Efektywne wyznaczanie granic funkcji w przypadku symboli nieoznaczonych typu \( \displaystyle \frac{0}{0} \), \( \displaystyle \frac{\infty}{\infty} \) często zdecydowanie upraszcza zastosowanie twierdzenia, które nazywamy regułą de l'Hospitala.
Niech \( \displaystyle f,g: (a,b) \mapsto \mathbb{R} \) będą funkcjami różniczkowalnymi w przedziale \( \displaystyle (a,b) \), przy czym \( \displaystyle -\infty\leq a < b\leq \infty \). Załóżmy, że istnieje granica ilorazu pochodnych \( \displaystyle \lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)} \) i jest równa \( \displaystyle c\in \overline{\mathbb{R}} \). Jeśli istnieją granice funkcji
\( \displaystyle \lim_{x\to a}f(x)=0 \text{ oraz }\lim_{x\to a }g(x)=0, \)
to istnieje granica ilorazu funkcji w punkcie \( \displaystyle a \) i jest równa granicy ilorazu pochodnych w tym punkcie, tj.
\( \displaystyle \lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=c. \)
Dowód 11.1.
(szkic) Twierdzenie wykażemy w przypadku, gdy granica ilorazu pochodnych \( \displaystyle c\in\mathbb{R} \) jest skończona. Załóżmy również dodatkowo (aby uprościć dowód), że \( \displaystyle f(a)=g(a)=0 \). Niech \( \displaystyle h>0 \) będzie dowolną liczbą taką, że \( \displaystyle a+h < b \). Z twierdzenia Cauchy'ego wynika, że dla pewnej liczby \( \displaystyle \xi \in (a, a+h) \) zachodzi równość:
\( \displaystyle \frac{f(a+h)-f(a)}{g(a+h)-g(a)}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}, \)
czyli
\( \displaystyle \frac{f(a+h)}{g(a+h)}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}, \) gdyż \( f(a)=g(a)=0. \)
Wartość \( \displaystyle \xi \) zależy od wyboru \( \displaystyle h \). Jeśli punkt \( \displaystyle a+h \) zmierza do \( \displaystyle a \), punkt pośredni \( \displaystyle \xi \) również będzie zmierzał do \( \displaystyle a \). Wobec tego w granicy przy \( \displaystyle h\to 0 \) dostajemy równość:
\( \displaystyle \lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)}{g(a+h)}=\lim_{\xi\to a}\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}. \)
Stąd jeśli istnieje granica ilorazu pochodnych \( \displaystyle \lim_{\xi\to a}\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)} \) w punkcie \( \displaystyle a \), to istnieje również granica ilorazu funkcji \( \displaystyle\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} \) w tym punkcie i są one równe.
Uwaga 11.2.
Zastosowanie wzoru z tezy reguły de l'Hospitala jest możliwe po sprawdzeniu, czy licznik i mianownik ułamka \( \displaystyle x\mapsto\frac{f(x)}{g(x)} \) spełniają wszystkie założenia podanego twierdzenia, tj.
- czy obie funkcje są różniczkowalne w sąsiedztwie punktu \( \displaystyle a \),
- czy istnieje granica ilorazu pochodnych \( \displaystyle \frac{f'(x)}{g'(x)} \) w punkcie \( \displaystyle a \),
- czy obie funkcje \( \displaystyle f \) oraz \( \displaystyle g \) zmierzają do zera w punkcie \( \displaystyle a \).
Jeśli którekolwiek z tych założeń nie jest spełnione, nie należy stosować reguły de l'Hospitala, gdyż nie ma żadnej gwarancji, czy granica ilorazu pochodnych ma jakikolwiek związek z istnieniem i wartością granicy ilorazu funkcji. Pamiętajmy także, że zapis (którego w ramach wykładu będziemy unikać, a który jest powszechny w większości zbiorów zadań i w podręcznikach)
\( \displaystyle \lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)} \)
należy rozumieć w ten sposób, że uprzednio sprawdzono, iż spełnione są założenia reguły de l'Hospitala i - wobec tego - wnioskujemy o istnieniu granicy ilorazu funkcji i o równości tej granicy z granicą ilorazu pochodnych.
W wersji podanej powyżej reguła de l'Hospitala stanowi narzędzie do badania istnienia granic ilorazu \( \displaystyle \frac{f}{g} \) w przypadku nieoznaczoności typu \( \displaystyle \frac{0}{0} \). Prawdziwe jest również następujące twierdzenie
Twierdzenie 11.3.
