Endomorfizmy. Twierdzenie Jordana

Wyznacznik, ślad, wartość własna, wielomian charakterystyczny endomorfizmu i macierzy

W wykładzie tym zakładamy, że wszystkie przestrzenie są skończenie wymiarowe nad ciałem $\mathbb K$ o charakterystyce równej $0$ .

Mówimy, że macierze kwadratowe $A, B\in M(n,n;\mathbb K)$ są podobne, jeśli istnieje taka macierz nieosobliwa $P$ , dla której $B=P^{-1}AP$ . Macierze podobne mają ten sam wyznacznik, bo

$\det B =\det P^{-1}\det A\det P= {1\over{\det P}}\, \det A\, \det P=\det A.$

Ślad macierzy

Zdefiniujemy teraz ślad macierzy. Tak jak wyznacznik, ślad macierzy definiuje się tylko dla macierzy kwadratowych. Dla macierzy $A=[a_{ij}]\in M(n,n;\mathbb K)$ definiujemy jej ślad $tr A$ jako sumę jej wyrazów leżących na głównej przekątnej, to znaczy

$\displaystyle tr A=\sum _{i=1}^n a_{ii}.$

Odwzorowanie

$M(n,n;\mathbb K )\ni A\longrightarrow tr A \in \mathbb K$

jest liniowe.

Pamiętamy, że mnożenie macierzy jest na ogół nieprzemienne. Mamy natomiast następujące twierdzenie

Twierdzenie 1.1

Dla dowolnych macierzy $A,B\in M(n,n;\mathbb K )$ zachodzi równość

$tr (AB)= tr (BA).$

Dowód

Niech $A=[a_{ij}]$ , $B=[b_{ij}]$ . Oznaczmy przez $C=[c_{ij}]$ macierz $AB$ i przez $D=[d_{ij}]$ macierz $BA$ . Mamy następujące równości

$\displaystyle tr (AB)=\sum _{i=1}^n c_{ii}=\sum _{i=1}^n \sum _{k=1}^n a_{ik}b_{ki}= \sum _{k=1}^n\sum _{i=1}^m b_{ki}a_{ik} =\sum _{k=1}^n d_{kk}$

$= tr (BA).$

Z twierdzenia tego wynika, że macierze podobne mają taki sam ślad. Istotnie, $tr (P^{-1}AP)= tr (P^{-1}(AP))= tr ((AP)P^{-1})= tr (A(PP^{-1}))= tr A$ .

Niech $f:V\longrightarrow V$ będzie endomorfizmem. Niech $e_1,..., e_n$ ; $e'_1,...,e'_n$ będą bazami przestrzeni $V$ . Jeśli $A$ jest macierzą $f$ przy bazie $e_1,..., e_n$ zaś $B$ jest macierzą $f$ przy bazie $e'_1,..., e'_n$ , to $B=P^{-1}AP$ , gdzie $P$ jest macierzą przejścia od bazy $e_1,...,e_n$ do bazy $e'_1,...,e'_n$ . A zatem $\det B=\det A$ . Oznacza to, że niżej wprowadzona definicja ma sens, tzn. nie zależy od wyboru bazy $e_1,...,e_n$ .

Definicja 1.2

Wyznacznikiem endomorfizmu $f:V\longrightarrow V$ nazywamy wyznacznik dowolnej macierzy tego endomorfizmu.

Podobnie definiuje się ślad endomorfizmu. Mianowicie, mając endomorfizm $f$ bierzemy dowolną jego macierz $A$ (tzn. macierz przy dowolnej bazie) i definiujemy $tr f$ jako $tr A$ . Definicja nie zależy od wyboru bazy, bo macierze podobne mają ten sam ślad.

Wprowadzimy teraz kolejne definicje.

Definicja 1.3

Mówimy, że skalar $\lambda$ jest wartością własną endomorfizmu $f:V\longrightarrow V$ , jeśli istnieje niezerowy wektor $v\in V$ taki, że $f(v)=\lambda v$ . Każdy taki wektor $v$ nazywamy wektorem własnym odpowiadającym wartości własnej $\lambda$ .

Definiuje się też wartości własne i wektory własne macierzy

Definicja 1.4

Mówimy, że skalar $\lambda$ jest wartością własną macierzy $A\in M(n,n;\mathbb K )$ , jeśli istnieje niezerowy wektor $v\in \mathbb K^n$ taki, że $Av=\lambda v$ . Każdy taki wektor $v$ nazywamy wektorem własnym odpowiadającym wartości własnej $\lambda$ .

