Efektywne wyznaczanie granic funkcji w przypadku symboli nieoznaczonych typu 00, ∞∞ często zdecydowanie upraszcza zastosowanie twierdzenia, które nazywamy regułą de l'Hospitala.
Niech f,g:(a,b)↦R będą funkcjami różniczkowalnymi w przedziale (a,b), przy czym −∞≤a<b≤∞. Załóżmy, że istnieje granica ilorazu pochodnych lim i jest równa \displaystyle c\in \overline{\mathbb{R}} . Jeśli istnieją granice funkcji
\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)=0 \text{ oraz }\lim_{x\to a }g(x)=0,
to istnieje granica ilorazu funkcji w punkcie \displaystyle a i jest równa granicy ilorazu pochodnych w tym punkcie, tj.
\displaystyle \lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=c.
Dowód 11.1.
(szkic) Twierdzenie wykażemy w przypadku, gdy granica ilorazu pochodnych \displaystyle c\in\mathbb{R} jest skończona. Załóżmy również dodatkowo (aby uprościć dowód), że \displaystyle f(a)=g(a)=0 . Niech \displaystyle h>0 będzie dowolną liczbą taką, że \displaystyle a+h < b . Z twierdzenia Cauchy'ego wynika, że dla pewnej liczby \displaystyle \xi \in (a, a+h) zachodzi równość:
\displaystyle \frac{f(a+h)-f(a)}{g(a+h)-g(a)}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)},
czyli
\displaystyle \frac{f(a+h)}{g(a+h)}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}, gdyż f(a)=g(a)=0.
Wartość \displaystyle \xi zależy od wyboru \displaystyle h . Jeśli punkt \displaystyle a+h zmierza do \displaystyle a , punkt pośredni \displaystyle \xi również będzie zmierzał do \displaystyle a . Wobec tego w granicy przy \displaystyle h\to 0 dostajemy równość:
\displaystyle \lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)}{g(a+h)}=\lim_{\xi\to a}\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}.
Stąd jeśli istnieje granica ilorazu pochodnych \displaystyle \lim_{\xi\to a}\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)} w punkcie \displaystyle a , to istnieje również granica ilorazu funkcji \displaystyle\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} w tym punkcie i są one równe.
Uwaga 11.2.
Zastosowanie wzoru z tezy reguły de l'Hospitala jest możliwe po sprawdzeniu, czy licznik i mianownik ułamka \displaystyle x\mapsto\frac{f(x)}{g(x)} spełniają wszystkie założenia podanego twierdzenia, tj.
- czy obie funkcje są różniczkowalne w sąsiedztwie punktu \displaystyle a ,
- czy istnieje granica ilorazu pochodnych \displaystyle \frac{f'(x)}{g'(x)} w punkcie \displaystyle a ,
- czy obie funkcje \displaystyle f oraz \displaystyle g zmierzają do zera w punkcie \displaystyle a .
Jeśli którekolwiek z tych założeń nie jest spełnione, nie należy stosować reguły de l'Hospitala, gdyż nie ma żadnej gwarancji, czy granica ilorazu pochodnych ma jakikolwiek związek z istnieniem i wartością granicy ilorazu funkcji. Pamiętajmy także, że zapis (którego w ramach wykładu będziemy unikać, a który jest powszechny w większości zbiorów zadań i w podręcznikach)
\displaystyle \lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}
należy rozumieć w ten sposób, że uprzednio sprawdzono, iż spełnione są założenia reguły de l'Hospitala i - wobec tego - wnioskujemy o istnieniu granicy ilorazu funkcji i o równości tej granicy z granicą ilorazu pochodnych.
W wersji podanej powyżej reguła de l'Hospitala stanowi narzędzie do badania istnienia granic ilorazu \displaystyle \frac{f}{g} w przypadku nieoznaczoności typu \displaystyle \frac{0}{0} . Prawdziwe jest również następujące twierdzenie
Twierdzenie 11.3.
