Niech \( \displaystyle f \) będzie funkcją różniczkowalną w przedziale otwartym \( \displaystyle (a,b) \). Rozważmy funkcję pochodną
\( \displaystyle f': (a,b)\ni x\mapsto f'(x)\in \mathbb{R}. \)
Definicja 10.1.
Jeśli funkcja \( \displaystyle f' \) jest różniczkowalna w punkcie \( \displaystyle x_0\in (a,b) \), to znaczy, jeśli istnieje granica ilorazu różnicowego:
\( \displaystyle \lim_{h\to 0}\frac{f'(x_0 +h)-f'(x_0)}{h}, \)
to mówimy, że funkcja \( \displaystyle f \) jest dwukrotnie różniczkowalna w punkcie \( \displaystyle x_0 \), a granicę tę nazywamy pochodną rzędu drugiego (lub krótko: drugą pochodną) funkcji \( \displaystyle f \) w punkcie \( \displaystyle x_0 \) i oznaczamy symbolem \( \displaystyle f''(x_0) \) lub \( \displaystyle \frac{d^2 f}{dx^2}(x_0) \) albo \( \displaystyle \frac{d^2}{dx^2}f(x_0) \), bądź też \( \displaystyle f^{(2)}(x_0) \).
Przykład 10.2.
Znanym ze szkoły przykładem pochodnej rzędu drugiego jest przyśpieszenie, równe pochodnej prędkości \( \displaystyle v \):
\( \displaystyle \frac{d^2}{dt^2}x(t)=\frac{d}{dt}\big(\frac{d}{dt}x(t)\big)=\frac{d}{dt}v(t), \)
gdzie \( \displaystyle t\mapsto x(t) \) oznacza położenie punktu materialnego w chwili \( \displaystyle t \).
Definicję pochodnej rzędu \( \displaystyle n \) możemy podać dla kolejnych liczb naturalnych \( \displaystyle n=1,2,3,\dots \). Często - aby uprościć wypowiedzi twierdzeń - terminem pochodna rzędu zerowego (albo krócej: zerowa pochodna) funkcji \( \displaystyle f \) będziemy nazywać samą funkcję \( \displaystyle f \). Symbol pochodnej rzędu zerowego \( \displaystyle f^{(0)} \) będzie oznaczać funkcję \( \displaystyle f \).
Niech \( \displaystyle f: (a,b)\mapsto \mathbb{R} \) będzie funkcją \( \displaystyle n-1 \) krotnie różniczkowalną, \( \displaystyle n>0 \).
Definicja 10.3.
Jeśli pochodna \( \displaystyle f^{(n-1)} \) rzędu \( \displaystyle n-1 \) funkcji \( \displaystyle f \) jest różniczkowalna w punkcie \( \displaystyle x_0\in (a,b) \), to znaczy, jeśli istnieje granica ilorazu różnicowego:
\( \displaystyle \lim_{h\to 0}\frac{f^{(n-1)}(x_0 +h)-f^{(n-1)}(x_0)}{h}, \)
to mówimy, że funkcja jest \( \displaystyle n \) krotnie różniczkowalna w punkcie \( \displaystyle x_0 \), a granicę tę nazywamy pochodną rzędu \( \displaystyle n \) (lub krótko: \( \displaystyle n \)-tą pochodną) funkcji \( \displaystyle f \) w punkcie \( \displaystyle x_0 \) i oznaczamy symbolem \( \displaystyle f^{(n)}(x_0) \) lub \( \displaystyle \frac{d^n f}{dx^n}(x_0) \), bądź \( \displaystyle \frac{d^n}{dx^n}f(x_0) \).
Jeśli \( \displaystyle n=3,4,\dots \), na oznaczenie pochodnej rzędu \( \displaystyle n \) funkcji \( \displaystyle f \) w punkcie \( \displaystyle x_0 \) używamy raczej symboli:
\( \displaystyle f^{(3)}(x_0), \ f^{(4)}(x_0), \dots , \)
albo
\( \displaystyle \frac{d^3}{dx^3}f(x_0), \ \frac{d^4}{dx^4}f(x_0), \dots, \)
niż \( \displaystyle f'''(x_0), \ f''''(x_0), \dots. \) Kolejne twierdzenie stanowi uogólnienie twierdzenia o pochodnej iloczynu dwóch funkcji na przypadek pochodnej rzędu \( \displaystyle n \).
Twierdzenie 10.4. [wzór Leibniza]
Niech \( \displaystyle f, g:\mathbb{R}\mapsto\mathbb{R} \) będą funkcjami \( \displaystyle n \) krotnie różniczkowalnymi, \( \displaystyle n\geq 1 \). Zachodzi równość
\( \displaystyle (f\cdot g)^{(n)}=\sum_{k=0}^{n} {n \choose k}f^{(n-k)}g^{(k)}. \)
Dowód 10.4.
