Niech \( \displaystyle a\in \bar{\mathbb{R}} \). Zauważmy, że istnienie skończonej granicy ilorazu \( \displaystyle \lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=C \) oznacza, że w pewnym sąsiedztwie punktu \( \displaystyle a \) funkcje \( \displaystyle f \) oraz \( \displaystyle C g \) są w przybliżeniu równe, gdyż zgodnie z definicją granicy funkcji w punkcie \( \displaystyle a\in \mathbb{R} \) dla dowolnej liczby \( \displaystyle \epsilon>0 \) istnieje
\( \displaystyle \delta >0 \) taka, że
\( \displaystyle \big|\frac{f(x)}{g(x)}-C\big| < \epsilon, \) o ile \( x\in (a-\delta, a+\delta), \)
co jest równoważne nierówności
\( \displaystyle C-\epsilon < \frac{f(x)}{g(x)} < C+\epsilon, \)
czy też
\( \displaystyle (C-\epsilon)g(x) < f(x) < (C+\epsilon)g(x) \)
w pobliżu punktu \( \displaystyle a \). Podobnie, gdy \( \displaystyle a=\infty \), istnienie skończonej granicy \( \displaystyle \lim_{x\to \infty}\frac{f(x)}{g(x)}=C \) oznacza, że dla dużych wartości argumentu \( \displaystyle x \) obie funkcje \( \displaystyle f \) oraz \( \displaystyle C g \) są w przybliżeniu równe w tym sensie, że dla \( \displaystyle \epsilon>0 \) potrafimy wskazać taką liczbę \( \displaystyle M \), że na prawo od niej, tj. w przedziale \( \displaystyle (M, +\infty) \) iloraz \( \displaystyle \frac{f(x)}{g(x)} \) różni się od stałej \( \displaystyle C \) o nie więcej niż \( \displaystyle \epsilon \). Innymi słowy dla \( \displaystyle x>M \) mamy nierówność \( \displaystyle (C-\epsilon)g(x) < f(x) < (C+\epsilon)g(x) \).
Niech \( \displaystyle f, g \) będą funkcjami określonymi w prawo- lub lewostronnym sąsiedztwie punktu \( \displaystyle a \) (tj. w przedziale postaci \( \displaystyle (a, a+h) \) lub \( \displaystyle (a-h, a) \), dla pewnego \( \displaystyle h>0 \), gdy \( \displaystyle a \) jest liczbą skończoną, bądź też w przedziale postaci \( \displaystyle (M, \infty) \), \( \displaystyle (-\infty, M) \), gdy \( \displaystyle a=\infty \) lub \( \displaystyle a=-\infty \)).
Definicja 11.10.
Mówimy, że funkcja \( \displaystyle f \) jest rzędu \( \displaystyle o(g(x)) \) w punkcie \( \displaystyle a \), jeśli istnieje granica (prawo- lub lewostronna) ilorazu \( \displaystyle \frac{f(x)}{g(x)} \) w punkcie \( \displaystyle a \) i jest równa zeru.
Jeśli iloraz \( \displaystyle \big|\frac{f(x)}{g(x)}\big| \) jest ograniczony w pewnym prawo- lub lewostronnym sąsiedztwie punktu \( \displaystyle a \), to mówimy, że funkcja \( \displaystyle f \) jest rzędu \( \displaystyle O(g(x)) \) w punkcie \( \displaystyle a \).
Symbole \( \displaystyle o(g(x)) \) oraz \( \displaystyle O(g(x)) \) nazywamy symbolami Landaua. Czytamy je o małe oraz O duże od \( \displaystyle g(x) \).
Zauważmy, że jeśli \( \displaystyle f(x)=o(g(x)) \) w punkcie \( \displaystyle a \), to \( \displaystyle f(x)=O(g(x)) \) w tym punkcie, ale nie na odwrót.
Uwaga 11.11.
Z twierdzenia o granicy sumy i granicy ilorazu dwóch funkcji wynikają natychmiast wzory stanowiące arytmetykę symboli \( \displaystyle o \) małe i \( \displaystyle O \) duże.
