Wzór Taylora

Niech $\displaystyle w(x)=a_0 +a_1 x+a_2 x^2 +a_3 x^3\dots +a_{n-1}x^{n-1}+a_n x^n$ będzie wielomianem. Zauważmy, że wartości pochodnych rzędu $\displaystyle k=0,1,2,3,\dots , n, n+1,\dots$ w punkcie $\displaystyle x=0$ wyrażają się prosto za pomocą współczynników tego wielomianu:

$\displaystyle \begin{align*} w(0) & =a_0 \\ w'(0) & =a_1, \\ \text{ gdyż }w'(x) & =0+a_1 +2 a_2 x+3a_3 x^2 +\dots +(n-1)a_{n-1}x^{n-2}+n a_n x^{n-1} \\ w''(0) & =2 a_2, \\ \text{ gdyż }w''(x) & =0+0 +2 a_2 +3\cdot 2 a_3 x +\dots +(n-1)(n-2)a_{n-1}x^{n-3}+n(n-1) a_n x^{n-2} \\ w^{(3)}(0) & =3\cdot 2 a_3, \\ \text{ gdyż }w^{(3)}(x) & =0+0 +0 +3\cdot 2 a_3 +\dots +(n-1)(n-2)(n-3)a_{n-1}x^{n-4}+n(n-1)(n-2) a_n x^{n-3} \\ & \vdots \\ w^{(n-1)}(0) & =(n-1)! a_{n-1}, \\ \text{ gdyż }w^{(n-1)}(x) & =0+0 +0 +0 +\dots +(n-1)!a_{n-1}+n! a_n x \\ w^{(n)}(0) & =n! a_{n}, \\ \text{ gdyż }w^{(n)}(x) & =0+0 +0 +0 +\dots +0+n! a_n \\ w^{(n+1)}(0) & =0, \\ \text{ gdyż }w^{(n+1)}(x) & =0+0 +0 +0 +\dots +0+0 \text{ dla dowolnej liczby } x.\end{align*}$

Każda następna pochodna rzędu wyższego niż stopień wielomianu $\displaystyle w$ jest równa zeru, i to nie tylko w punkcie zero, ale w każdym punkcie $\displaystyle x\in \mathbb{R}$.

Uogólnieniem tej obserwacji jest następujące twierdzenie Taylora:

Twierdzenie 10.9.

Niech $\displaystyle f:(\alpha, \beta)\mapsto \mathbb{R}$ będzie funkcją $\displaystyle n+1$ krotnie różniczkowalną w przedziale $\displaystyle (\alpha, \beta)$. Wówczas dla dowolnych punktów $\displaystyle a$, $\displaystyle b$ takich, że $\displaystyle \alpha < a < b < \beta$ istnieje punkt $\displaystyle \xi_{n+1}\in (a,b)$ taki, że

$\displaystyle f(b)=T^{n}_a f(b)+\frac{1}{(n+1)!}f^{(n+1)}(\xi_{n+1})(b-a)^{n+1},$

gdzie

$\begin{array}{lll} \displaystyle T^{n}_a f (b) & = & \displaystyle f(a)+f'(a)(b-a)+\frac{f''(a)}{2!}(b-a)^2+\dots \\ & + & \displaystyle \frac{f^{(n-1)}(a)}{(n-1)!}(b-a)^{n-1}+\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(b-a)^{n}.\end{array}$

Definicja 10.10.

Wielomian

$\displaystyle \begin{align*} T^{n}_a f : \mathbb{R}\ni x\mapsto T^{n}_a f(x) & =\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k \\ & =f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\dots+\frac{f^{(n-1)}(a)}{(n-1)!}(x-a)^{n-1}+\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^{n}\end{align*}$

nazywamy wielomianem Taylora rzędu $\displaystyle n$ funkcji $\displaystyle f$ o środku w punkcie $\displaystyle a$.

