Niech \( \displaystyle w(x)=a_0 +a_1 x+a_2 x^2 +a_3 x^3\dots +a_{n-1}x^{n-1}+a_n x^n \) będzie wielomianem. Zauważmy, że wartości pochodnych rzędu \( \displaystyle k=0,1,2,3,\dots , n, n+1,\dots \) w punkcie \( \displaystyle x=0 \) wyrażają się prosto za pomocą współczynników tego wielomianu:
\( \displaystyle \begin{align*} w(0) & =a_0 \\ w'(0) & =a_1, \\ \text{ gdyż }w'(x) & =0+a_1 +2 a_2 x+3a_3 x^2 +\dots +(n-1)a_{n-1}x^{n-2}+n a_n x^{n-1} \\ w''(0) & =2 a_2, \\ \text{ gdyż }w''(x) & =0+0 +2 a_2 +3\cdot 2 a_3 x +\dots +(n-1)(n-2)a_{n-1}x^{n-3}+n(n-1) a_n x^{n-2} \\ w^{(3)}(0) & =3\cdot 2 a_3, \\ \text{ gdyż }w^{(3)}(x) & =0+0 +0 +3\cdot 2 a_3 +\dots +(n-1)(n-2)(n-3)a_{n-1}x^{n-4}+n(n-1)(n-2) a_n x^{n-3} \\ & \vdots \\ w^{(n-1)}(0) & =(n-1)! a_{n-1}, \\ \text{ gdyż }w^{(n-1)}(x) & =0+0 +0 +0 +\dots +(n-1)!a_{n-1}+n! a_n x \\ w^{(n)}(0) & =n! a_{n}, \\ \text{ gdyż }w^{(n)}(x) & =0+0 +0 +0 +\dots +0+n! a_n \\ w^{(n+1)}(0) & =0, \\ \text{ gdyż }w^{(n+1)}(x) & =0+0 +0 +0 +\dots +0+0 \text{ dla dowolnej liczby } x.\end{align*} \)
Każda następna pochodna rzędu wyższego niż stopień wielomianu \( \displaystyle w \) jest równa zeru, i to nie tylko w punkcie zero, ale w każdym punkcie \( \displaystyle x\in \mathbb{R} \).
Uogólnieniem tej obserwacji jest następujące twierdzenie Taylora:
Twierdzenie 10.9.
Niech \( \displaystyle f:(\alpha, \beta)\mapsto \mathbb{R} \) będzie funkcją \( \displaystyle n+1 \) krotnie różniczkowalną w przedziale \( \displaystyle (\alpha, \beta) \). Wówczas dla dowolnych punktów \( \displaystyle a \), \( \displaystyle b \) takich, że \( \displaystyle \alpha < a < b < \beta \) istnieje punkt \( \displaystyle \xi_{n+1}\in (a,b) \) taki, że
\( \displaystyle f(b)=T^{n}_a f(b)+\frac{1}{(n+1)!}f^{(n+1)}(\xi_{n+1})(b-a)^{n+1}, \)
gdzie
\( \begin{array}{lll} \displaystyle T^{n}_a f (b) & = & \displaystyle f(a)+f'(a)(b-a)+\frac{f''(a)}{2!}(b-a)^2+\dots \\ & + & \displaystyle \frac{f^{(n-1)}(a)}{(n-1)!}(b-a)^{n-1}+\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(b-a)^{n}.\end{array} \)
Definicja 10.10.
Wielomian
\( \displaystyle \begin{align*} T^{n}_a f : \mathbb{R}\ni x\mapsto T^{n}_a f(x) & =\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k \\ & =f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\dots+\frac{f^{(n-1)}(a)}{(n-1)!}(x-a)^{n-1}+\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^{n}\end{align*} \)
nazywamy wielomianem Taylora rzędu \( \displaystyle n \) funkcji \( \displaystyle f \) o środku w punkcie \( \displaystyle a \).
