Równość asymptotyczna

Niech $\displaystyle a\in \bar{\mathbb{R}}$. Zauważmy, że istnienie skończonej granicy ilorazu $\displaystyle \lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=C$ oznacza, że w pewnym sąsiedztwie punktu $\displaystyle a$ funkcje $\displaystyle f$ oraz $\displaystyle C g$ są w przybliżeniu równe, gdyż zgodnie z definicją granicy funkcji w punkcie $\displaystyle a\in \mathbb{R}$ dla dowolnej liczby $\displaystyle \epsilon>0$ istnieje

$\displaystyle \delta >0$ taka, że

$\displaystyle \big|\frac{f(x)}{g(x)}-C\big| < \epsilon,$ o ile $x\in (a-\delta, a+\delta),$

co jest równoważne nierówności

$\displaystyle C-\epsilon < \frac{f(x)}{g(x)} < C+\epsilon,$

czy też

$\displaystyle (C-\epsilon)g(x) < f(x) < (C+\epsilon)g(x)$

w pobliżu punktu $\displaystyle a$. Podobnie, gdy $\displaystyle a=\infty$, istnienie skończonej granicy $\displaystyle \lim_{x\to \infty}\frac{f(x)}{g(x)}=C$ oznacza, że dla dużych wartości argumentu $\displaystyle x$ obie funkcje $\displaystyle f$ oraz $\displaystyle C g$ są w przybliżeniu równe w tym sensie, że dla $\displaystyle \epsilon>0$ potrafimy wskazać taką liczbę $\displaystyle M$, że na prawo od niej, tj. w przedziale $\displaystyle (M, +\infty)$ iloraz $\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}$ różni się od stałej $\displaystyle C$ o nie więcej niż $\displaystyle \epsilon$. Innymi słowy dla $\displaystyle x>M$ mamy nierówność $\displaystyle (C-\epsilon)g(x) < f(x) < (C+\epsilon)g(x)$.

Niech $\displaystyle f, g$ będą funkcjami określonymi w prawo- lub lewostronnym sąsiedztwie punktu $\displaystyle a$ (tj. w przedziale postaci $\displaystyle (a, a+h)$ lub $\displaystyle (a-h, a)$, dla pewnego $\displaystyle h>0$, gdy $\displaystyle a$ jest liczbą skończoną, bądź też w przedziale postaci $\displaystyle (M, \infty)$, $\displaystyle (-\infty, M)$, gdy $\displaystyle a=\infty$ lub $\displaystyle a=-\infty$).

Definicja 11.10.

Mówimy, że funkcja $\displaystyle f$ jest rzędu $\displaystyle o(g(x))$ w punkcie $\displaystyle a$, jeśli istnieje granica (prawo- lub lewostronna) ilorazu $\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}$ w punkcie $\displaystyle a$ i jest równa zeru.

Jeśli iloraz $\displaystyle \big|\frac{f(x)}{g(x)}\big|$ jest ograniczony w pewnym prawo- lub lewostronnym sąsiedztwie punktu $\displaystyle a$, to mówimy, że funkcja $\displaystyle f$ jest rzędu $\displaystyle O(g(x))$ w punkcie $\displaystyle a$.

Symbole $\displaystyle o(g(x))$ oraz $\displaystyle O(g(x))$ nazywamy symbolami Landaua. Czytamy je o małe oraz O duże od $\displaystyle g(x)$.

Zauważmy, że jeśli $\displaystyle f(x)=o(g(x))$ w punkcie $\displaystyle a$, to $\displaystyle f(x)=O(g(x))$ w tym punkcie, ale nie na odwrót.

Uwaga 11.11.

Z twierdzenia o granicy sumy i granicy ilorazu dwóch funkcji wynikają natychmiast wzory stanowiące arytmetykę symboli $\displaystyle o$ małe i $\displaystyle O$ duże.

