V∋v⟶ϕ(v1,...,vi−1,v,vi+1,...,vk)∈K
jest liniowe. Na przykład, odwzorowanie Rk∋(a1,...,ak)⟶a1...ak∈R jest k-liniowe.
Zbiór wszystkich odwzorowań k-liniowych ϕ:Vk⟶K oznaczmy przez Lk(V). W naturalny sposób (tak jak w Przykładzie 7. Wykładu I) zbiór ten
jest wyposażony w strukturę przestrzeni wektorowej.
Mówimy, że odwzorowanie ϕ jest antysymetryczne, jeśli dla
każdej permutacji ρ ciągu 1,...,k zachodzi wzór
ϕ(vρ(1),...,vρ(k))=sgnρ ϕ(v1,...,vk),
gdzie sgn ρ oznacza znak permutacji ρ. Podobnie definiuje się odwzorowanie symetryczne. Mianowicie, ϕ jest symetryczne, jeśli dla każdej permutacji ρ zachodzi równość.
ϕ(vρ(1),...,vρ(k))=ϕ(v1,...,vk).
Wyżej wspomniane mnożenie liczb rzeczywistych jest k-liniowe symetryczne.
W niniejszym wykładzie odwzorowania antysymetryczne będą odgrywać główną rolę. Zacznijmy od następującego lematu.
Lemat 1.1
Dla odwzorowania k-liniowego ϕ następujace warunki są równoważne.
Dowód
Załóżmy 1. Niech wektory vivj będą jednakowe w ciągu wektorów v1,...,vk. Niech ρ oznacza permutację, która
zamienia i na j. Znak tej permutacji jest równy −1. Po zastosowaniu tej permutacji ciąg wektorów v1,...,vk nie ulega zmianie. Wobec tego ϕ(vρ(1),...,vρ(k))=ϕ(v1,...,vk). Z drugiej strony
ϕ(vρ(1),...,vρ(k))=−ϕ(v1,...,vk).
Dodajmy do obu stron tej równości ϕ(vρ(1),...,vρ(k))=ϕ(v1,...,vk). Dostajemy równość
(1+1)ϕ(v1,...,vk)=0.
Wynika stąd, że ϕ(v1,...,vk)=0, bo ciało K ma charakterystykę różną od 2.
Odwrotnie, jeśli ϕ spełnia warunek 2), to dla każdych wektorów v1,...,vk i dla każdych i<j, i,j=1,...,k mamy
0=ϕ(v1,...,vi−1,vi+vj,vi+1,...,vj−1,vi+vj,vj+1,...,vk).
Stąd, że ϕ spełnia warunek 2. oraz z k-liniowości odwzorowania ϕ dostajemy
ϕ(v1,...,vi−1,vj,vi+1,...,vj−1,vi,vj+1,...,vk)=−ϕ(v1,...,vk).
Ponieważ każda permutacja jest złóżeniem pewnej liczby s transpozycji i znak permutacji jest równy (−1)s, więc ϕ jest antysymetryczne.
Załóżmy, że spełniony jest warunek 2. Jeśli ciąg v1,...,vk
jest liniowo zależny, to pewien wektor z tego ciągu jest kombinacją liniową pozostałych wektorów. Korzystając z k-liniowości ϕ i z warunku 2. dostajemy natychmiast, że ϕ(v1,...,vn)=0. Na koniec, załóżmy 3). Jeśli, któreś wektory w ciągu v1,...,vn są równe, to ciąg v1,...,vn jest liniowo zależny , a zatem ϕ(v1,...,vn)=0. Dowód lematu jest zakończony.
Jest oczywiste, że suma odwzorowań k-liniowych antysymetrycznych
jest odwzorowaniem k-liniowym antysymetrycznym i odwzorowanie
k-liniowe antysymetryczne pomnożone przez skalar jest też antysymetryczne. A zatem ogół odwzorowań antysymetrycznych stanowi podprzestrzeń przestrzeni Lk(V). Oznaczmy tę podprzestrzeń przez Lka(V). Elementy przestrzeni
Lka(V) nazywamy też k-formami na przestrzeni V. Choć teoria k-form jest ważna i interesująca, na potrzeby naszego wykładu zajmiemy się tylko szczególnymi przypadkami, tzn. szczególnymi przypadkami k. Po pierwsze, znamy już przestrzeń 1-form. Przestrzenią tą jest przestrzeń dualna V∗, 1-formami odwzorowania liniowe określone na V i o wartościach w ciele K.
Zajmiemy się teraz n-formami, gdzie n=dimV.