Nim wykażemy twierdzenie Taylora, zauważmy, że z założenia o istnieniu pochodnej rzędu $\displaystyle n+1$ funkcji $\displaystyle f$ w przedziale $\displaystyle (\alpha, \beta)$ wynika, że funkcja $\displaystyle f$ i wszystkie jej pochodne $\displaystyle f', \ f'', \ f^{(3)}, \dots, f^{(n-1)}, f^{(n)}$ aż do rzędu $\displaystyle n$ włącznie, istnieją i są ciągłe w tym przedziale.

Zauważmy też, że w przypadku $\displaystyle n=1$ twierdzenie Taylora sprowadza się do twierdzenia Lagrange'a:

$\displaystyle f(b)=f(a)+f'(\xi_1)(b-a).$

Dowód 10.9.

(twierdzenia Taylora) Niech $\displaystyle M$ będzie stałą określoną tak, że zachodzi równość

$\displaystyle f(b)=T^{n}_a f(b)+M(b-a)^{n+1}.$

Aby dowieść twierdzenia, wystarczy pokazać, że istnieje punkt $\displaystyle \xi_{n+1}\in (a,b)$ taki, że $\displaystyle (n+1)!M=f^{(n+1)}(\xi_{n+1})$. Rozważmy dla $\displaystyle t\in[a,b]$ funkcję

$\displaystyle g(t):=f(t)-T^{n}_a f(t)-M(t-a)^{n+1}.$

Zauważmy, że $\displaystyle g(a)=0$ i z określenia stałej $\displaystyle M$ mamy również: $\displaystyle g(b)=0$. Z twierdzenia Rolle'a wynika więc, że istnieje $\displaystyle \xi_1\in (a,b)$ taki, że $\displaystyle g'(\xi_1)=0$. Zauważmy następnie, że nie tylko funkcja $\displaystyle g$, ale również kolejne jej pochodne $\displaystyle g^{(k)}$ dla $\displaystyle k=1,2,\dots, n$ zerują się w punkcie $\displaystyle a$. Wobec tego, że $\displaystyle g'(a)=0$ i $\displaystyle g'(\xi_1)=0$, z twierdzenia Rolle'a, wnioskujemy o istnieniu kolejnego punktu $\displaystyle \xi_2\in (a, \xi_1)$, w którym zeruje się druga pochodna funkcji $\displaystyle g$, tj. $\displaystyle g''(\xi_2)=0$. Powtarzając rozumowanie dla kolejnych pochodnych $\displaystyle g^{(k)}$, $\displaystyle k=1,2,\dots, n$ na podstawie twierdzenia Rolle'a wnioskujemy o istnieniu punktów $\displaystyle \xi_{k+1}\in (a, \xi_k )$ takich, że $\displaystyle g^{(k+1)}(\xi_{k+1})=0$. Zwróćmy uwagę, iż ostatni ze znalezionych punktów $\displaystyle \xi_{n+1}$ jest tym punktem, którego istnienie postulujemy w tezie twierdzenia. Zauważmy, że pochodna rzędu $\displaystyle n+1$ funkcji $\displaystyle g$ wynosi

$\displaystyle \begin{align*} \frac{d^{n+1}}{dt^{n+1}}g(t) & =\frac{d^{n+1}}{dt^{n+1}}\big(f(t)-T^{n}_a f(t)-M(t-a)^{n+1}\big) \\ & =f^{(n+1)}(t)-0-(n+1)!M. \end{align*}$

(Pochodna rzędu $\displaystyle n+1$ wielomianu $\displaystyle t\mapsto T_a^n f(t)$ jest w każdym punkcie równa zeru, gdyż wielomian ten jest stopnia co najwyżej $\displaystyle n$.) Stąd $\displaystyle 0=g^{(n+1)}(\xi_{n+1})=f^{(n+1)}(\xi_{n+1})-(n+1)! M$.

Jednym z ważniejszych wniosków z wykazanego twierdzenia jest warunek wystarczający istnienia ekstremum funkcji dwukrotnie różniczkowalnej.

wykres

Twierdzenie 10.11.