\( \displaystyle \begin{align*} & o+o=o \ \ & \ & o\cdot o=o \\ & o+O=O \ \ & \ & o\cdot O=o \\ & O+O=O \ \ & \ & O\cdot O=O.\end{align*} \)
Często spotyka się symbole \( \displaystyle o \) małe i \( \displaystyle O \) duże w następujących przypadkach:
\( \displaystyle f(x)=g(x)+o(x^n), \ x\to a, \)
co oznacza, że iloraz \( \displaystyle \frac{f(x)-g(x)}{x^n} \) zmierza do zera przy \( \displaystyle x\to a \)
lub
\( \displaystyle f(x)=g(x)+O(x^n), \ x\to a, \)
gdy iloraz \( \displaystyle \big|\frac{f(x)-g(x)}{x^n}\big| \) jest ograniczony przy \( \displaystyle x\to a \).
W szczególności zapis
\( \displaystyle f(x)=g(x)+o(1) \)
oznacza po prostu, że
\( \displaystyle \lim_{x\to a}\big(f(x)-g(x)\big)=0, \)
zaś
\( \displaystyle f(x)=g(x)+O(1) \)
piszemy, gdy różnica
\( \displaystyle |f(x)-g(x)| \)
jest ograniczona przy \( \displaystyle x\to a \).
Definicja 11.12.
Jeśli istnieją stałe \( \displaystyle a, b \) takie, że \( \displaystyle f(x)=ax+b+o(1) \), przy \( \displaystyle x\to\infty \) (lub \( \displaystyle x\to-\infty \)), to prostą o równaniu \( \displaystyle y=ax+b \) nazywamy asymptotą ukośną funkcji \( \displaystyle f \) przy \( \displaystyle x \) zmierzających do \( \displaystyle \infty \) (lub \( \displaystyle -\infty \)). W szczególnym przypadku, gdy \( \displaystyle a=0 \) mówimy, że funkcja \( \displaystyle f \) ma asymptotę poziomą o równaniu \( \displaystyle y=b \).
Przypomnijmy także, że jeśli w pewnym punkcie \( \displaystyle a\in \mathbb{R} \) istnieje granica nieskończona \( \displaystyle \lim_{x\to a+}f(x) \) (lub \( \displaystyle \lim_{x\to a-}f(x) \)), to mówimy, że funkcja \( \displaystyle f \) ma w punkcie \( \displaystyle a \) asymptotę pionową prawostronną (odpowiednio: asymptotę pionową lewostronną) \( \displaystyle x=a \). Jeśli prosta \( \displaystyle x=a \) jest zarówno prawo- i lewostronną asymptotą pionową funkcji \( \displaystyle f \) (czyli obie granice jednostronne \( \displaystyle \lim_{x\to a+}f(x) \) oraz \( \displaystyle \lim_{x\to a-}f(x) \) istnieją i są nieskończone), to mówimy krótko, że funkcja \( \displaystyle f \) ma asymptotę pionową \( \displaystyle x=a \).
Uwaga 11.13.
Jeśli funkcja \( \displaystyle f \) ma asymptotę ukośną \( \displaystyle y=ax+b \) w nieskończoności (odpowiednio: ma asymptotę ukośną \( \displaystyle y=\alpha x+\beta \) w minus nieskończoności), to
\( \displaystyle a=\lim_{x\to \infty} \frac{f(x)}{x} \text{ oraz } b=\lim_{x\to\infty} (f(x)-ax) \)
i odpowiednio:
\( \displaystyle \alpha =\lim_{x\to -\infty} \frac{f(x)}{x} \text{ oraz }\beta=\lim_{x\to -\infty} (f(x)-\alpha x) \)
Dowód 11.13.
Jeśli \( \displaystyle f(x)=ax+b+o(1) \), to \( \displaystyle \frac{f(x)}{x}-a-\frac{b}{x}\to 0 \), gdy \( \displaystyle x\to\infty \). Stąd \( \displaystyle \frac{f(x)}{x}\to a \).
Skoro \( \displaystyle f(x)-ax=b+o(1) \), to \( \displaystyle f(x)-ax\to b \), przy \( \displaystyle x\to \infty \). W przypadku asymptoty ukośnej w minus nieskończoności rozumowanie jest identyczne.