Niech e1,...,en będzie bazą przestrzeni wektorowej V i ω∈L. Niech v1,...,vn∈V. Każdy z tych wektorów przedstawimy jako kombinację liniową wektorów bazy. A zatem vj=n∑i=1aijei dla każdego j=1,...,n. Korzystając z Lematu 1.1 otrzymujemy następujące równości
ω(v1,...,vn)=ω(n∑i1=1ai11ei1,...,n∑in=1ainnein)=n∑i1,...,in=1ai11⋅⋅⋅ainnω(ei1,...,ein)=∑ i1,...,in ia≠ib dla a≠bai11⋅⋅⋅ainnω(ei1,...,ein)
Ponieważ ciąg różnowartościowy i1,...,in jest permutacją ciągu
1,...,n, więc dostajemy
ω(v1,...,vn)=∑ρ∈Snaρ(1)1⋅⋅⋅aρ(n)nω(eρ(1),...,eρ(n))=∑ρ∈Snsgnρaρ(1)1⋅⋅⋅aρ(n)nω(e1,...,en)=ω(e1,...,en)(∑ρ∈Snsgnρaρ(1)1⋅⋅⋅aρ(n)n),
gdzie Sn oznacza zbiór wszystkich permutacji ciągu 1,...,n. Ostatecznie, dla każdego ω∈L, zachodzi wzór
ω(v1,...,vn)=ω(e1,...,en)(∑ρ∈Snsgnρ aρ(1)1⋅⋅⋅aρ(n)n) (1.1)
Skalar
∑ρ∈Snsgnρ aρ(1)1⋅⋅⋅aρ(n)n
nie zależy od ω. A zatem przestrzeń Lna jest 1-wymiarowa i każda n-forma jest wyznaczona jednoznacznie przez zdefiniowanie ω(e1,...,en) dla dowolnie wybranej bazy e1,...,en.
Twierdzenie 2.1
Istnieje dokładnie jedno odwzorowanie n-liniowe antysymetryczne
ωo:M(n,n;K)∋A⟶ωo(A1,...,An)∈K
takie, że ωo(e1,...,en)=1, gdzie e1,...,en jest bazą kanoniczną przestrzeni Kn.
Odwzorowanie ωo nazywa się wyznacznikiem i oznacza symbolem det.
Symbol \det A oznacza wartość odwzorowania \det na ciągu kolumn A_1,...,A_n macierzy A.
Podkreślamy, że wyznacznik macierzy definiuje się tylko dla macierzy
kwadratowych. Na podstawie formuły (1.1) otrzymujemy natychmiast następujący wzór na wyznacznik macierzy A=[a_{ij}]\in M(n,n;\mathbb K)
Przykład 2.2
Niech dana będzie baza v_1,...,v_n przestrzeni wektorowej V. Niech P będzie macierzą przejścia od bazy v_1,..., v_n do bazy -v_1,v_2..,v_n. Widać od razu, że \det A=1.
Dowiedziemy teraz kilku podstawowych własności wyznacznika.
Twierdzenie 2.3
Dla dowolnych macierzy A,B\in M(n,n;\mathbb K) zachodzi wzór
Dowód
Niech A=[a_{ij}] i B=[b_{ij}]. Wiemy, że wyrazy c_{ij} macierzy C=AB wyrażają się wzorem
Niech A_1,...,A_n oznaczają kolumny macierzy A zaś C_1,...,C_n - kolumny macierzy C. Na podstawie formuły (2.4 ) mamy wzór
Otrzymujemy następujące równości
\begin{aligned}\det AB&=\det (C_1,...,C_n)\\ &=\det \left (\sum _{l_1=1}^nb_{l_11}{A_{l_1}},...,\sum _{l_n=1}^nb_{l_nn}{A_{l_n}}\right )\\ &= \sum _{{l_1},...,{l_n}=1}^n {b_{l_11}}...{b_{l_nn}}\, \det ({A_{l_1}},...,{A_{l_n}})\\ &=\sum _{\small{\begin{array} {l} \ \ \ \ \ \ \ l_1,...,l_n\\ \ {l_a}\ne {l_b}\ {\rm dla}\ a\ne b\end{array} }} {b_{l_11}}...{b_{l_nn}}\, \det ({A_{l_1}},...,{A_{l_n}})\\ &= \sum _{\rho \in {\cal S}_n}{b_{\rho (1)1}}...{b_{\rho (n)n}}\, \det ({A_{\rho (1)}},...,{A_{\rho (n)}})\\ &= \sum _{\small{\rho \in {\cal S}_n}} sgn\, \rho \ {b_{\rho (1)1}}...{b_{\rho (n)n}}\, \det\, A\\ &=\det A\, \det B \end{aligned}
Korzystając z definicji wyznacznika, łatwo widać, że wyznacznik macierzy jednostkowej I jest równy 1. A zatem, jeśli A jest macierzą odwracalną, to
1=\det I=\det (AA^{-1})=(\det A)(\det A^{-1}).