Niech $\displaystyle f:(a,b) \mapsto \mathbb{R}$ będzie funkcją klasy $\displaystyle C^2$ w przedziale $\displaystyle (a,b)$ (czyli funkcją dwukrotnie różniczkowalną o ciągłej drugiej pochodnej $\displaystyle f''$ w przedziale $\displaystyle (a,b)$). Załóżmy, że w punkcie $\displaystyle x_0\in (a,b)$ pochodna $\displaystyle f'(x_0)$ zeruje się.

a) Jeśli $\displaystyle f''(x_0)>0$, to $\displaystyle f$ osiąga minimum lokalne w punkcie $\displaystyle x_0$.

b) Jeśli $\displaystyle f''(x_0) < 0$, to $\displaystyle f$ osiąga maksimum lokalne w punkcie $\displaystyle x_0$.

Dowód 10.11.

a) Załóżmy, że $\displaystyle f''(x_0)>0$. Ze wzoru Taylora i z założenia o zerowaniu się pierwszej pochodnej $\displaystyle f'$ danej funkcji mamy

$\displaystyle \begin{array}{lll} f(x_0+h) & = & f(x_0)+f'(x_0)+\frac{1}{2}f''(x_0+\theta h) \\ & = & f(x_0)+0+\frac{1}{2}f''(x_0+\theta h),\end{array}$

gdzie $\displaystyle \theta$ jest pewną liczbą z przedziału $\displaystyle (0,1)$. Stąd znak różnicy $\displaystyle f(x+h)-f(x)=\frac{1}{2}f''(x_0+\theta h)$ jest taki sam jak znak drugiej pochodnej $\displaystyle f''(x_0+\theta h)$ w pewnym punkcie pośrednim między punktem $\displaystyle x_0$ a $\displaystyle x_0+h$. Z założenia o ciągłości drugiej pochodnej $\displaystyle f''$ na mocy własności Darboux wnioskujemy, że nie tylko w samym punkcie $\displaystyle x_0$ druga pochodna $\displaystyle f''$ jest dodatnia, ale również w pewnym otoczeniu tego punktu. Biorąc więc na tyle mały przyrost $\displaystyle h$, aby zarówno $\displaystyle x_0$ jak i $\displaystyle x_0+h$ należały do przedziału, w którym $\displaystyle f''$ jest dodatnia i nie zeruje się, otrzymamy nierówność $\displaystyle f''(x+\theta h)>0$ również w punkcie pośrednim. Stąd $\displaystyle f$ osiąga minimum lokalne w punkcie $\displaystyle x_0$, gdyż $\displaystyle f(x+h)-f(x)\leq 0$ w pewnym otoczeniu punktu $\displaystyle x_0$. Dowód implikacji b) przebiega podobnie.

Zauważmy, że podane twierdzenie nie rozstrzyga o istnieniu ani o typie ekstremum w przypadku, gdy $\displaystyle f'(x_0)=0$ oraz $\displaystyle f''(x_0)=0$.

wykresy x 2

Przykład 10.12.

Rozważmy funkcje $\displaystyle f_1(x)=-x^4$, $\displaystyle f_2(x)=x^4$, $\displaystyle f_3(x)=x^3$. Łatwo zauważyć, że zarówno pierwsza jak i druga pochodna każdej z tych trzech funkcji w punkcie $\displaystyle x_0=0$ zerują się, podczas gdy $\displaystyle f_1$ osiąga maksimum w tym punkcie, a $\displaystyle f_2$ minimum. Natomiast funkcja $\displaystyle f_3$ w ogóle nie osiąga ekstremum w punkcie $\displaystyle x_0=0$.

Uwaga 10.13.