Nim wykażemy twierdzenie Taylora, zauważmy, że z założenia o istnieniu pochodnej rzędu \( \displaystyle n+1 \) funkcji \( \displaystyle f \) w przedziale \( \displaystyle (\alpha, \beta) \) wynika, że funkcja \( \displaystyle f \) i wszystkie jej pochodne \( \displaystyle f', \ f'', \ f^{(3)}, \dots, f^{(n-1)}, f^{(n)} \) aż do rzędu \( \displaystyle n \) włącznie, istnieją i są ciągłe w tym przedziale.
Zauważmy też, że w przypadku \( \displaystyle n=1 \) twierdzenie Taylora sprowadza się do twierdzenia Lagrange'a:
\( \displaystyle f(b)=f(a)+f'(\xi_1)(b-a). \)
Dowód 10.9.
(twierdzenia Taylora) Niech \( \displaystyle M \) będzie stałą określoną tak, że zachodzi równość
\( \displaystyle f(b)=T^{n}_a f(b)+M(b-a)^{n+1}. \)
Aby dowieść twierdzenia, wystarczy pokazać, że istnieje punkt \( \displaystyle \xi_{n+1}\in (a,b) \) taki, że \( \displaystyle (n+1)!M=f^{(n+1)}(\xi_{n+1}) \). Rozważmy dla \( \displaystyle t\in[a,b] \) funkcję
\( \displaystyle g(t):=f(t)-T^{n}_a f(t)-M(t-a)^{n+1}. \)
Zauważmy, że \( \displaystyle g(a)=0 \) i z określenia stałej \( \displaystyle M \) mamy również: \( \displaystyle g(b)=0 \). Z twierdzenia Rolle'a wynika więc, że istnieje \( \displaystyle \xi_1\in (a,b) \) taki, że \( \displaystyle g'(\xi_1)=0 \). Zauważmy następnie, że nie tylko funkcja \( \displaystyle g \), ale również kolejne jej pochodne \( \displaystyle g^{(k)} \) dla \( \displaystyle k=1,2,\dots, n \) zerują się w punkcie \( \displaystyle a \). Wobec tego, że \( \displaystyle g'(a)=0 \) i \( \displaystyle g'(\xi_1)=0 \), z twierdzenia Rolle'a, wnioskujemy o istnieniu kolejnego punktu \( \displaystyle \xi_2\in (a, \xi_1) \), w którym zeruje się druga pochodna funkcji \( \displaystyle g \), tj. \( \displaystyle g''(\xi_2)=0 \). Powtarzając rozumowanie dla kolejnych pochodnych \( \displaystyle g^{(k)} \), \( \displaystyle k=1,2,\dots, n \) na podstawie twierdzenia Rolle'a wnioskujemy o istnieniu punktów \( \displaystyle \xi_{k+1}\in (a, \xi_k ) \) takich, że \( \displaystyle g^{(k+1)}(\xi_{k+1})=0 \). Zwróćmy uwagę, iż ostatni ze znalezionych punktów \( \displaystyle \xi_{n+1} \) jest tym punktem, którego istnienie postulujemy w tezie twierdzenia. Zauważmy, że pochodna rzędu \( \displaystyle n+1 \) funkcji \( \displaystyle g \) wynosi
\( \displaystyle \begin{align*} \frac{d^{n+1}}{dt^{n+1}}g(t) & =\frac{d^{n+1}}{dt^{n+1}}\big(f(t)-T^{n}_a f(t)-M(t-a)^{n+1}\big) \\ & =f^{(n+1)}(t)-0-(n+1)!M. \end{align*} \)
(Pochodna rzędu \( \displaystyle n+1 \) wielomianu \( \displaystyle t\mapsto T_a^n f(t) \) jest w każdym punkcie równa zeru, gdyż wielomian ten jest stopnia co najwyżej \( \displaystyle n \).) Stąd \( \displaystyle 0=g^{(n+1)}(\xi_{n+1})=f^{(n+1)}(\xi_{n+1})-(n+1)! M \).
Jednym z ważniejszych wniosków z wykazanego twierdzenia jest warunek wystarczający istnienia ekstremum funkcji dwukrotnie różniczkowalnej.
Twierdzenie 10.11.
