Opis
Zapoznanie z podstawowymi pojęciami algebry liniowej dla przestrzeni skończenie wymiarowych. Wprowadzenie do geometrii analitycznej \(R^n\)
Sylabus
Autorzy
- Barbara Opozda — Uniwersytet Jagielloński, Wydział Matematyki i Informatyki, Instytut Matematyki
- Małgorzata Downarowicz — Uniwersytet Jagielloński, Wydział Matematyki i Informatyki, Instytut Matematyki
- Dominik Kwietniak — Uniwersytet Jagielloński, Wydział Matematyki i Informatyki, Instytut Matematyki
Wymagania wstępne
- Podstawy logiki i teorii mnogości
- Wiadomości ze szkoły
Zawartość
- Ciała i przestrzenie wektorowe:
- grupa, ciało (przemienne), charakterystyka ciała
- przykłady ciał, ciało liczb zespolonych
- definicja przestrzeni wektorowej
- podprzestrzenie, operacje na podprzestrzeniach
- kombinacja liniowa, podzbiór generujący, układ liniowo niezależny, baza, przestrzeń skończenie wymiarowa, wymiar przestrzeni
- Odwzorowania liniowe:
- definicja odwzorowania liniowego
- jądro i obraz odwzorowania liniowego, rząd odwzorowania liniowego
- monomorfizm, epimorfizm, izomorfizm
- przestrzeń dualna, baza dualna, odwzorowanie dualne
- Macierze:
- podstawowe pojęcia
- działania na macierzach
- macierz odwzorowania liniowego
- mnożenie macierzy a składanie odwzorowań liniowych
- macierz dualna a odwzorowanie dualne
- rząd macierzy
- macierz przejścia, macierz odwzorowania liniowego po zmianie bazy
- ślad macierzy i endomorfizmu
- Układy równań liniowych:
- twierdzenie Kroneckera-Capellego
- zbiór rozwiązań układu równań liniowych
- badanie układu równań
- Wyznacznik:
- wyznacznik macierzy i endomorfizmu, metody obliczania wyznacznika, własności wyznacznika
- minory i rząd macierzy
- wzory Cramera
- wzory na wyrazy macierzy odwrotnej
- Endomorfizmy:
- wartość własna i wektor własny
- wielomian charakterystyczny
- bazy i macierze Jordana
- Formy kwadratowe:
- macierz i rząd odwzorowania dwuliniowego
- twierdzenie Lagrange'a i Sylvestera, sygnatura formy kwadratowej
- Euklidesowe przestrzenie wektorowe:
- iloczyn skalarny
- norma wyznaczona przez iloczyn skalarny
- nierówność Schwarza
- baza ortonormalna, ortonormalizacja Grama-Schmidta
- macierz i wyznacznik Grama, miara układu wektorów
- izometrie liniowe, macierz ortogonalna
- Geometria analityczna:
- przestrzeń afiniczna, euklidesowa przestrzeń afiniczna, euklidesowa przestrzeń afiniczna \(R^n\)
- układ bazowy, ukośnokątny (prostokątny) układ współrzędnych
- podprzestrzeń afiniczna, operacje na podprzestrzeniach afinicznych
- równoległość podprzestrzeni afinicznych
- podprzestrzeń rozwiązań układu równań liniowych
- opisy analityczne podprzestrzeni afinicznych
- odległość punktów i niektórych figur
- zbiory wypukłe
- odwzorowania afiniczne, izometrie, postać macierzowa
Literatura
- A. Białynicki-Birula, Algebra liniowa z geometrią, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Biblioteka Matematyczna t.48, Warszawa 1979.
- J. Gancarzewicz, Algebra liniowa z elementami geometrii, Wydawnicwo Naukowe UJ, Kraków, 2001.
- J. Komorowski, Od liczb zespolonych do tensorów, spinorów, algebr Liego i kwadryk, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1978.
- K. Nomizu, Fundamentals of Linear Algebra, McGraw-Hill, Inc., New York 1966.
- K. Sieklucki, Geometria i topologia, część I - Geometria, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Biblioteka Matematyczna t.53, Warszawa 1979, Warszawa 2006.