W powyższej równości $Av=\lambda v$ wektor $v$ jest traktowany jako $1$ -kolumnowa macierz.

Istotną cechę wektorów i wartości własnych opisuje następujące twierdzenie

Twierdzenie 1.5

Jeżeli $\lambda _1,...,\lambda _k$ są różnymi między sobą wartościami własnymi endomorfizmu $f$ i $v_1,...,v_k$ są wektorami własnymi odpowiadającymi tym wartościom własnym, to wektory $v_1,...,v_k$ są liniowo niezależne.

Dowód

Dowód jest indukcyjny ze względu na $k$ . Dla $k=1$ twierdzenie jest oczywiste. Załóżmy, że jest prawdziwe dla liczb mniejszych od pewnego $k$ .

Przypuśćmy, że wektory $v_1,...,v_k$ spełniają założenia twierdzenia i wektory te są liniowo zależne. Możemy założyć, że $v_k$ jest kombinacją liniową wektorów $v_1,...,v_{k-1}$ . Niech

$v_k=\mu _1v_1+...+\mu _{k-1}v_{k-1},$

Nie wszystkie $\mu _1,...,\mu _{k-1}$ są równe zeru. Możemy przyjąć, że $\mu _1\ne 0$ . Obłóżmy powyższą równość przez $f$ . Wtedy

$\lambda _k v_k=\mu _1\lambda _1v_1+...+\mu _{k-1}\lambda _{k-1} v_{k-1}.$

Z drugiej strony

$\lambda _kv_k=\lambda _k \mu _1 v_1+...+\lambda _k \mu _{k-1} v_{k-1}.$

Zatem

$0= \mu_1(\lambda _k-\lambda _1)v_1+...+\mu _{k-1}(\lambda _k-\lambda _{k-1})v_{k-1}.$

Ponieważ $v_1,...,v_l$ są liniowo niezależne i $\mu _1\ne 0$ , więc $\lambda _k=\lambda _1$ . Jest to sprzeczne z założeniem, że $\lambda _1,..., \lambda _k$ są różne miedzy sobą.

Mamy następujące twierdzenie charakteryzujące wartości własne.

Twierdzenie 1.6

Skalar $\lambda$ jest wartością własną endomorfizmu $f$ wtedy i tylko wtedy, gdy

$\det (f-\lambda I)=0,$

gdzie $I$ jest odwzorowaniem identycznościowym przestrzeni $V$ .

Dowód

Jeżeli $\lambda$ jest wartością własną $f$ i $v$ jest wektorem własnym odpowiadającym wartości własnej $\lambda$ , to $(f-\lambda I)(v)=0$ , czyli odwzorowanie $f-\lambda I$ nie jest monomorfizmem. A zatem $\det (f-\lambda I)=0$ . Odwrotnie, jeśli $\det (f-\lambda I)=0$ , to $f-\lambda I$ nie jest monomorfizmem, a zatem istnieje niezerowy wektor $v$ taki, że $(f-\lambda I)(v)=0$ . Oznacza to, że $\lambda$ jest wartością własną $f$ a $v$ jest wektorem własnym odpowiadającym tej wartości własnej.

Wybierzmy bazę przestrzeni $V$ . Niech $A$ będzie macierzą $f$ przy tej bazie. Wtedy, dla każdego $t\in \mathbb K$ mamy $\det (f-t I) = \det (A-t I)$ .

Jest jasne, jeśli skorzystamy na przykład ze wzoru na wyznacznik macierzy $A=[a_{ij}]$ z Wykładu VII, tzn. ze wzoru

$\displaystyle \det A= \sum _{\rho \in \S _n} sgn\ \rho \ a_{\rho (1)1}\cdot\cdot\cdot a_{\rho (n)n},$ (1.1)

