Pochodne wyższych rzędów

Niech $\displaystyle f$ będzie funkcją różniczkowalną w przedziale otwartym $\displaystyle (a,b)$. Rozważmy funkcję pochodną

$\displaystyle f': (a,b)\ni x\mapsto f'(x)\in \mathbb{R}.$

Definicja 10.1.

Jeśli funkcja $\displaystyle f'$ jest różniczkowalna w punkcie $\displaystyle x_0\in (a,b)$, to znaczy, jeśli istnieje granica ilorazu różnicowego:

$\displaystyle \lim_{h\to 0}\frac{f'(x_0 +h)-f'(x_0)}{h},$

to mówimy, że funkcja $\displaystyle f$ jest dwukrotnie różniczkowalna w punkcie $\displaystyle x_0$, a granicę tę nazywamy pochodną rzędu drugiego (lub krótko: drugą pochodną) funkcji $\displaystyle f$ w punkcie $\displaystyle x_0$ i oznaczamy symbolem $\displaystyle f''(x_0)$ lub $\displaystyle \frac{d^2 f}{dx^2}(x_0)$ albo $\displaystyle \frac{d^2}{dx^2}f(x_0)$, bądź też $\displaystyle f^{(2)}(x_0)$.

Przykład 10.2.

Znanym ze szkoły przykładem pochodnej rzędu drugiego jest przyśpieszenie, równe pochodnej prędkości $\displaystyle v$:

$\displaystyle \frac{d^2}{dt^2}x(t)=\frac{d}{dt}\big(\frac{d}{dt}x(t)\big)=\frac{d}{dt}v(t),$

gdzie $\displaystyle t\mapsto x(t)$ oznacza położenie punktu materialnego w chwili $\displaystyle t$.

Definicję pochodnej rzędu $\displaystyle n$ możemy podać dla kolejnych liczb naturalnych $\displaystyle n=1,2,3,\dots$. Często - aby uprościć wypowiedzi twierdzeń - terminem pochodna rzędu zerowego (albo krócej: zerowa pochodna) funkcji $\displaystyle f$ będziemy nazywać samą funkcję $\displaystyle f$. Symbol pochodnej rzędu zerowego $\displaystyle f^{(0)}$ będzie oznaczać funkcję $\displaystyle f$.

Niech $\displaystyle f: (a,b)\mapsto \mathbb{R}$ będzie funkcją $\displaystyle n-1$ krotnie różniczkowalną, $\displaystyle n>0$.

Definicja 10.3.

Jeśli pochodna $\displaystyle f^{(n-1)}$ rzędu $\displaystyle n-1$ funkcji $\displaystyle f$ jest różniczkowalna w punkcie $\displaystyle x_0\in (a,b)$, to znaczy, jeśli istnieje granica ilorazu różnicowego:

$\displaystyle \lim_{h\to 0}\frac{f^{(n-1)}(x_0 +h)-f^{(n-1)}(x_0)}{h},$

to mówimy, że funkcja jest $\displaystyle n$ krotnie różniczkowalna w punkcie $\displaystyle x_0$, a granicę tę nazywamy pochodną rzędu $\displaystyle n$ (lub krótko: $\displaystyle n$-tą pochodną) funkcji $\displaystyle f$ w punkcie $\displaystyle x_0$ i oznaczamy symbolem $\displaystyle f^{(n)}(x_0)$ lub $\displaystyle \frac{d^n f}{dx^n}(x_0)$, bądź $\displaystyle \frac{d^n}{dx^n}f(x_0)$.

Jeśli $\displaystyle n=3,4,\dots$, na oznaczenie pochodnej rzędu $\displaystyle n$ funkcji $\displaystyle f$ w punkcie $\displaystyle x_0$ używamy raczej symboli:

$\displaystyle f^{(3)}(x_0), \ f^{(4)}(x_0), \dots ,$

albo

$\displaystyle \frac{d^3}{dx^3}f(x_0), \ \frac{d^4}{dx^4}f(x_0), \dots,$

niż $\displaystyle f'''(x_0), \ f''''(x_0), \dots.$ Kolejne twierdzenie stanowi uogólnienie twierdzenia o pochodnej iloczynu dwóch funkcji na przypadek pochodnej rzędu $\displaystyle n$.

rycina

Twierdzenie 10.4. [wzór Leibniza]

Niech $\displaystyle f, g:\mathbb{R}\mapsto\mathbb{R}$ będą funkcjami $\displaystyle n$ krotnie różniczkowalnymi, $\displaystyle n\geq 1$. Zachodzi równość

$\displaystyle (f\cdot g)^{(n)}=\sum_{k=0}^{n} {n \choose k}f^{(n-k)}g^{(k)}.$

Dowód 10.4.