Niech \displaystyle f,g: (a,b) \mapsto \mathbb{R} będą funkcjami różniczkowalnymi w przedziale \displaystyle (a,b) , przy czym \displaystyle -\infty\leq a < b\leq \infty . Załóżmy, że istnieje granica ilorazu pochodnych \displaystyle \lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)} i jest równa \displaystyle c\in \overline{\mathbb{R}} . Jeśli istnieją granice funkcji
\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)=\infty \text{ oraz }\lim_{x\to a }g(x)=\infty,
to istnieje granica ilorazu funkcji w punkcie \displaystyle a i jest równa granicy ilorazu pochodnych w tym punkcie, tj.
\displaystyle \lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=c.
Dowód tego twierdzenia pomijamy. Zwróćmy jednak uwagę, że mając narzędzie do badania istnienia granicy ilorazu funkcji \displaystyle \frac{f}{g} w przypadku nieoznaczoności typu \displaystyle \frac{0}{0} , możemy go także użyć w przypadku nieoznaczoności typu \displaystyle \frac{\infty}{\infty} . Wystarczy bowiem iloraz \displaystyle \frac{f}{g} zastąpić odwrotnością ilorazu odwrotności funkcji \displaystyle f , \displaystyle g , tj.
\displaystyle \frac{f}{g}=\frac{\frac{1}{g}}{\frac{1}{f}},
gdyż iloraz \displaystyle\frac{\frac{1}{g}}{\frac{1}{f}} jest symbolem typu \displaystyle \frac{0}{0} , gdy \displaystyle \frac{f}{g} jest symbolem nieoznaczonym typu \displaystyle \frac{\infty}{\infty} .
Przykład 11.4.
Dla dowolnej liczby naturalnej \displaystyle n istnieje granica
\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{x^n}{\exp x}=0.
Niech \displaystyle n=1 . Iloraz \displaystyle \frac{x}{\exp x} spełnia założenia reguły de l'Hospitala, gdyż obie funkcje są różniczkowalne w \displaystyle \mathbb{R} , iloraz \displaystyle \frac{x}{\exp x} stanowi symbol nieoznaczony \displaystyle \frac{\infty}{\infty} przy \displaystyle x\to\infty i istnieje granica ilorazu pochodnych
\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{(x)'}{(\exp x)'}=\lim_{x\to\infty}\frac{1}{\exp x}=0.
Stąd istnieje
\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{x}{\exp x}=0.
Zauważmy, że dla dowolnej liczby naturalnej \displaystyle k\geq 1 prawdziwa jest implikacja
\displaystyle \bigg[\exists\lim_{x\to\infty}\frac{x^k}{\exp x}=0\bigg]\Longrightarrow \bigg[\exists\lim_{x\to\infty}\frac{x^{k+1}}{\exp x}=0\bigg].
Skoro istnieje \displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{x^k}{\exp x}=0 , to istnieje granica ilorazu pochodnych funkcji \displaystyle x\mapsto x^{k+1} i \displaystyle x\mapsto \exp x , gdyż
\displaystyle \frac{(x^{k+1})'}{(\exp x)'}=(k+1)\frac{x^k}{\exp x}\to 0, gdy x\to\infty.
Z reguły de l'Hospitala wynika więc, że istnieje \displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{x^{k+1}}{\exp x}=0. Na mocy zasady indukcji matematycznej granica \displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{x^n}{\exp x}=0 istnieje dla dowolnej liczby naturalnej \displaystyle n .
Wniosek 11.5.
Jeśli \displaystyle w jest dowolnym wielomianem, to \displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{w(x)}{\exp x}=0 . Innymi słowy: funkcja wykładnicza \displaystyle \exp zmierza do nieskończoności szybciej niż jakikolwiek wielomian.
Dowód 11.5.
Każdy wielomian jest sumą skończonej liczby jednomianów \displaystyle w(x)=a_0+a_1 x+\dots+a_n x^n . Skoro iloraz dowolnego jednomianu i funkcji wykładniczej zmierza do zera, to na podstawie twierdzenia o granicy sumy wnioskujemy, że suma ilorazów
\displaystyle a_0 \frac{1}{\exp x}+a_1\frac{ x}{\exp x}+\dots +a_n \frac{x^n}{\exp x}
także zmierza do zera, gdy \displaystyle x\to \infty .