że $\det (f-t I)=\det (A-t I )$ , traktowany jako funkcja argumentu $t$ jest wielomianem stopnia $n$ . Wielomian ten nazywamy wielomianem charakterystycznym endomorfizmu $f$ . Oznaczmy go przez $W_f$ . W wielomianie tym współczynnik przy $t^n$ jest równy $(-1)^n$ , wyraz wolny jest równy $\det A =\det f$ , zaś współczynnik przy $t^{n-1}$ jest równy $(1)^{n-1} tr A= tr f$ . Istotnie, wstawiając za $t$ wartość $0$ dostajemy wyraz wolny wielomianu $W_f$ , czyli wyraz wolny jest równy $\det f$ . Wielomian $W_f$ możemy zapisać jako

$W_f(t)= (a_{11}-t)\cdot\cdot\cdot (a_{nn}-t) + W(t),$

gdzie $W(t)$ jest wielomianem stopnia mniejszego lub równego $n-1$ . Widać stąd, że współczynnik przy $t^n$ jest równy $(-1)^n$ . Zauważmy jednak, że wielomian $W(t)$ jest stopnia silnie mniejszego od $n-1$ . Istotnie, ciągle mając na uwadze wzór (1.1), widzimy, że składniki zawierające $t^{n-1}$ mogą powstać tylko przy pomnożeniu $n-1$ wyrazów macierzy $A-t I$ leżących na głównej przekątnej. Ale permutacja $n$ -elementowego zbioru, która jest identycznością na $n-1$ elementach jest identycznością na całym zbiorze. Oznacza to, że składniki wielomianu $W_f(t)$ zawierające $t^{n-1}$ powstają tylko z iloczynu $(a_{11}-t)\cdot\cdot\cdot (a_{nn}-t)$ . Teraz łatwo widać, że współczynnik przy $t^{n-1}$ jest równy $(-1)^{n-1} tr A$ .

Podprzestrzenie niezmiennicze. Baza i macierz Jordana.

Niech $U$ będzie podprzestrzenią przestrzeni $V$ . Mówimy, że podprzestrzeń ta jest $f$ -niezmiennicza (dokładniej mówiąc, niezmiennicza ze względu na $f$ ), jeśli $f(U)\subset U$ . Jeśli $U$ jest podprzestrzenią $f$ -niezmienniczą, to po zawężeniu $f$ do $U$ dostajemy endomorfizm przestrzeni $U$ . Oznaczmy go przez $\tilde f$ . Endomorfizm ten ma swój wielomian charakterystyczny $W_{\tilde f}$ . Zachodzi następujący lemat.

Lemat 2.1

Jeżeli $U$ jest podprzestrzenią $f$ -niezmienniczą, to wielomian charakterystyczny $W_{\tilde f}$ dzieli wielomian charakterystyczny $W_f$ .

Dowód

Niech $e_1,...,e_k$ będzie bazą przestrzeni $U$ . Rozszerzamy ją do bazy $e_1,...,e_k, e_{k+1},...,e_n$ przestrzeni $V$ . Macierz $A$ endomorfizmu $f$ w tej bazie ma postać blokową

$A=\left [\begin{array} {l} \ B \ D \\ \ 0 \ C \end{array} \right ]$

gdzie $B$ jest macierzą $\tilde f$ w bazie $e_1,...,e_k$ . Mamy wtedy (na podstawie Twierdzenia 2.6 z Wykładu VII)

$W_f(t)= \det (A-t I) = \det (B- t I) \det (C-t I) =W_{\tilde f}\ \det (C-t I).$

Macierzą Jordana nazywa się macierz postaci

$\left [\begin{array} {lccccr} \ A_1 & 0 & 0 &...& 0\\ \ 0 &A_2&0 &...&0\\ \ & & & & \\ \ . & .& . & . & 0\\ \ . & . & . & .& 0\\ \ . & .& . & .& 0\\ \ & & & & \\ \ 0& 0& 0& 0& A_l, \end{array} \right ],$ (2.2)

gdzie $A_1$ , ..., $A_l$ są macierzami kwadratowymi postaci

$\left [\begin{array} {lcccccr} \ \lambda _i &1& & & & 0\\ \ 0& \lambda _i& 1& & & 0\\ \ .&. & .& .& .& .\\ \ 0 & & & \lambda _i & 1 & 0\\ \ 0 & & & &\lambda _i & 1\\ \ 0 & & & & &\lambda _i \end{array} \right ]$ (2.3)

dla $i=1,...l$ . Macierze $A_1,..., A_l$ nazywamy klatkami Jordana. Jeżeli macierz $A_i$ jest jedna klatką Jordana (2.3) o wymiarach $n_i$ na $n_i$ , to $(A_i-\lambda _i I )^{n_i}=0$ . Oczywiście $\lambda _i$ jest wartością własną macierzy $A_i$ .