Zwróćmy przede wszystkim uwagę na podobieństwo wzoru Leibniza do wzoru dwumianowego Newtona. Dowody obu twierdzeń są analogiczne. Zauważmy wpierw, że twierdzenie zachodzi dla $\displaystyle n=1$ mamy bowiem $\displaystyle (fg)'= {1 \choose 0} f'g+{1 \choose 1}fg'=f'g+fg'$. Następnie, korzystając z równości $\displaystyle {n \choose k}+ {n \choose k+1}= {n+1 \choose k+1}$, pokazujemy, że dla dowolnej liczby $\displaystyle m\in{1,2,\dots, n-1}$ zachodzi implikacja

$\displaystyle \bigg[(f\cdot g)^{(m)}=\sum_{k=0}^{m} {m \choose k}f^{(m-k)}g^{(k)}\bigg] \Longrightarrow \bigg[(f\cdot g)^{(m+1)}=\sum_{k=0}^{m+1} {m+1\choose k}f^{(m-k+1)}g^{(k)}\bigg].$

Niech $\displaystyle k=0,1,2,\dots$ będzie liczbą całkowitą nieujemną.

Definicja 10.5.

Mówimy, że funkcja $\displaystyle f:(a,b)\mapsto\mathbb{R}$ jest klasy $\displaystyle C^k$ w przedziale $\displaystyle (a,b)$, jeśli jest $\displaystyle k$ krotnie różniczkowalna w przedziale $\displaystyle (a,b)$ i pochodna $\displaystyle (a,b) \mapsto f^{(k)}(x)$ rzędu $\displaystyle k$ funkcji $\displaystyle f$ jest ciągła. Jeśli dla dowolnej liczby $\displaystyle k\in\{0,1,2,3,\dots\}$ funkcja $\displaystyle f$ jest klasy $\displaystyle C^k$ w przedziale $\displaystyle (a,b)$, to mówimy, że jest klasy $\displaystyle C^{\infty}$ w tym przedziale.

Przykład 10.6.

Dowolna funkcja wielomianowa, funkcje sinus, cosinus i wykładnicza $\displaystyle \exp$ są przykładami funkcji klasy $\displaystyle C^\infty$ w całym zbiorze liczb rzeczywistych. Ogólnie: dowolna funkcja dana za pomocą szeregu potęgowego $\displaystyle f(x)=\sum_{k=0}^{\infty}a_k(x-x_0)^k$ jest klasy $\displaystyle C^\infty$ w przedziale otwartym $\displaystyle (x_0 -R, x_0+R)$, gdzie $\displaystyle R$ jest promieniem zbieżności szeregu potęgowego.

Przykład 10.7.

Funkcja $\displaystyle f_0(x)=|x|$ jest ciągła, ale nie ma ciągłej pochodnej w dowolnym przedziale $\displaystyle (a,b)$, do którego należy zero, tj. gdy $\displaystyle a < 0 < b$. Jest więc klasy $\displaystyle C^0$ i nie jest klasy $\displaystyle C^1$ w takim przedziale. Jeśli zero nie należy do przedziału $\displaystyle (a,b)$, czyli gdy $\displaystyle a < b < 0$ lub $\displaystyle 0 < a < b$, to restrykcja $\displaystyle f(x)=|x|$ do przedziału $\displaystyle (a,b)$ jest wielomianem, czyli funkcją klasy $\displaystyle C^\infty$.

wykresy

Przykład 10.8.

Funkcja

$\displaystyle f_1(x)= \left\{\begin{array}{lll} -\frac{1}{2}x^2, \text{ dla }x < 0 \\ \frac{1}{2}x^2, \text{ dla }x\geq 0 \end{array} \right.$

jest różniczkowalna i jej pochodna $\displaystyle f'(x)=|x|$. Stąd jeśli $\displaystyle a < 0 < b$, to $\displaystyle f_1$ jest klasy $\displaystyle C^1$ w przedziale $\displaystyle (a,b)$, ale nie jest klasy $\displaystyle C^2$.

Przykład ten możemy łatwo dalej modyfikować. Na przykład funkcja

$\displaystyle f_2(x)= \left\{\begin{array}{lll} -\frac{1}{6}x^3, \text{ dla }x < 0 \\ \frac{1}{6}x^3, \text{ dla }x\geq 0 \end{array} \right.$

ma pierwszą pochodną równą $\displaystyle f_2 '(x)=f_1 (x)$, a jej drugą pochodną jest $\displaystyle f_2 ''(x)=f_0 (x)=|x|$. Funkcja $\displaystyle f_2$ jest więc klasy $\displaystyle C^2$, ale nie jest klasy $\displaystyle C^3$ w dowolnym przedziale otwartym zawierającym zero. Ogólnie

$\displaystyle f_n(x)=c_n |x|^{n+1}\mathrm{sgn}\, x = \left\{\begin{array}{lll} -c_n x^{n+1}, \text{ dla }x < 0 \\ c_n x^{n+1}, \text{ dla }x\geq 0 \end{array} \right.$

(gdzie $\displaystyle c_n=\frac{1}{(n+1)!}$, bądź też jest dowolną inną stałą różną od zera) jest funkcją klasy $\displaystyle C^n$ i nie jest klasy $\displaystyle C^{n+1}$ w dowolnym przedziale otwartym zawierającym zero.