Wniosek 11.6.
Dla dowolnej liczby rzeczywistej \displaystyle a istnieje \displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{x^a}{\exp x}=0 .
Dowód 11.6.
Dla dowolnej liczby \displaystyle a\in \mathbb{R} potrafimy znaleźć liczbę naturalną \displaystyle n większą od \displaystyle |a| . Wówczas dla \displaystyle x>1 mamy
\displaystyle 0\leq \frac{x^a}{\exp x} \leq \frac{x^n}{\exp x}.
Skoro \displaystyle \frac{x^n}{\exp x}\to 0 , gdy \displaystyle x\to\infty , to na podstawie twierdzenia o trzech ciągach istnieje \displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{x^a}{\exp x}=0 .
W poprzednim module rozważaliśmy funkcję
\displaystyle f(t)=\left\{ \begin{align*} & \exp(-t^{-1}), & \text{ dla } t>0 \\ & 0, & \text{ dla } t\leq 0 \end{align*} .\right.
i pozostawiliśmy bez dowodu stwierdzenie, że
Uwaga 11.7.
Funkcja \displaystyle f ma w punkcie \displaystyle t=0 pochodne dowolnie wysokiego rzędu równe zeru.
Dowód 11.7.
Dla \displaystyle h < 0 iloraz różnicowy \displaystyle \frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\frac{0-0}{h}=0 . Z kolei dla \displaystyle h>0 mamy
\displaystyle \frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\frac{\exp(-h^{-1})-0}{h}=\frac{h^{-1}}{\exp(h^{-1})}=\frac{x}{\exp x} ,gdzie x=h^{-1} .
Zauważmy, że \displaystyle x\to\infty , gdy \displaystyle h\to 0^{+} . Ponieważ istnieje granica \displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{x}{\exp x}=0 , więc istnieje również granica \displaystyle\lim_{h\to 0+}\frac{h^{-1}}{\exp(h^{-1})}=0. Stąd istnieje \displaystyle f'(0)=0 . Dla \displaystyle x\neq 0 wyznaczamy pochodną, korzystając z twierdzenia o pochodnej złożenia funkcji i dostajemy (po uwzględnieniu istnienia pochodnej w zerze)
\displaystyle f'(t)=\{ \begin{align*} & t^{-2}\exp(-t^{-1}), & \text{ dla } t>0 \\ & 0, & \text{ dla } t\leq 0 \end{align*} .
Rozważmy następnie iloraz różnicowy \displaystyle \frac{f'(0+h)-f'(0)}{h} . Dla \displaystyle h < 0 mamy \displaystyle \frac{f'(0+h)-f'(0)}{h}=\frac{0-0}{h}=0 , natomiast gdy \displaystyle h>0 zachodzi równość
\displaystyle \frac{f'(0+h)-f'(0)}{h}=\frac{h^{-2}\exp(-h^{-1})-0}{h}=\frac{h^{-3}}{\exp(h^{-1})}=\frac{x^3}{\exp x} gdzie x=h^{-1}.
Podobnie jak poprzednio, ponieważ istnieje granica \displaystyle \lim_{x \to\infty}\frac{x^3}{\exp x}=0 , więc istnieje również granica
\displaystyle\lim_{h\to 0+}\frac{h^{-3}}{\exp(h^{-1})}=0.
Stąd istnieje \displaystyle f''(0)=0 . Wobec tego, że dla \displaystyle t < 0 mamy \displaystyle f''(t)=0 , a dla dodatnich \displaystyle t>0 - na mocy twierdzeń o pochodnej iloczynu oraz złożenia funkcji - zachodzi równość
\displaystyle \begin{align*} f''(t) & = \big(t^{-2}\exp(-t^{-1})\big)' \\ & =(t^{-2})'\exp(-t^{-1})+t^{-2}\big(\exp(-t^{-1})\big)' \\ & = -2t^{-3}\exp(-t^{-1})+t^{-2}(t^{-2})\exp(-t^{-1}) \\ & =(-2t^{-3}+t^{-4})\exp(-t^{-1}).\end{align*}
Wobec tego druga pochodna \displaystyle f'' istnieje w każdym punkcie \displaystyle t i wyraża się wzorem
\displaystyle f''(t)=\left\{ \begin{align*} & (t^{-4}-2t^{-3})\exp(-t^{-1}), & \text{ dla }& t>0 \\ & 0, & \text{ dla }& t\leq 0. \end{align*} \right.