Niech \( \displaystyle f:(a,b) \mapsto \mathbb{R} \) będzie funkcją klasy \( \displaystyle C^2 \) w przedziale \( \displaystyle (a,b) \) (czyli funkcją dwukrotnie różniczkowalną o ciągłej drugiej pochodnej \( \displaystyle f'' \) w przedziale \( \displaystyle (a,b) \)). Załóżmy, że w punkcie \( \displaystyle x_0\in (a,b) \) pochodna \( \displaystyle f'(x_0) \) zeruje się.
a) Jeśli \( \displaystyle f''(x_0)>0 \), to \( \displaystyle f \) osiąga minimum lokalne w punkcie \( \displaystyle x_0 \).
b) Jeśli \( \displaystyle f''(x_0) < 0 \), to \( \displaystyle f \) osiąga maksimum lokalne w punkcie \( \displaystyle x_0 \).
Dowód 10.11.
a) Załóżmy, że \( \displaystyle f''(x_0)>0 \). Ze wzoru Taylora i z założenia o zerowaniu się pierwszej pochodnej \( \displaystyle f' \) danej funkcji mamy
\( \displaystyle \begin{array}{lll} f(x_0+h) & = & f(x_0)+f'(x_0)+\frac{1}{2}f''(x_0+\theta h) \\ & = & f(x_0)+0+\frac{1}{2}f''(x_0+\theta h),\end{array} \)
gdzie \( \displaystyle \theta \) jest pewną liczbą z przedziału \( \displaystyle (0,1) \). Stąd znak różnicy \( \displaystyle f(x+h)-f(x)=\frac{1}{2}f''(x_0+\theta h) \) jest taki sam jak znak drugiej pochodnej \( \displaystyle f''(x_0+\theta h) \) w pewnym punkcie pośrednim między punktem \( \displaystyle x_0 \) a \( \displaystyle x_0+h \). Z założenia o ciągłości drugiej pochodnej \( \displaystyle f'' \) na mocy własności Darboux wnioskujemy, że nie tylko w samym punkcie \( \displaystyle x_0 \) druga pochodna \( \displaystyle f'' \) jest dodatnia, ale również w pewnym otoczeniu tego punktu. Biorąc więc na tyle mały przyrost \( \displaystyle h \), aby zarówno \( \displaystyle x_0 \) jak i \( \displaystyle x_0+h \) należały do przedziału, w którym \( \displaystyle f'' \) jest dodatnia i nie zeruje się, otrzymamy nierówność \( \displaystyle f''(x+\theta h)>0 \) również w punkcie pośrednim. Stąd \( \displaystyle f \) osiąga minimum lokalne w punkcie \( \displaystyle x_0 \), gdyż \( \displaystyle f(x+h)-f(x)\leq 0 \) w pewnym otoczeniu punktu \( \displaystyle x_0 \). Dowód implikacji b) przebiega podobnie.
Zauważmy, że podane twierdzenie nie rozstrzyga o istnieniu ani o typie ekstremum w przypadku, gdy \( \displaystyle f'(x_0)=0 \) oraz \( \displaystyle f''(x_0)=0 \).
Przykład 10.12.
Rozważmy funkcje \( \displaystyle f_1(x)=-x^4 \), \( \displaystyle f_2(x)=x^4 \), \( \displaystyle f_3(x)=x^3 \). Łatwo zauważyć, że zarówno pierwsza jak i druga pochodna każdej z tych trzech funkcji w punkcie \( \displaystyle x_0=0 \) zerują się, podczas gdy \( \displaystyle f_1 \) osiąga maksimum w tym punkcie, a \( \displaystyle f_2 \) minimum. Natomiast funkcja \( \displaystyle f_3 \) w ogóle nie osiąga ekstremum w punkcie \( \displaystyle x_0=0 \).
Uwaga 10.13.