Zwróćmy uwagę na to, że klatki mogą też być wymiaru $1\times 1$ .

Każda klatka odpowiada pewnej wartości własnej macierzy $A$ . Dla danej wartości własnej odpowiadające jej klatki mogą mieć różne wymiary. Klatek w danym wymiarze też może być dowolna ilość.

Przypuśćmy, że dla danego endomorfizmu $f$ istnieje taka baza $e_1,...,e_n$ , przy której macierz tego endomorfizmu jest macierzą Jordana. Poukładajmy klatki tej macierzy tak, aby na początku (tzn. począwszy od lewego górnego rogu macierzy) były klatki odpowiadające wartości własnej $0$ - najpierw wymiaru 1 $\times$ 1, potem wymiaru 2 $\times$ 2, potem 3 $\times$ 3, etc. Po klatkach odpowiadających wartości własnej $0$ , umieszczamy klatki odpowiadające pozostałym wartościom własnym. Dla każdej wartości własnej układamy klatki od najmniejszych do największych. Takie ukladanie klatek odpowiada permutowaniu bazy $e_1,..., e_n$ . Macierz po takim układaniu jest ciągle macierzą Jordana endomorfizmu $f$ , a spermutowana baza jest bazą Jordana dla $f$ . Bazę tę oznaczmy przez $\mathcal B$ .

Obserwując macierz $\mathcal B$ łatwo odczytać pewne cechy odwzorowania $f$ .

Dla ustalonej klatki mamy pewien ciąg wektorów bazy Jordana odpowiadający tej klatce. Ciąg taki zaczyna się od wektora własnego. Każdy wektor własny z bazy $\mathcal B$ odpowiadający jakiejś wartości własnej rozpoczyna pewien ciąg wektorów (może być 1-wyrazowy) odpowiadający jednej klatce macierzy Jordana.

Z bazy Jordana $\mathcal B$ można wybrać bazę podprzestrzeni $\ker f$ . Wektory tej bazy to wektory odpowiadające wszystkim klatkom 1 $\times$ 1 dla wartości własnej $0$ oraz pierwsze wektory (oczywiście ciągle z bazy $\mathcal B$ ) odpowiadające wszystkim kolejnym klatkom Jordana dla wartości własnej $0$ .

Z bazy $\mathcal B$ można wybrać bazę podprzestrzeni $im f$ . W szczególności wszystkie wektory bazy $\mathcal B$ , które odpowiadają klatkom dla niezerowych wartości własnych stanowią część takiej bazy.

Ostatnie wektory ciągów odpowiadających poszczególnym klatkom Jordana i wartości własnej $0$ rozpinają podprzestrzeń dopełniajacą do $im f$ . Bierzemy tu pod uwagę wszystkie klatki Jordana odpowiadające wartości własnej $0$ .

Macierz Jordana

Udowodnimy teraz twierdzenie Jordana.

Twierdzenie 2.2 [Jordana]

Niech $f: V\longrightarrow V$ będzie endomorfizmem, dla którego wielomian charakterystyczny rozkłada się na iloczyn czynników stopnia 1. Istnieje baza Jordana dla $f$ .

Dowód

Dowód jest indukcyjny ze względu na wymiar $n$ przestrzeni $V$ . Jeśli $n=1$ , to twierdzenie jest trywialne. Załóżmy, że twierdzenie jest prawdziwe dla przestrzeni wymiaru mniejszego od $n$ .

Załóżmy najpierw, że $f$ nie jest monomorfizmem, czyli $\dim im f<n$ . Podprzestrzeń $im f$ jest $f$ -niezmiennicza. Niech $\tilde f: im f \longrightarrow im f$ będzie zawężeniem $f$ do $im f$ . Wielomian charakterystyczny dla $\tilde f$ dzieli wielomian charakterystyczny dla $f$ . Zatem rozkłada się na iloczyn czynników stopnia 1. Możemy zastosować założenie indukcyjne dla edomorfizmu $\tilde f$ przestrzeni $f$ . Niech $\dim im f =m$ i $w_1,..., w_m$ będzie bazą Jordana dla $\tilde f$ . Jeżeli $im f\oplus \ker f=V$ , to do bazy $w_1,...,w_m$ dopisujemy dowolną bazę podprzestrzeni $\ker f$ i mamy bazę Jordana dla $f$ .