Kontynuując rozumowanie spostrzegamy, że dla dowolnej liczby naturalnej \displaystyle k pochodna rzędu \displaystyle k funkcji \displaystyle f wyraża się wzorem
\displaystyle f^{(k)}(t)=\left\{ \begin{align*} & v(t^{-1})\exp(-t^{-1}), & \text{ dla } t>0 \\ & 0, & \text{ dla } t\leq 0, \end{align*} \right.
gdzie \displaystyle x\mapsto v(x) jest pewnym wielomianem zmiennej \displaystyle x (podstawiamy \displaystyle x=t^{-1} ). Wobec tego iloraz różnicowy w zerze pochodnej rzędu \displaystyle k funkcji \displaystyle f jest postaci
\displaystyle \frac{f^{(k)}(0+h)-f^{(k)}(0)}{h}=\left\{\begin{align*} & 0, & \text{ dla } h < 0, \\ & \frac{w(t^{-1})}{\exp (t^{-1})}, & \text{ dla } h>0,\end{align*} \right.
gdzie \displaystyle w: x\mapsto w(x) jest także pewnym wielomianem. Po podstawieniu za \displaystyle t^{-1}=x , wobec istnienia
granicy \displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{w(x)}{\exp x}=0 wnioskujemy o istnieniu granicy \displaystyle\lim_{t\to 0+}\frac{w(t^{-1})}{\exp (t^{-1})}=0 . W oczywisty sposób istnieje także granica ilorazu różnicowego przy \displaystyle h\to 0^{-} , więc istnieje \displaystyle f^{(k+1)}(0)=0 . Na mocy zasady indukcji matematycznej istnieje więc \displaystyle f^{(n)}(0)=0 dla dowolnej liczby naturalnej \displaystyle n .
Porównajmy zachowanie w sąsiedztwie zera oraz nieskończoności funkcji logarytmicznej i funkcji \displaystyle x\mapsto x^a , gdy \displaystyle a>0 . Wykażemy, że
Uwaga 11.8.
Dla dowolnej liczby rzeczywistej \displaystyle a>0 istnieją granice
\displaystyle \lim_{x\to 0+} x^a \ln x=0 \ \text{ oraz } \lim_{x\to \infty} \frac{ \ln x}{x^a}=0.
Dowód 11.8.
Obie funkcje \displaystyle x\mapsto \ln x oraz \displaystyle x\mapsto x^{-a} są różniczkowalne w prawostronnym sąsiedztwie zera i istnieją granice \displaystyle\lim_{x\to 0+} \ln x=-\infty oraz \displaystyle\lim_{x\to 0+} x^{-a}=\infty . Ponadto iloraz pochodnych tych funkcji
\displaystyle \frac{(\ln x)'}{(x^{-a})'}=\frac{x^{-1}}{-ax^{-a-1}}=-a^{-1}x^{a}
zmierza do zera, gdy \displaystyle x\to 0+ dla dowolnej liczby \displaystyle a>0 . Stąd na mocy reguły de l'Hospitala istnieje
\displaystyle \lim_{x\to 0+} x^a \ln x=0.
Z kolei przy \displaystyle x\to\infty mamy \displaystyle \ln x\to \infty , \displaystyle x^a\to\infty dla \displaystyle a>0 . Iloraz pochodnych tych funkcji
\displaystyle \frac{(\ln x)'}{(x^a)'}=\frac{x^{-1}}{ax^{a-1}}=\frac{1}{ax^a}
zmierza do zera przy \displaystyle x\to \infty dla dowolnej liczby \displaystyle a>0 . Stąd na mocy reguły de l'Hospitala istnieje także
\displaystyle \lim_{x\to \infty} \frac{\ln x}{x^a}=0.