Zwróćmy przede wszystkim uwagę na podobieństwo wzoru Leibniza do wzoru dwumianowego Newtona. Dowody obu twierdzeń są analogiczne. Zauważmy wpierw, że twierdzenie zachodzi dla \( \displaystyle n=1 \) mamy bowiem \( \displaystyle (fg)'= {1 \choose 0} f'g+{1 \choose 1}fg'=f'g+fg' \). Następnie, korzystając z równości \( \displaystyle {n \choose k}+ {n \choose k+1}= {n+1 \choose k+1} \), pokazujemy, że dla dowolnej liczby \( \displaystyle m\in{1,2,\dots, n-1} \) zachodzi implikacja
\( \displaystyle \bigg[(f\cdot g)^{(m)}=\sum_{k=0}^{m} {m \choose k}f^{(m-k)}g^{(k)}\bigg] \Longrightarrow \bigg[(f\cdot g)^{(m+1)}=\sum_{k=0}^{m+1} {m+1\choose k}f^{(m-k+1)}g^{(k)}\bigg]. \)
Niech \( \displaystyle k=0,1,2,\dots \) będzie liczbą całkowitą nieujemną.
Definicja 10.5.
Mówimy, że funkcja \( \displaystyle f:(a,b)\mapsto\mathbb{R} \) jest klasy \( \displaystyle C^k \) w przedziale \( \displaystyle (a,b) \), jeśli jest \( \displaystyle k \) krotnie różniczkowalna w przedziale \( \displaystyle (a,b) \) i pochodna \( \displaystyle (a,b) \mapsto f^{(k)}(x) \) rzędu \( \displaystyle k \) funkcji \( \displaystyle f \) jest ciągła. Jeśli dla dowolnej liczby \( \displaystyle k\in\{0,1,2,3,\dots\} \) funkcja \( \displaystyle f \) jest klasy \( \displaystyle C^k \) w przedziale \( \displaystyle (a,b) \), to mówimy, że jest klasy \( \displaystyle C^{\infty} \) w tym przedziale.
Przykład 10.6.
Dowolna funkcja wielomianowa, funkcje sinus, cosinus i wykładnicza \( \displaystyle \exp \) są przykładami funkcji klasy \( \displaystyle C^\infty \) w całym zbiorze liczb rzeczywistych. Ogólnie: dowolna funkcja dana za pomocą szeregu potęgowego \( \displaystyle f(x)=\sum_{k=0}^{\infty}a_k(x-x_0)^k \) jest klasy \( \displaystyle C^\infty \) w przedziale otwartym \( \displaystyle (x_0 -R, x_0+R) \), gdzie \( \displaystyle R \) jest promieniem zbieżności szeregu potęgowego.
Przykład 10.7.
Funkcja \( \displaystyle f_0(x)=|x| \) jest ciągła, ale nie ma ciągłej pochodnej w dowolnym przedziale \( \displaystyle (a,b) \), do którego należy zero, tj. gdy \( \displaystyle a < 0 < b \). Jest więc klasy \( \displaystyle C^0 \) i nie jest klasy \( \displaystyle C^1 \) w takim przedziale. Jeśli zero nie należy do przedziału \( \displaystyle (a,b) \), czyli gdy \( \displaystyle a < b < 0 \) lub \( \displaystyle 0 < a < b \), to restrykcja \( \displaystyle f(x)=|x| \) do przedziału \( \displaystyle (a,b) \) jest wielomianem, czyli funkcją klasy \( \displaystyle C^\infty \).
Przykład 10.8.
Funkcja
\( \displaystyle f_1(x)= \left\{\begin{array}{lll} -\frac{1}{2}x^2, \text{ dla }x < 0 \\ \frac{1}{2}x^2, \text{ dla }x\geq 0 \end{array} \right. \)
jest różniczkowalna i jej pochodna \( \displaystyle f'(x)=|x| \). Stąd jeśli \( \displaystyle a < 0 < b \), to \( \displaystyle f_1 \) jest klasy \( \displaystyle C^1 \) w przedziale \( \displaystyle (a,b) \), ale nie jest klasy \( \displaystyle C^2 \).
Przykład ten możemy łatwo dalej modyfikować. Na przykład funkcja
\( \displaystyle f_2(x)= \left\{\begin{array}{lll} -\frac{1}{6}x^3, \text{ dla }x < 0 \\ \frac{1}{6}x^3, \text{ dla }x\geq 0 \end{array} \right. \)
ma pierwszą pochodną równą \( \displaystyle f_2 '(x)=f_1 (x) \), a jej drugą pochodną jest \( \displaystyle f_2 ''(x)=f_0 (x)=|x| \). Funkcja \( \displaystyle f_2 \) jest więc klasy \( \displaystyle C^2 \), ale nie jest klasy \( \displaystyle C^3 \) w dowolnym przedziale otwartym zawierającym zero. Ogólnie
\( \displaystyle f_n(x)=c_n |x|^{n+1}\mathrm{sgn}\, x = \left\{\begin{array}{lll} -c_n x^{n+1}, \text{ dla }x < 0 \\ c_n x^{n+1}, \text{ dla }x\geq 0 \end{array} \right. \)
(gdzie \( \displaystyle c_n=\frac{1}{(n+1)!} \), bądź też jest dowolną inną stałą różną od zera) jest funkcją klasy \( \displaystyle C^n \) i nie jest klasy \( \displaystyle C^{n+1} \) w dowolnym przedziale otwartym zawierającym zero.