Niech \( \displaystyle f,g: (a,b) \mapsto \mathbb{R} \) będą funkcjami różniczkowalnymi w przedziale \( \displaystyle (a,b) \), przy czym \( \displaystyle -\infty\leq a < b\leq \infty \). Załóżmy, że istnieje granica ilorazu pochodnych \( \displaystyle \lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)} \) i jest równa \( \displaystyle c\in \overline{\mathbb{R}} \). Jeśli istnieją granice funkcji
\( \displaystyle \lim_{x\to a}f(x)=\infty \text{ oraz }\lim_{x\to a }g(x)=\infty, \)
to istnieje granica ilorazu funkcji w punkcie \( \displaystyle a \) i jest równa granicy ilorazu pochodnych w tym punkcie, tj.
\( \displaystyle \lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=c. \)
Dowód tego twierdzenia pomijamy. Zwróćmy jednak uwagę, że mając narzędzie do badania istnienia granicy ilorazu funkcji \( \displaystyle \frac{f}{g} \) w przypadku nieoznaczoności typu \( \displaystyle \frac{0}{0} \), możemy go także użyć w przypadku nieoznaczoności typu \( \displaystyle \frac{\infty}{\infty} \). Wystarczy bowiem iloraz \( \displaystyle \frac{f}{g} \) zastąpić odwrotnością ilorazu odwrotności funkcji \( \displaystyle f \), \( \displaystyle g \), tj.
\( \displaystyle \frac{f}{g}=\frac{\frac{1}{g}}{\frac{1}{f}}, \)
gdyż iloraz \( \displaystyle\frac{\frac{1}{g}}{\frac{1}{f}} \) jest symbolem typu \( \displaystyle \frac{0}{0} \), gdy \( \displaystyle \frac{f}{g} \) jest symbolem nieoznaczonym typu \( \displaystyle \frac{\infty}{\infty} \).
Przykład 11.4.
Dla dowolnej liczby naturalnej \( \displaystyle n \) istnieje granica
\( \displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{x^n}{\exp x}=0. \)
Niech \( \displaystyle n=1 \). Iloraz \( \displaystyle \frac{x}{\exp x} \) spełnia założenia reguły de l'Hospitala, gdyż obie funkcje są różniczkowalne w \( \displaystyle \mathbb{R} \), iloraz \( \displaystyle \frac{x}{\exp x} \) stanowi symbol nieoznaczony \( \displaystyle \frac{\infty}{\infty} \) przy \( \displaystyle x\to\infty \) i istnieje granica ilorazu pochodnych
\( \displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{(x)'}{(\exp x)'}=\lim_{x\to\infty}\frac{1}{\exp x}=0. \)
Stąd istnieje
\( \displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{x}{\exp x}=0. \)
Zauważmy, że dla dowolnej liczby naturalnej \( \displaystyle k\geq 1 \) prawdziwa jest implikacja
\( \displaystyle \bigg[\exists\lim_{x\to\infty}\frac{x^k}{\exp x}=0\bigg]\Longrightarrow \bigg[\exists\lim_{x\to\infty}\frac{x^{k+1}}{\exp x}=0\bigg]. \)
Skoro istnieje \( \displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{x^k}{\exp x}=0 \), to istnieje granica ilorazu pochodnych funkcji \( \displaystyle x\mapsto x^{k+1} \) i \( \displaystyle x\mapsto \exp x \), gdyż
\( \displaystyle \frac{(x^{k+1})'}{(\exp x)'}=(k+1)\frac{x^k}{\exp x}\to 0, \) gdy \( x\to\infty. \)
Z reguły de l'Hospitala wynika więc, że istnieje \( \displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{x^{k+1}}{\exp x}=0. \) Na mocy zasady indukcji matematycznej granica \( \displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{x^n}{\exp x}=0 \) istnieje dla dowolnej liczby naturalnej \( \displaystyle n \).
Wniosek 11.5.
Jeśli \( \displaystyle w \) jest dowolnym wielomianem, to \( \displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{w(x)}{\exp x}=0 \). Innymi słowy: funkcja wykładnicza \( \displaystyle \exp \) zmierza do nieskończoności szybciej niż jakikolwiek wielomian.
Dowód 11.5.