Wzór, który występuje w tezie twierdzenia Taylora:
\( \displaystyle \begin{align*} f(b) & =T^n_a f(b)+\frac{f^{(n+1)}(\xi_{n+1})}{(n+1)!}(b-a)^{n+1} \\ & =\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(b-a)^k+\frac{f^{(n+1)}(\xi_{n+1})}{(n+1)!}(b-a)^{n+1}\end{align*} \)
nazywamy wzorem Taylora z resztą Lagrange'a
\( \displaystyle R_{n+1}=\frac{f^{(n+1)}(\xi_{n+1})}{(n+1)!}(b-a)^{n+1}. \)
Jeśli oznaczymy przyrost argument funkcji przez \( \displaystyle h:=b-a \), to wzór ten przyjmie postać
\( \displaystyle \begin{align*} f(a+h) & =T^n_a f(a+h)+\frac{f^{(n+1)}(a+\theta h)}{(n+1)!}h^{n+1} \\ & =\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(a)}{k!}h^k+\frac{f^{(n+1)}(a+\theta h)}{(n+1)!}h^{n+1}\end{align*} \)
dla pewnej liczby \( \displaystyle \theta \in (0,1) \) dobranej tak, aby \( \displaystyle a+\theta h=\xi_{n+1} \). Tę postać nazywamy wzorem Taylora z resztą Cauchy'ego
Augustin Louis Cauchy (1789-1857)
Colin Maclaurin (1698-1746)
\( \displaystyle R_{n+1}=\frac{f^{(n+1)}(a+\theta h)}{(n+1)!}h^{n+1}. \)
W szczególnym przypadku, gdy \( \displaystyle a=0 \) otrzymamy wzór
\( \displaystyle \begin{align*} f(h) & =T^n_0 f(h)+\frac{f^{(n+1)}(\theta h)}{(n+1)!}h^{n+1} \\ & =\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(0)}{k!}h^k+\frac{f^{(n+1)}(\theta h)}{(n+1)!}h^{n+1},\end{align*} \)
który nazywamy wzorem Maclaurina z resztą
\( \displaystyle R_{n+1}=\frac{f^{(n+1)}(\theta h)}{(n+1)!}h^{n+1}. \)
Uwaga 10.14.
Jeśli \( \displaystyle w \) jest wielomianem stopnia \( \displaystyle k \), to dla dowolnej liczby \( \displaystyle n\geq k \) wielomian Taylora rzędu \( \displaystyle n \) o środku w punkcie \( \displaystyle a=0 \) jest dokładnie równy wielomianowi \( \displaystyle w \), to znaczy
\( \displaystyle w(h)=w(0)+w'(0)h+\frac{w''(0)}{2!}h^2 +\dots +\frac{w^{(n)}(0)}{n!}h^n +R_{n+1} \) przy czym \( R_{n+1}=0. \)
Powstaje naturalne pytanie, czy dla innych funkcji (niekoniecznie wielomianów) wzór Taylora pozwala na przedstawienie funkcji \( \displaystyle f \) za pomocą wielomianu Taylora \( \displaystyle T^n_a f \) tak, aby reszta \( \displaystyle R_{n+1} \) była jak najmniejsza i zmierzała do zera, gdy rośnie \( \displaystyle n \), czyli gdy rośnie stopień wielomianu Taylora funkcji \( \displaystyle f \).
Odpowiedź na pytanie uzyskamy, stosując np. wzór Taylora z resztą Cauchy'ego.
Twierdzenie 10.15.
Niech \( \displaystyle f:(\alpha, \beta)\mapsto \mathbb{R} \) będzie funkcją \( \displaystyle n+1 \) krotnie różniczkowalną i niech \( \displaystyle \alpha < a < b < \beta \). Jeśli
\( \displaystyle M:=\sup\{|f^{(n+1)}(t)|, t\in [a,b]\} < \infty \)
(czyli wartość bezwzględna pochodnej rzędu \( \displaystyle (n+1) \) funkcji \( \displaystyle f \) jest ograniczona przez stałą \( \displaystyle M \), która nie zależy od wyboru punktu \( \displaystyle t \) z przedziału \( \displaystyle [a, b] \)), to dla dowolnej liczby \( \displaystyle h \) takiej, że \( \displaystyle 0\leq h\leq b-a \), zachodzi oszacowanie:
\( \displaystyle \bigg|f(a+h)-\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)} (a)}{k!}h^k\bigg|\leq \frac{M}{(n+1)!}h^{n+1}. \)
Dowód 10.15.