Uwagę można podsumować krótko stwierdzeniem, że funkcja logarytmiczna zmierza do nieskończoności wolniej niż jakakolwiek potęga zmiennej \displaystyle x o dodatnim wykładniku. W sąsiedztwie zera z kolei funkcja logarytmiczna zmierza tak wolno do minus nieskończoności, że pomnożenie jej przez jakąkolwiek potęgę zmiennej \displaystyle x o dodatnim wykładniku stanowi wyrażenie zbieżne do zera.
Reguła de l'Hospitala pozwala łatwo wykazać istnienie szeregu ważnych granic.
Twierdzenie 11.9.
Istnieją granice
a) \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1 ,
b) \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2} ,
c) \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\ln (1+x)}{x}=1 ,
d) \displaystyle \lim_{x\to\infty}\big(1+\frac{a}{x}\big)^x=\exp a , dla dowolnej liczby \displaystyle a\in\mathbb{R} .
Dowód 11.9.
a) Funkcje \displaystyle f(x)=\sin x i \displaystyle g(x)=x są różniczkowalne, zmierzają do zera, gdy argument \displaystyle x zmierza do zera i istnieje granica ilorazu ich pochodnych \displaystyle\frac{(\sin x)'}{(x)'}=\frac{\cos x}{1}\to 1 , gdy \displaystyle x\to 0 . Stąd na mocy reguły de l'Hospitala istnieje \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1 .
b) Funkcje \displaystyle f(x)=1- \cos x i \displaystyle g(x)=x^2 są różniczkowalne, zmierzają do zera, gdy argument \displaystyle x zmierza do zera i istnieje granica ilorazu ich pochodnych \displaystyle\frac{(1-\cos x)'}{(x^2)'}=\frac{\sin x}{2x}=\frac{1}{2}\frac{\sin x}{x}\to \frac{1}{2} na mocy punktu a). Stąd istnieje także \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2} .
c) Podobnie jak w obu poprzednich punktach \displaystyle f(x)=\ln (1+x) i \displaystyle g(x)=x są różniczkowalne, zmierzają do zera, gdy argument \displaystyle x zmierza do zera i istnieje granica ilorazu ich pochodnych \displaystyle\frac{(\ln (1+x))'}{(x)'}=\frac{1}{x+1}\to 1 , gdy \displaystyle x\to 0 . Stąd istnieje \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\ln (1+x)}{x}=1 .
d) Wyrażenie \displaystyle \big(1+\frac{a}{x}\big)^x stanowi przy \displaystyle x\to \infty symbol nieoznaczony typu \displaystyle 1^\infty . Przekształćmy je
\displaystyle \big(1+\frac{a}{x}\big)^x=\exp\bigg(x\ln\big(1+\frac{a}{x}\big)\bigg).
Zauważmy, że wykładnik
\displaystyle x\ln\big(1+\frac{a}{x}\big)=a\cdot \frac{\ln\big(1+\frac{a}{x}\big)}{\frac{a}{x}}\to a\cdot 1, \text{ gdy } x\to \infty,
gdyż na mocy poprzedniego punktu iloraz \displaystyle \frac{\ln(1+t)}{t} zmierza do jedynki, gdy \displaystyle t=\frac{a}{x} zmierza do zera. Stąd wobec ciągłości funkcji wykładniczej istnieje granica
\displaystyle \lim_{x\to \infty}\exp\bigg(x\ln\big(1+\frac{a}{x}\big)\bigg)=\exp a.
Zwróćmy uwagę, że z faktu istnienia granicy ciągu \displaystyle a_n = (1+\frac{1}{n})^n , nie można wyciągnąć bezpośrednio wniosku o istnieniu granicy funkcji \displaystyle f(x)=\big(1+\frac{a}{x}\big)^x przy \displaystyle x\to \infty , stąd dowód punktu d) uwagi jest konieczny, aby stwierdzić, że granica ta istnieje.