Każdy wielomian jest sumą skończonej liczby jednomianów \( \displaystyle w(x)=a_0+a_1 x+\dots+a_n x^n \). Skoro iloraz dowolnego jednomianu i funkcji wykładniczej zmierza do zera, to na podstawie twierdzenia o granicy sumy wnioskujemy, że suma ilorazów
\( \displaystyle a_0 \frac{1}{\exp x}+a_1\frac{ x}{\exp x}+\dots +a_n \frac{x^n}{\exp x} \)
także zmierza do zera, gdy \( \displaystyle x\to \infty \).
Wniosek 11.6.
Dla dowolnej liczby rzeczywistej \( \displaystyle a \) istnieje \( \displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{x^a}{\exp x}=0 \).
Dowód 11.6.
Dla dowolnej liczby \( \displaystyle a\in \mathbb{R} \) potrafimy znaleźć liczbę naturalną \( \displaystyle n \) większą od \( \displaystyle |a| \). Wówczas dla \( \displaystyle x>1 \) mamy
\( \displaystyle 0\leq \frac{x^a}{\exp x} \leq \frac{x^n}{\exp x}. \)
Skoro \( \displaystyle \frac{x^n}{\exp x}\to 0 \), gdy \( \displaystyle x\to\infty \), to na podstawie twierdzenia o trzech ciągach istnieje \( \displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{x^a}{\exp x}=0 \).
W poprzednim module rozważaliśmy funkcję
\( \displaystyle f(t)=\left\{ \begin{align*} & \exp(-t^{-1}), & \text{ dla } t>0 \\ & 0, & \text{ dla } t\leq 0 \end{align*} .\right. \)
i pozostawiliśmy bez dowodu stwierdzenie, że
Uwaga 11.7.
Funkcja \( \displaystyle f \) ma w punkcie \( \displaystyle t=0 \) pochodne dowolnie wysokiego rzędu równe zeru.
Dowód 11.7.
Dla \( \displaystyle h < 0 \) iloraz różnicowy \( \displaystyle \frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\frac{0-0}{h}=0 \). Z kolei dla \( \displaystyle h>0 \) mamy
\( \displaystyle \frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\frac{\exp(-h^{-1})-0}{h}=\frac{h^{-1}}{\exp(h^{-1})}=\frac{x}{\exp x} \),gdzie \( x=h^{-1} \).
Zauważmy, że \( \displaystyle x\to\infty \), gdy \( \displaystyle h\to 0^{+} \). Ponieważ istnieje granica \( \displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{x}{\exp x}=0 \), więc istnieje również granica \( \displaystyle\lim_{h\to 0+}\frac{h^{-1}}{\exp(h^{-1})}=0. \) Stąd istnieje \( \displaystyle f'(0)=0 \). Dla \( \displaystyle x\neq 0 \) wyznaczamy pochodną, korzystając z twierdzenia o pochodnej złożenia funkcji i dostajemy (po uwzględnieniu istnienia pochodnej w zerze)
\( \displaystyle f'(t)=\{ \begin{align*} & t^{-2}\exp(-t^{-1}), & \text{ dla } t>0 \\ & 0, & \text{ dla } t\leq 0 \end{align*} . \)
Rozważmy następnie iloraz różnicowy \( \displaystyle \frac{f'(0+h)-f'(0)}{h} \). Dla \( \displaystyle h < 0 \) mamy \( \displaystyle \frac{f'(0+h)-f'(0)}{h}=\frac{0-0}{h}=0 \), natomiast gdy \( \displaystyle h>0 \) zachodzi równość
\( \displaystyle \frac{f'(0+h)-f'(0)}{h}=\frac{h^{-2}\exp(-h^{-1})-0}{h}=\frac{h^{-3}}{\exp(h^{-1})}=\frac{x^3}{\exp x} \) gdzie \( x=h^{-1}. \)
Podobnie jak poprzednio, ponieważ istnieje granica \( \displaystyle \lim_{x \to\infty}\frac{x^3}{\exp x}=0 \), więc istnieje również granica
\( \displaystyle\lim_{h\to 0+}\frac{h^{-3}}{\exp(h^{-1})}=0. \)
Stąd istnieje \( \displaystyle f''(0)=0 \). Wobec tego, że dla \( \displaystyle t < 0 \) mamy \( \displaystyle f''(t)=0 \), a dla dodatnich \( \displaystyle t>0 \) - na mocy twierdzeń o pochodnej iloczynu oraz złożenia funkcji - zachodzi równość
\( \displaystyle \begin{align*} f''(t) & = \big(t^{-2}\exp(-t^{-1})\big)' \\ & =(t^{-2})'\exp(-t^{-1})+t^{-2}\big(\exp(-t^{-1})\big)' \\ & = -2t^{-3}\exp(-t^{-1})+t^{-2}(t^{-2})\exp(-t^{-1}) \\ & =(-2t^{-3}+t^{-4})\exp(-t^{-1}).\end{align*} \)