Szacując resztę we wzorze Taylora (z resztą Cauchy'ego), otrzymamy:
\( \displaystyle \begin{align*} \bigg|f(a+h)-\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)} (a)}{k!}h^k\bigg| & =\bigg|\frac{f^{(n+1)}(a+\theta h)}{(n+1)!}h^{n+1}\bigg| \\ & \leq \frac{h^{n+1}}{(n+1)!}\sup\{|f^{(n+1)}(a+\theta h)|, 0 < \theta h < b-a \} \\ & \leq M \frac{h^{n+1}}{(n+1)!}.\end{align*} \)
Wniosek 10.16.
Jeśli pochodna rzędu \( \displaystyle n+1 \) funkcji \( \displaystyle f \) jest ograniczona w przedziale \( \displaystyle (\alpha, \beta) \), to dla dowolnych punktów \( \displaystyle a \) oraz \( \displaystyle a+h \) z tego przedziału mamy oszacowanie
\( \displaystyle \bigg|f(a+h)-\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)} (a)}{k!}h^k\bigg|\leq \frac{M}{(n+1)!}|h|^{n+1}, \)
gdzie \( \displaystyle M:=\sup\{|f^{(n+1)}(t)|, \alpha < t < \beta\} \).
Dowód 10.16.
Jeśli \( \displaystyle h>0 \), wniosek sprowadza się do poprzedniego twierdzenia. Jeśli \( \displaystyle h < 0 \), należy powtórzyć poprzednie rozumowanie
w przedziale \( \displaystyle [a+h,a] \).
Przykład 10.17.
Oszacowanie reszty we wzorze Maclaurina funkcji sinus jest wyjątkowo proste
\( \displaystyle \sin h=h-\frac{h^3}{3!}+\frac{h^5}{5!}+\dots+(-1)^n\frac{h^{2n+1}}{(2n+1)!}+R_{2n+2}, \)
gdzie
\( \displaystyle |R_{2n+2}|=\bigg|\sin^{(2n+2)}(\theta h)\cdot \frac{h^{(2n+2)}}{(2n+2)!}\bigg| \leq \frac{|h|^{(2n+2)}}{(2n+2)!}, \)
gdyż wartość bezwzględna pochodnych dowolnie wysokiego rzędu funkcji sinus jest ograniczona z góry przez 1. Wzór ten pozwala wyznaczyć wartość \( \displaystyle \sin h \) z zadaną z góry dokładnością. Na przykład, chcąc wyznaczyć \( \displaystyle \sin \frac{1}{2} \) z dokładnością do \( \displaystyle 10^{-6} \), wystarczy wskazać taką liczbę \( \displaystyle n \), aby zachodziła nierówność \( \displaystyle |R_{2n+2}| < 10^{-6} \), czyli \( \displaystyle \frac{1}{2^{2n+2}(2n+2)!} < 10^{-6} \). Na mocy wykazanego powyżej wniosku mamy oszacowania:
\( \displaystyle \bigg|\sin \frac{1}{2}-\big(\frac{1}{2}-\frac{1}{2^3\cdot 3!}\big)\bigg|\leq \frac{1}{46080}, \)
natomiast
\( \displaystyle \bigg|\sin \frac{1}{2}-\big(\frac{1}{2}-\frac{1}{2^3\cdot 3!}+\frac{1}{2^5\cdot 5!}\big)\bigg|\leq \frac{1}{10321920}, \)
a więc suma \( \displaystyle \frac{1}{2}-\frac{1}{48}+\frac{1}{3840} \) różni się (a dokładniej: jest większa) o nie więcej niż jedną dziesięciomilionową od \( \displaystyle \sin\frac{1}{2} \).
Przykład 10.18.
Równie łatwo można oszacować resztę we wzorze Maclaurina funkcji cosinus
\( \displaystyle \cos h=1-\frac{h^2}{2}+\frac{h^4}{4!}+\dots+(-1)^n \frac{h^{2n}}{(2n)!}+R_{2n+1}, \)
gdyż wartość bezwzględna pochodnych dowolnie wysokiego rzędu funkcji cosinus jest ograniczona z góry przez 1, więc
\( \displaystyle |R_{2n+1}|=\bigg|\cos^{(2n+1)}(\theta h)\cdot \frac{h^{(2n+1)}}{(2n+1)!}\bigg| \leq \frac{|h|^{(2n+1)}}{(2n+1)!}. \)