=0. Istnieją v1,...,vn∈B (różne między sobą, bo f jest injekcją) takie, że w1=f(v1),...,wn=f(vn). Mamy równości: f(λ1v1+...+λnvn)=λ1f(v1)+...+λnf(vn)=0. Ponieważ f jest monomorfizmem, więc λ1v1+...+λnvn=0. Wobec tego, ponieważ v1,...,vn są liniowo niezależne, wszystkie λi, dla i=1,...,n, są równe zeru.
Dla dowodu drugiej implikacji, załóżmy, że B jest bazą przestrzeni V, przekształconą injektywnie na zbiór liniowo niezależny. Niech f(v)=0. Istnieją skalary λ1,...,λn∈K oraz wektory v1,...,vn∈B takie, że v=λ1v1+...+λnvn. Mamy więc równość: 0=λ1f(v1)+...+λn(vn). Ponieważ f jest injekcją na bazie, więc wektory f(v1),...,f(vn) są różne między sobą. A zatem f(v1),...,f(vn) jest skończonym podzbiorem f(B). Jest liniowo niezależny, a więc wszystkie skalary λ1,...,λn są równe 0 i, w konsekwencji, v=0.
Dowód pozostałych implikacji zostawiamy czytelnikowi.
Założenie w implikacji 2. w przypadku przestrzeni skończenie wymiarowych można sformułować tak:
Dla pewnej bazy e1,...,en przestrzeni V układ f(e1),...,f(en) jest liniowo niezależny.
Podobnie formułuje się założenie w implikacji 6.
Z powyższego twierdzenia, a także z dobrze już znanych faktów, że w skończenie wymiarowej przestrzeni każdy układ liniowo niezależny można uzupełnić do bazy i z każdego układu generatorów można wybrać bazę, dostajemy natychmiast
Wniosek 3.4
Niech V,W będą przestrzeniami skończenie wymiarowymi tego samego wymiaru. Niech f:V⟶W będzie odwzorowaniem liniowym. Następujące warunki są równoważne
Z twierdzenia (3.3) wynika także
Wniosek 3.5
Jeżeli f:V⟶W jest izomorfizmem liniowym i przestrzeń V jest skończenie wymiarowa, to W jest też skończenie wymiarowa oraz dimV=dimW.
Kolejne twierdzenie opisuje ważny związek między wymiarami jądra i obrazu danego odwzorowania liniowego.
Twierdzenie 4.1
Niech f:V⟶W będzie odwzorowaniem liniowym. Jeżeli V jest skończenie wymiarowa, to
Dowód
Jeżeli kerf=V lub kerf={0}, twierdzenie jest trywialne. Załóżmy, że kerf≠V i kerf≠{0}. Niech e1,...,ek będzie bazą kerf. Rozszerzmy tę bazę do bazy całej przestrzeni V. Niech e1,...,ek,ek+1,...,en będzie bazą rozszerzoną. Twierdzimy, że wektory f(ek+1),...,f(en) stanowią bazę przestrzeni imf.
Sprawdźmy najpierw, że wektory te generują przestrzeń imf. Jeśli w∈imf, to istnieje v∈V taki, że f(v)=w. Wektor v da się przedstawić jako kombinacja liniowa wektorów bazy e1,...,en, tzn. v=λ1e1+...+λnen. Zatem
Aby sprawdzić liniową niezależność tych wektorów, załóżmy, że
dla pewnych skalarów λk+1,...λn. Wtedy f(λk+1ek+1+...+λnen)=0, czyli λk+1ek+1+...+λnen∈kerf. Wobec tego istnieją skalary λ1,...,λk takie, że
Ponieważ układ wektorów e1,...,ek,ek+1,...,en jest liniowo niezależny, wszystkie skalary w powyższej równości, w szczególności skalary λk+1,...,λn, są równe 0.
Z Twierdzenia 2.7 otrzymujemy natychmiast
Wniosek 4.2
Niech V i W będą skończenie wymiarowe. Dla odwzorowania liniowego f:V⟶W jego rząd spełnia nierówność
Przypomnijmy sobie Przykład 7. z Wykładu 2. Wiemy z niego, że ogół odwzorowań prowadzących z niepustego zbioru V do przestrzeni wektorowej W jest przestrzenią wektorową z działaniami wprowadzonymi w Przykładzie 7. Przypomnijmy, że
dla f,h∈WV, v∈V i λ∈K. Niech V,W będą, jak w całym tym wykładzie, przestrzeniami wektorowymi nad jednym ciałem K i f,h:V⟶W - odwzorowaniami liniowymi. Łatwo widać, że suma tych odwzorowań, a także iloczyn odwzorowania liniowego przez skalar są odwzorowaniami liniowymi. Zatem ogół odwzorowań liniowych z przestrzeni V do W stanowi podprzestrzeń wektorową przestrzeni WV.
Rozważmy sytuację szczególną. Za W weźmy ciało K. Przestrzeń odwzorowań liniowych prowadzących z V do K oznaczmy przez V∗. Przestrzeń tę nazywamy przestrzenią dualną do V. A zatem
Załóżmy teraz, że przestrzeń V jest skończenie wymiarowa i ma wymiar n. Niech e1,...,en będzie bazą tej przestrzeni. Zdefiniujemy ciąg e∗1,...,e∗n elementów przestrzeni V∗ następująco. Pamiętając o tym, że odwzorowanie liniowe możemy zadać na bazie, określamy
e∗i(ej)=δij, (5.2)
gdzie δij jest tzw. deltą Kroneckera. Symbol ten zdefiniowany jest następująco: δij=0 dla i≠j oraz δij=1 dla i=j.
Udowodnimy teraz
Twierdzenie 5.1
Ciąg e∗1,...,e∗n jest bazą przestrzeni V∗.
Dowód
Układ e∗1,...,e∗n jest liniowo niezależny. Istotnie, niech
λ1e∗1+...+λne∗n=0. (5.3)
Zero występujące z prawej strony tej równości oznacza odwzorowanie tożsamościowo równe zeru. Oznaczmy przez α odwzorowanie określone przez lewą stroną równości (5.3). Dla każdego v∈V mamy α(v)=0. W szczególności dla każdego wektora ei bazy e1,...,en mamy α(ei)=0. Wstawiając do obu stron równości (5.3) kolejne wektory bazy e1,...,en stwierdzamy, że λ1,..., λn są równe zeru.
Aby stwierdzić że e∗1,...,e∗n stanowię zbiór generatorów przestrzeni V∗ wystarczy sprawdzić, że dla każdego α∈V∗ mamy
α=α(e1)e∗1+...+α(en)e∗n. (5.4)
Dla sprawdzenia tej równości, wystarczy porównać wartości
odwzorowań liniowych znajdujących się po obydwu jej stronach na
kolejnych wektorach bazy e1,...,en.
Formuła (5.4) jest sama w sobie ważna i bardzo pożyteczna.
Zauważmy jeszcze, że jeśli f:V⟶W jest liniowe, to
definiując odwzorowanie
otrzymujemy odwzorowanie liniowe. Sprawdzenie zostawiamy czytelnikowi. Odwzorowanie to nazywamy odwzorowaniem dualnym (lub transponowanym) do f.
Korzystając bezpośrednio z definicji odwzorowania dualnego, łatwo sprawdzić następujący fakt
Twierdzenie 5.2
Niech f:V⟶W,h:W⟶Z będą odwzorowaniami liniowymi. Zachodzi równość odwzorowań