Przykład 11.14.
a) Funkcja \( \displaystyle f(x)=\exp x \) ma asymptotę poziomą \( \displaystyle y=0 \) przy \( \displaystyle x\to-\infty \), czyli \( \displaystyle \exp x=0+o(1) \), gdy \( \displaystyle x\to -\infty \). Nie ma asymptoty przy \( \displaystyle x\to \infty \).
b) Funkcja \( \displaystyle f(x)=\mathrm{arctg}\, x \) ma przy \( \displaystyle x\to-\infty \) asymptotę poziomą \( \displaystyle y=-\frac{\pi}{2} \), a przy \( \displaystyle x\to \infty \) asymptotę poziomą \( \displaystyle y=\frac{\pi}{2} \). Możemy to też zapisać w postaci \( \displaystyle \mathrm{arctg}\, x=\frac{\pi}{2}+o(1) \) przy \( \displaystyle x\to\infty \) oraz \( \displaystyle \mathrm{arctg}\, x=-\frac{\pi}{2}+o(1) \) przy \( \displaystyle x\to-\infty \).
c) Funkcja \( \displaystyle f(x)=\sqrt{4x^2-1} \) ma przy \( \displaystyle x\to\infty \) asymptotę ukośną \( \displaystyle y=2x \), a przy \( \displaystyle x\to-\infty \) asymptotę ukośną \( \displaystyle y=-2x \), czyli \( \displaystyle \sqrt{4x^2-1}=2x+o(1) \) przy \( \displaystyle x\to\infty \) oraz \( \displaystyle \sqrt{4x^2-1}=-2x+o(1) \) przy \( \displaystyle x\to-\infty \).
d) Funkcja \( \displaystyle f(x)=\frac{\sin x}{x} \) ma przy \( \displaystyle x\to\infty \) oraz przy \( \displaystyle x\to-\infty \) asymptotę poziomą \( \displaystyle y=0 \), czyli \( \displaystyle \frac{\sin x}{x}=0+o(1) \) przy \( \displaystyle |x|\to \infty \).
e) Zauważmy także, że \( \displaystyle \sinh x=\frac{1}{2}\exp x+o(1) \) przy \( \displaystyle x\to\infty \) oraz \( \displaystyle \sinh x=-\frac{1}{2}\exp(- x)+o(1) \) przy \( \displaystyle x\to-\infty \).
f) Podobnie \( \displaystyle \cosh x=\frac{1}{2}\exp x+o(1) \) przy \( \displaystyle x\to\infty \) oraz \( \displaystyle \cosh x=\frac{1}{2}\exp(- x)+o(1) \) przy \( \displaystyle x\to-\infty \).
Z powyższych przykładów wynika, że
Uwaga 11.15.
Funkcja \( \displaystyle f \) może mieć mieć asymptotę ukośną (lub poziomą) w plus nieskończoności daną innym równaniem niż asymptota ukośna w minus nieskończoności. Może też na przykład mieć wyłącznie asymptotę w minus nieskończoności i nie mieć asymptoty w plus nieskończoności. Stąd istnieje konieczność wyznaczenia granicy ilorazu \( \displaystyle \frac{f(x)}{x} \) osobno przy \( \displaystyle x\to\infty \) i
\( \displaystyle x\to-\infty \).
Przykład 11.16.
Wykazaliśmy już, że \( \displaystyle \frac{\sin x}{x}=1+o(1) \), co można też zapisać \( \displaystyle \sin x=x+o(x) \), przy \( \displaystyle x\to 0 \). Można też wykazać, że
\( \displaystyle \begin{align*} \sin x & =1-\frac{x^3}{3!}+o(x^3) \\ & =1-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+o(x^5) \\ & =1-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+o(x^5) \\ & =1-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+o(x^7)\end{align*} \)
Ogólnie z twierdzenia Taylora (które wykazaliśmy w poprzednim module) wynika, że
Uwaga 11.17.
Jeśli \( \displaystyle f \) jest funkcją \( \displaystyle (n+1) \) razy różniczkowalną w otoczeniu punktu \( \displaystyle a \), to
\( \displaystyle \begin{align*} f(a+h) & =\sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(a)}{k!}h^k+o(h^n) \\ & =\sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(a)}{k!}h^k+O(h^{n+1}), \text{ przy } h\to 0. \end{align*} \)