Wzór, który występuje w tezie twierdzenia Taylora:

$\displaystyle \begin{align*} f(b) & =T^n_a f(b)+\frac{f^{(n+1)}(\xi_{n+1})}{(n+1)!}(b-a)^{n+1} \\ & =\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(b-a)^k+\frac{f^{(n+1)}(\xi_{n+1})}{(n+1)!}(b-a)^{n+1}\end{align*}$

nazywamy wzorem Taylora z resztą Lagrange'a

$\displaystyle R_{n+1}=\frac{f^{(n+1)}(\xi_{n+1})}{(n+1)!}(b-a)^{n+1}.$

Jeśli oznaczymy przyrost argument funkcji przez $\displaystyle h:=b-a$, to wzór ten przyjmie postać

$\displaystyle \begin{align*} f(a+h) & =T^n_a f(a+h)+\frac{f^{(n+1)}(a+\theta h)}{(n+1)!}h^{n+1} \\ & =\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(a)}{k!}h^k+\frac{f^{(n+1)}(a+\theta h)}{(n+1)!}h^{n+1}\end{align*}$

dla pewnej liczby $\displaystyle \theta \in (0,1)$ dobranej tak, aby $\displaystyle a+\theta h=\xi_{n+1}$. Tę postać nazywamy wzorem Taylora z resztą Cauchy'ego

rycina

Augustin Louis Cauchy (1789-1857)

Colin Maclaurin (1698-1746)

$\displaystyle R_{n+1}=\frac{f^{(n+1)}(a+\theta h)}{(n+1)!}h^{n+1}.$

W szczególnym przypadku, gdy $\displaystyle a=0$ otrzymamy wzór

$\displaystyle \begin{align*} f(h) & =T^n_0 f(h)+\frac{f^{(n+1)}(\theta h)}{(n+1)!}h^{n+1} \\ & =\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(0)}{k!}h^k+\frac{f^{(n+1)}(\theta h)}{(n+1)!}h^{n+1},\end{align*}$

który nazywamy wzorem Maclaurina z resztą

$\displaystyle R_{n+1}=\frac{f^{(n+1)}(\theta h)}{(n+1)!}h^{n+1}.$

Uwaga 10.14.

Jeśli $\displaystyle w$ jest wielomianem stopnia $\displaystyle k$, to dla dowolnej liczby $\displaystyle n\geq k$ wielomian Taylora rzędu $\displaystyle n$ o środku w punkcie $\displaystyle a=0$ jest dokładnie równy wielomianowi $\displaystyle w$, to znaczy

$\displaystyle w(h)=w(0)+w'(0)h+\frac{w''(0)}{2!}h^2 +\dots +\frac{w^{(n)}(0)}{n!}h^n +R_{n+1}$   przy czym   $R_{n+1}=0.$

Powstaje naturalne pytanie, czy dla innych funkcji (niekoniecznie wielomianów) wzór Taylora pozwala na przedstawienie funkcji $\displaystyle f$ za pomocą wielomianu Taylora $\displaystyle T^n_a f$ tak, aby reszta $\displaystyle R_{n+1}$ była jak najmniejsza i zmierzała do zera, gdy rośnie $\displaystyle n$, czyli gdy rośnie stopień wielomianu Taylora funkcji $\displaystyle f$.

Odpowiedź na pytanie uzyskamy, stosując np. wzór Taylora z resztą Cauchy'ego.

Twierdzenie 10.15.

Niech $\displaystyle f:(\alpha, \beta)\mapsto \mathbb{R}$ będzie funkcją $\displaystyle n+1$ krotnie różniczkowalną i niech $\displaystyle \alpha < a < b < \beta$. Jeśli

$\displaystyle M:=\sup\{|f^{(n+1)}(t)|, t\in [a,b]\} < \infty$

(czyli wartość bezwzględna pochodnej rzędu $\displaystyle (n+1)$ funkcji $\displaystyle f$ jest ograniczona przez stałą $\displaystyle M$, która nie zależy od wyboru punktu $\displaystyle t$ z przedziału $\displaystyle [a, b]$), to dla dowolnej liczby $\displaystyle h$ takiej, że $\displaystyle 0\leq h\leq b-a$, zachodzi oszacowanie:

$\displaystyle \bigg|f(a+h)-\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)} (a)}{k!}h^k\bigg|\leq \frac{M}{(n+1)!}h^{n+1}.$

Dowód 10.15.