Oznacza to, że macierz odwracalna ma wyznacznik różny on zera, a wyznacznik macierzy odwrotnej jest odwrotnością wyznacznika macierzy danej. Mamy więc wzór
dla macierzy odwracalnej A. Macierz, której wyznacznik jest różny od zera nazywa się macierzą nieosobliwą.
Załóżmy teraz, że macierz A ma niezerowy wyznacznik. Wtedy kolumny macierzy A, jako wektory przestrzeni \mathbb K ^n są liniowo niezależne (na podstawie (Lematu 1.1). Oznacza to, że, jeśli A potraktujemy jako odwzorowanie liniowe z \mathbb K ^n do \mathbb K ^n, to A jest izomorfizmem. A zatem macierz A jest odwracalna. Mamy więc
Twierdzenie 2.4
Macierz A jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest nieosobliwa.
Twierdzenie 2.5
Jeżeli A\in M(n,n;\mathbb K), to \det A^*=\det A.
Dowód
Oznaczmy przez B=[b_{ij}] macierz dualną do A=[a_{ij}]. A zatem b_{ij}=a_{ji}. Mamy
\displaystyle \det B=\sum _{\rho \in{\cal S}_n} sgn\rho\ b_{\rho (1)1}\cdot\cdot\cdot b_{\rho (n)n}.
Dla każdej permutacji \rho \in{\cal S} weźmy \rho ^{-1}. Jeśli \rho (i)=j, to \rho ^{-1} (j)=i. Zatem iloczyn b_{\rho (1)1}\cdot\cdot\cdot b_{\rho (n)n} jest równy iloczynowi b_{1\rho ^{-1}(1)}\cdot\cdot\cdot b_{n\rho ^{-1}(n)} (po ewentualnym spermutowaniu czynników). Ponieważ odwzorowanie {\cal S}_n\ni \rho \longrightarrow \rho ^{-1}\in {\cal S }_n jest bijekcją i dla każdej permutacji \rho zachodzi równość sgn \ \rho = sgn\ {\rho }^{-1}, zatem
\begin{aligned}\det B&=\sum _{\rho \in{\cal S}_n} sgn\, \rho \, b_{1\rho (1)}\cdot\cdot\cdot n_{n\rho (n)}\\ &= \sum _{\rho \in{\cal S}_n} sgn \, \rho \, a_{\rho (1)1}\cdot\cdot\cdot a_{\rho (n)n}=\det A. \end{aligned}
Z powyższego twierdzenia dostajemy następujący wzór na wyznacznik macierzy A=[a_{ij}]
Wyznacznik jest n-liniową antysymetryczną funkcją wierszy.
Zauważmy teraz, że jeśli w macierzy A do pewnej kolumny (lub
pewnego wiersza) dodamy kombinację liniową pozostałych kolumn (lub pozostałych wierszy), to wyznacznik macierzy się nie zmieni. Wynika to z wieloliniowości wyznacznika i z warunku 2. Lematu 1.1. Jeśli zamienimy miejscami dwie kolumny (lub dwa wiersze), to wyznacznik zmieni swój znak. Jeśli pewną kolumnę macierzy A pomnożymy przez skalar \lambda, to dla otrzymanej w ten sposób macierzy A' mamy wzór \det A'=\lambda \det A. W szczególności, wymienione właśnie operacje na macierzach są takie, że, po ich zastosowaniu do danej macierzy, wyznacznik macierzy się nie zmieni lub łatwo kontrolujemy ewentualne zmiany wyznacznika tej macierzy. Mówimy, że są to operacje elementarne (lub dopuszczalne ze względu na wyznacznik). Oczywiście sensowne jest mnożenie wierszy lub kolumn przez skalary różne od 0.
Udowodnimy teraz pewną pożyteczną rachunkową własność wyznacznika.