Wobec tego druga pochodna \( \displaystyle f'' \) istnieje w każdym punkcie \( \displaystyle t \) i wyraża się wzorem
\( \displaystyle f''(t)=\left\{ \begin{align*} & (t^{-4}-2t^{-3})\exp(-t^{-1}), & \text{ dla }& t>0 \\ & 0, & \text{ dla }& t\leq 0. \end{align*} \right. \)
Kontynuując rozumowanie spostrzegamy, że dla dowolnej liczby naturalnej \( \displaystyle k \) pochodna rzędu \( \displaystyle k \) funkcji \( \displaystyle f \) wyraża się wzorem
\( \displaystyle f^{(k)}(t)=\left\{ \begin{align*} & v(t^{-1})\exp(-t^{-1}), & \text{ dla } t>0 \\ & 0, & \text{ dla } t\leq 0, \end{align*} \right. \)
gdzie \( \displaystyle x\mapsto v(x) \) jest pewnym wielomianem zmiennej \( \displaystyle x \) (podstawiamy \( \displaystyle x=t^{-1} \)). Wobec tego iloraz różnicowy w zerze pochodnej rzędu \( \displaystyle k \) funkcji \( \displaystyle f \) jest postaci
\( \displaystyle \frac{f^{(k)}(0+h)-f^{(k)}(0)}{h}=\left\{\begin{align*} & 0, & \text{ dla } h < 0, \\ & \frac{w(t^{-1})}{\exp (t^{-1})}, & \text{ dla } h>0,\end{align*} \right. \)
gdzie \( \displaystyle w: x\mapsto w(x) \) jest także pewnym wielomianem. Po podstawieniu za \( \displaystyle t^{-1}=x \), wobec istnienia
granicy \( \displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{w(x)}{\exp x}=0 \) wnioskujemy o istnieniu granicy \( \displaystyle\lim_{t\to 0+}\frac{w(t^{-1})}{\exp (t^{-1})}=0 \). W oczywisty sposób istnieje także granica ilorazu różnicowego przy \( \displaystyle h\to 0^{-} \), więc istnieje \( \displaystyle f^{(k+1)}(0)=0 \). Na mocy zasady indukcji matematycznej istnieje więc \( \displaystyle f^{(n)}(0)=0 \) dla dowolnej liczby naturalnej \( \displaystyle n \).
Porównajmy zachowanie w sąsiedztwie zera oraz nieskończoności funkcji logarytmicznej i funkcji \( \displaystyle x\mapsto x^a \), gdy \( \displaystyle a>0 \). Wykażemy, że
Uwaga 11.8.
Dla dowolnej liczby rzeczywistej \( \displaystyle a>0 \) istnieją granice
\( \displaystyle \lim_{x\to 0+} x^a \ln x=0 \ \text{ oraz } \lim_{x\to \infty} \frac{ \ln x}{x^a}=0. \)
Dowód 11.8.
Obie funkcje \( \displaystyle x\mapsto \ln x \) oraz \( \displaystyle x\mapsto x^{-a} \) są różniczkowalne w prawostronnym sąsiedztwie zera i istnieją granice \( \displaystyle\lim_{x\to 0+} \ln x=-\infty \) oraz \( \displaystyle\lim_{x\to 0+} x^{-a}=\infty \). Ponadto iloraz pochodnych tych funkcji
\( \displaystyle \frac{(\ln x)'}{(x^{-a})'}=\frac{x^{-1}}{-ax^{-a-1}}=-a^{-1}x^{a} \)
zmierza do zera, gdy \( \displaystyle x\to 0+ \) dla dowolnej liczby \( \displaystyle a>0 \). Stąd na mocy reguły de l'Hospitala istnieje
\( \displaystyle \lim_{x\to 0+} x^a \ln x=0. \)
Z kolei przy \( \displaystyle x\to\infty \) mamy \( \displaystyle \ln x\to \infty \), \( \displaystyle x^a\to\infty \) dla \( \displaystyle a>0 \). Iloraz pochodnych tych funkcji
\( \displaystyle \frac{(\ln x)'}{(x^a)'}=\frac{x^{-1}}{ax^{a-1}}=\frac{1}{ax^a} \)
zmierza do zera przy \( \displaystyle x\to \infty \) dla dowolnej liczby \( \displaystyle a>0 \). Stąd na mocy reguły de l'Hospitala istnieje także
\( \displaystyle \lim_{x\to \infty} \frac{\ln x}{x^a}=0. \)
Uwagę można podsumować krótko stwierdzeniem, że funkcja logarytmiczna zmierza do nieskończoności wolniej niż jakakolwiek potęga zmiennej \( \displaystyle x \) o dodatnim wykładniku. W sąsiedztwie zera z kolei funkcja logarytmiczna zmierza tak wolno do minus nieskończoności, że pomnożenie jej przez jakąkolwiek potęgę zmiennej \( \displaystyle x \) o dodatnim wykładniku stanowi wyrażenie zbieżne do zera.