Załóżmy teraz, że $im f\cap \ker f\ne \{0\}$ . Oczywiście $\ker\tilde f=\ker f\cap im f$ . Z bazy Jordana $w_1,...,w_m$ wybieramy bazę przestrzeni $\ker\tilde f$ . Niech będzie to ciąg $w_{i_1},...,w_{i_k}$ . Wszystkie te wektory są wektorami własnymi $\tilde f$ odpowiadającymi wartości własnej $0$ . Każdy z nich rozpoczyna pewien ciąg wektorów odpowiadający jednej klatce Jordana endomorfizmu $\tilde f$ . Oznaczmy przez $\tilde w_{1},...,\tilde w_{k}$ ostatnie wektory tych ciągów. Ponieważ wektory te należą do $im f$ , więc istnieją wektory $v_1,...,v_k\in V$ takie, że

$f(v_1)=\tilde w_{1},...,f(v_k)=\tilde w_{k}$

Bierzemy uzupełnienie $u_1,..., u_{n-m-k}$ ciągu $w_{i_1},...,w_{i_k}$ do bazy przestrzeni $\ker f$ .

Twierdzimy, że ciąg

$w_1,...,w_m, v_1,...,v_k, u_1,...,u_{n-m-k}$ (2.4)

jest bazą przestrzeni $V$ . Wektorów tych jest $n$ , a zatem wystarczy sprawdzić ich liniową niezależność.

Niech

$\begin{array} {rcl} \alpha _1w_1+...+\alpha _mw_m+&& \beta _1v_1+...+\beta _kv_k\\&&+\gamma _1u_1 +...+\gamma _{n-m-k}u_{n-m-k}=0. \end{array}$ (2.5)

Obłóżmy tę równość przez $f$ . Dostajemy równość

$\alpha _1\tilde f(w_1)+...+\alpha _m\tilde f(w_m)=-\beta _1\tilde w _1-...-\beta _k\tilde w_k.$ (2.6)

Korzystając z uwagi poprzedzającej dowodzone twierdzenie wiemy, że obie strony równości (2.6) muszą być zerami. A zatem $\beta _1,...,\beta _k$ są równe zeru. Wracamy teraz do równości (2.5). Mamy

$\alpha _1w_1+...+\alpha _mw_m+ \gamma _1u_1 +...+\gamma _{n-m-k}u_{n-m-k}=0.$ (2.7)

Zatem

$\gamma _1u_1 +...+\gamma _{n-m-k}u_{n-m-k}\in im f\cap ker f.$

Pamiętając o tym, jak zostały wybrane wektory $u_1,...,u_{n-m-k}$ , otrzymujemy, że $\gamma _1u_1 +...+\gamma _{n-m-k}u_{n-m-k}=0$ . Wynika stąd, że $\gamma_1=...=\gamma _{n-m-k}=0$ . Wracając teraz do równości (2.7) otrzymujemy, że $\alpha _1=...=\alpha _m =0$ .

Na koniec zauważmy, że baza 2.4 jest bazą Jordana dla $f$ . Widać to natychmiast, jeśli ułożymy ją następująco. Na początku

$u_1,...,u_{n-m-k}, w_{i_1},...,\tilde w_{1}, v_1,w_{i_2},...,\tilde w_2, v_2,..., w_{i_k},..., \tilde w_k,v_k$

a potem pozostałe wektory ciągu $w_1,..., w_n$ w takiej kolejności jak były.

Jeśli $0$ nie jest wartością własną endomorfizmu $f$ ( $f$ jest monomorfizmem), to weźmy pewną wartość własną $\lambda$ . Ponieważ wielomian charakterystyczny rozkłada się na czynniki stopnia 1, wartość własna istnieje. Zamiast $f$ rozważmy endomorfizm $F=f-\lambda I$ . Na podstawie powyższego dowodu wiemy, że istnieje baza Jordana dla $F$ . Baza Jordana dla $F$ jest też bazą Jordana dla $f=F+\lambda I$ .

Wniosek 2.3

Dla każdego endomorfizmu przestrzeni zespolonej istnieje baza i macierz Jordana.

Informatyka MIMUW