Twierdzenie 2.6
Niech A\in (k,k;\mathbb K), B\in M(k,n-k;\mathbb K), C\in M(n-k,n-k;\mathbb K) zaś O oznacza zerową macierz z M(n-k,k;\mathbb K). Zachodzi wzór
Dowód
Dla ustalonych macierzy A i B rozważmy następujące odwzorowanie
\phi :M( n-k,n-k;)\ni C\longrightarrow \phi (C)= \det\left [\begin{array} {lr} \ A \ B\\ \ O\ C. \end{array} \right ]
Odwzorowanie \phi, jako odwzorowanie n-k rzędów macierzy C jest (n-k)-liniowe i antysymetryczne. A zatem, na podstawie rozważań z początku tego wykładu, wiemy, że
\phi (C)= \phi (I) \ \det C,
gdzie I jest macierzą jednostkową. Pokażemy, że \phi (I)=\det A. Ustalmy macierz B i rozważmy odwzorowanie
\psi :M(k,k;\mathbb K)\ni A\longrightarrow \psi (A)=\det \left [\begin{array} {lr} \ A \ B\\ \ O\ I. \end{array} \right ]
Traktując to odwzorowanie jako odwzorowanie k kolumn macierzy A, widzimy, że odwzorowanie to jest k-liniowe antysymetryczne. A zatem, tak jak wyżej, dostajemy
\psi (A)=\psi (I) \ \det A .
Wystarczy teraz udowodnić, że
\det \left [\begin{array} {lr} \ I \ B\\ \ O\ I \end{array} \right ]=1,
gdzie I w odpowiednim miejscu oznacza macierz jednostkową odpowiedniego wymiaru. Ostatni wzór zostawiamy jako ćwiczenie.
W szczególności, zachodzi wzór
\det \left [ \begin{array} {lcccr} \ 1\ a_{12}\ .\ .\ .\ a_{1n}\\ \ 0\ \ \ \ \ \\ \ . \ \ \ \ \ \ \\ \ .\ \ \ \ \ \ \ B \ \\ \ . \ \ \ \ \ \ \\ \ 0\ \ \ \ \ \ \ \ \end{array} \right ]= \det B, (2.9)
gdzie B\in M(n-1,n-1;\mathbb K).
Udowodnimy teraz twierdzenie o tzw. rozwinięciu Laplace'a względem j-tej kolumny.
Twierdzenie 2.7
Niech A=[a_{ij}]\in M(n,n;\mathbb K). Dla każdego ustalonego
wskaźnika j (j=1,...,n) zachodzi wzór
gdzie \Delta _{ij} oznacza wyznacznik macierzy otrzymanej z
macierzy A powstałej z macierzy A przez wykreślenie i-tego wiersza i j-tej kolumny, pomnożony przez (-1) ^{i+j}.
Dowód
Niech A_1,...,A_n będą kolumnami macierzy A. Macierz
A traktujemy jako ciąg kolumn, tzn. A= [A_1,...,A_n]. Jeśli e_1,...,e_n jest bazą kanoniczną przestrzeni n, to
\displaystyle A_j =\sum _{i=1}^n a_{ij} e_i.
Zatem, pamiętając o tym, że wyznacznik jest n-liniową antysymetryczną funkcją kolumn, dostajemy
\displaystyle \det A= \sum _{i=1}^n a_{ij}\det [ A_1,...,A_{j-1}, e_i, A_{j+1},...,A_n].
Wystarczy zauważyć, że
\displaystyle \det [A_1,..., A_{j-1}, e_i,A_{j+1},..., A_n] = \Delta _{ij}.
W tym celu przesuńmy j-tą kolumnę macierzy [A_1,..., A_{j-1}, e_i,A_{j+1},..., A_n] w lewo na pierwsze miejsce. Wykonujemy
j-1 transpozycji. W tak otrzymanej macierzy przesuńmy i-ty wiersz na pierwsze miejsce. W tym celu dokonujemy i-1 transpozycji. Po tych operacjach dostajemy macierz postaci
\left [ \begin{array} {lcccr} \ 1\ a_{i2}\ .\ .\ .\ a_{in}\\ \ 0\ \ \ \ \ \\ \ . \ \ \ \ \ \ \\ \ .\ \ \ \ \ \ \ A_{ij} \ \\ \ . \ \ \ \ \ \ \\ \ 0\ \ \ \ \ \ \ \ \end{array} \right ],
gdzie A_{ij} jest macierzą otrzymaną z macierzy A przez wykreślenie i-tego wiersza i j-tej kolumny.
Korzystając ze wzoru (2.9) otrzymujemy
\det [A_1,..., A_{j-1}, e_i,A_{j+1},..., A_n] =(-1)^{j-1}(-1) ^{i-1}\det A_{ij}= \Delta _{ij}.
Na podstawie Twierdzenia 2.5 otrzymujemy wzory na rozwinięcie
Laplace'a względem i-tego wiersza.
Twierdzenie 2.8
Niech A=[a_{ij}]\in M(n,n;\mathbb K). Dla każdego ustalonego wskaźnika i (i=1,...,n) zachodzi wzór