Reguła de l'Hospitala pozwala łatwo wykazać istnienie szeregu ważnych granic.
Twierdzenie 11.9.
Istnieją granice
a) \( \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1 \),
b) \( \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2} \),
c) \( \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\ln (1+x)}{x}=1 \),
d) \( \displaystyle \lim_{x\to\infty}\big(1+\frac{a}{x}\big)^x=\exp a \), dla dowolnej liczby \( \displaystyle a\in\mathbb{R} \).
Dowód 11.9.
a) Funkcje \( \displaystyle f(x)=\sin x \) i \( \displaystyle g(x)=x \) są różniczkowalne, zmierzają do zera, gdy argument \( \displaystyle x \) zmierza do zera i istnieje granica ilorazu ich pochodnych \( \displaystyle\frac{(\sin x)'}{(x)'}=\frac{\cos x}{1}\to 1 \), gdy \( \displaystyle x\to 0 \). Stąd na mocy reguły de l'Hospitala istnieje \( \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1 \).
b) Funkcje \( \displaystyle f(x)=1- \cos x \) i \( \displaystyle g(x)=x^2 \) są różniczkowalne, zmierzają do zera, gdy argument \( \displaystyle x \) zmierza do zera i istnieje granica ilorazu ich pochodnych \( \displaystyle\frac{(1-\cos x)'}{(x^2)'}=\frac{\sin x}{2x}=\frac{1}{2}\frac{\sin x}{x}\to \frac{1}{2} \) na mocy punktu a). Stąd istnieje także \( \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2} \).
c) Podobnie jak w obu poprzednich punktach \( \displaystyle f(x)=\ln (1+x) \) i \( \displaystyle g(x)=x \) są różniczkowalne, zmierzają do zera, gdy argument \( \displaystyle x \) zmierza do zera i istnieje granica ilorazu ich pochodnych \( \displaystyle\frac{(\ln (1+x))'}{(x)'}=\frac{1}{x+1}\to 1 \), gdy \( \displaystyle x\to 0 \). Stąd istnieje \( \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\ln (1+x)}{x}=1 \).
d) Wyrażenie \( \displaystyle \big(1+\frac{a}{x}\big)^x \) stanowi przy \( \displaystyle x\to \infty \) symbol nieoznaczony typu \( \displaystyle 1^\infty \). Przekształćmy je
\( \displaystyle \big(1+\frac{a}{x}\big)^x=\exp\bigg(x\ln\big(1+\frac{a}{x}\big)\bigg). \)
Zauważmy, że wykładnik
\( \displaystyle x\ln\big(1+\frac{a}{x}\big)=a\cdot \frac{\ln\big(1+\frac{a}{x}\big)}{\frac{a}{x}}\to a\cdot 1, \text{ gdy } x\to \infty, \)
gdyż na mocy poprzedniego punktu iloraz \( \displaystyle \frac{\ln(1+t)}{t} \) zmierza do jedynki, gdy \( \displaystyle t=\frac{a}{x} \) zmierza do zera. Stąd wobec ciągłości funkcji wykładniczej istnieje granica
\( \displaystyle \lim_{x\to \infty}\exp\bigg(x\ln\big(1+\frac{a}{x}\big)\bigg)=\exp a. \)
Zwróćmy uwagę, że z faktu istnienia granicy ciągu \( \displaystyle a_n = (1+\frac{1}{n})^n \), nie można wyciągnąć bezpośrednio wniosku o istnieniu granicy funkcji \( \displaystyle f(x)=\big(1+\frac{a}{x}\big)^x \) przy \( \displaystyle x\to \infty \), stąd dowód punktu d) uwagi jest konieczny, aby stwierdzić, że granica ta istnieje.