Szacując resztę we wzorze Taylora (z resztą Cauchy'ego), otrzymamy:

$\displaystyle \begin{align*} \bigg|f(a+h)-\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)} (a)}{k!}h^k\bigg| & =\bigg|\frac{f^{(n+1)}(a+\theta h)}{(n+1)!}h^{n+1}\bigg| \\ & \leq \frac{h^{n+1}}{(n+1)!}\sup\{|f^{(n+1)}(a+\theta h)|, 0 < \theta h < b-a \} \\ & \leq M \frac{h^{n+1}}{(n+1)!}.\end{align*}$

Wniosek 10.16.

Jeśli pochodna rzędu $\displaystyle n+1$ funkcji $\displaystyle f$ jest ograniczona w przedziale $\displaystyle (\alpha, \beta)$, to dla dowolnych punktów $\displaystyle a$ oraz $\displaystyle a+h$ z tego przedziału mamy oszacowanie

$\displaystyle \bigg|f(a+h)-\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)} (a)}{k!}h^k\bigg|\leq \frac{M}{(n+1)!}|h|^{n+1},$

gdzie $\displaystyle M:=\sup\{|f^{(n+1)}(t)|, \alpha < t < \beta\}$.

Dowód 10.16.

Jeśli $\displaystyle h>0$, wniosek sprowadza się do poprzedniego twierdzenia. Jeśli $\displaystyle h < 0$, należy powtórzyć poprzednie rozumowanie

w przedziale $\displaystyle [a+h,a]$.

wykres

Przykład 10.17.

Oszacowanie reszty we wzorze Maclaurina funkcji sinus jest wyjątkowo proste

$\displaystyle \sin h=h-\frac{h^3}{3!}+\frac{h^5}{5!}+\dots+(-1)^n\frac{h^{2n+1}}{(2n+1)!}+R_{2n+2},$

gdzie

$\displaystyle |R_{2n+2}|=\bigg|\sin^{(2n+2)}(\theta h)\cdot \frac{h^{(2n+2)}}{(2n+2)!}\bigg| \leq \frac{|h|^{(2n+2)}}{(2n+2)!},$

gdyż wartość bezwzględna pochodnych dowolnie wysokiego rzędu funkcji sinus jest ograniczona z góry przez 1. Wzór ten pozwala wyznaczyć wartość $\displaystyle \sin h$ z zadaną z góry dokładnością. Na przykład, chcąc wyznaczyć $\displaystyle \sin \frac{1}{2}$ z dokładnością do $\displaystyle 10^{-6}$, wystarczy wskazać taką liczbę $\displaystyle n$, aby zachodziła nierówność $\displaystyle |R_{2n+2}| < 10^{-6}$, czyli $\displaystyle \frac{1}{2^{2n+2}(2n+2)!} < 10^{-6}$. Na mocy wykazanego powyżej wniosku mamy oszacowania:

$\displaystyle \bigg|\sin \frac{1}{2}-\big(\frac{1}{2}-\frac{1}{2^3\cdot 3!}\big)\bigg|\leq \frac{1}{46080},$

natomiast

$\displaystyle \bigg|\sin \frac{1}{2}-\big(\frac{1}{2}-\frac{1}{2^3\cdot 3!}+\frac{1}{2^5\cdot 5!}\big)\bigg|\leq \frac{1}{10321920},$

a więc suma $\displaystyle \frac{1}{2}-\frac{1}{48}+\frac{1}{3840}$ różni się (a dokładniej: jest większa) o nie więcej niż jedną dziesięciomilionową od $\displaystyle \sin\frac{1}{2}$.

Przykład 10.18.

Równie łatwo można oszacować resztę we wzorze Maclaurina funkcji cosinus

$\displaystyle \cos h=1-\frac{h^2}{2}+\frac{h^4}{4!}+\dots+(-1)^n \frac{h^{2n}}{(2n)!}+R_{2n+1},$

gdyż wartość bezwzględna pochodnych dowolnie wysokiego rzędu funkcji cosinus jest ograniczona z góry przez 1, więc

$\displaystyle |R_{2n+1}|=\bigg|\cos^{(2n+1)}(\theta h)\cdot \frac{h^{(2n+1)}}{(2n+1)!}\bigg| \leq \frac{|h|^{(2n+1)}}{(2n+1)!}.$