$\displaystyle \begin{align*} & o+o=o \ \ & \ & o\cdot o=o \\ & o+O=O \ \ & \ & o\cdot O=o \\ & O+O=O \ \ & \ & O\cdot O=O.\end{align*}$

Często spotyka się symbole $\displaystyle o$ małe i $\displaystyle O$ duże w następujących przypadkach:

$\displaystyle f(x)=g(x)+o(x^n), \ x\to a,$

co oznacza, że iloraz $\displaystyle \frac{f(x)-g(x)}{x^n}$ zmierza do zera przy $\displaystyle x\to a$

lub

$\displaystyle f(x)=g(x)+O(x^n), \ x\to a,$

gdy iloraz $\displaystyle \big|\frac{f(x)-g(x)}{x^n}\big|$ jest ograniczony przy $\displaystyle x\to a$.

W szczególności zapis

$\displaystyle f(x)=g(x)+o(1)$

oznacza po prostu, że

$\displaystyle \lim_{x\to a}\big(f(x)-g(x)\big)=0,$

zaś

$\displaystyle f(x)=g(x)+O(1)$

piszemy, gdy różnica

$\displaystyle |f(x)-g(x)|$

jest ograniczona przy $\displaystyle x\to a$.

Definicja 11.12.

Jeśli istnieją stałe $\displaystyle a, b$ takie, że $\displaystyle f(x)=ax+b+o(1)$, przy $\displaystyle x\to\infty$ (lub $\displaystyle x\to-\infty$), to prostą o równaniu $\displaystyle y=ax+b$ nazywamy asymptotą ukośną funkcji $\displaystyle f$ przy $\displaystyle x$ zmierzających do $\displaystyle \infty$ (lub $\displaystyle -\infty$). W szczególnym przypadku, gdy $\displaystyle a=0$ mówimy, że funkcja $\displaystyle f$ ma asymptotę poziomą o równaniu $\displaystyle y=b$.

Przypomnijmy także, że jeśli w pewnym punkcie $\displaystyle a\in \mathbb{R}$ istnieje granica nieskończona $\displaystyle \lim_{x\to a+}f(x)$ (lub $\displaystyle \lim_{x\to a-}f(x)$), to mówimy, że funkcja $\displaystyle f$ ma w punkcie $\displaystyle a$ asymptotę pionową prawostronną (odpowiednio: asymptotę pionową lewostronną) $\displaystyle x=a$. Jeśli prosta $\displaystyle x=a$ jest zarówno prawo- i lewostronną asymptotą pionową funkcji $\displaystyle f$ (czyli obie granice jednostronne $\displaystyle \lim_{x\to a+}f(x)$ oraz $\displaystyle \lim_{x\to a-}f(x)$ istnieją i są nieskończone), to mówimy krótko, że funkcja $\displaystyle f$ ma asymptotę pionową $\displaystyle x=a$.

Uwaga 11.13.

Jeśli funkcja $\displaystyle f$ ma asymptotę ukośną $\displaystyle y=ax+b$ w nieskończoności (odpowiednio: ma asymptotę ukośną $\displaystyle y=\alpha x+\beta$ w minus nieskończoności), to

$\displaystyle a=\lim_{x\to \infty} \frac{f(x)}{x} \text{ oraz } b=\lim_{x\to\infty} (f(x)-ax)$

i odpowiednio:

$\displaystyle \alpha =\lim_{x\to -\infty} \frac{f(x)}{x} \text{ oraz }\beta=\lim_{x\to -\infty} (f(x)-\alpha x)$

Dowód 11.13.

Jeśli $\displaystyle f(x)=ax+b+o(1)$, to $\displaystyle \frac{f(x)}{x}-a-\frac{b}{x}\to 0$, gdy $\displaystyle x\to\infty$. Stąd $\displaystyle \frac{f(x)}{x}\to a$.

Skoro $\displaystyle f(x)-ax=b+o(1)$, to $\displaystyle f(x)-ax\to b$, przy $\displaystyle x\to \infty$. W przypadku asymptoty ukośnej w minus nieskończoności rozumowanie jest identyczne.

wykresy

Przykład 11.14.

a) Funkcja $\displaystyle f(x)=\exp x$ ma asymptotę poziomą $\displaystyle y=0$ przy $\displaystyle x\to-\infty$, czyli $\displaystyle \exp x=0+o(1)$, gdy $\displaystyle x\to -\infty$. Nie ma asymptoty przy $\displaystyle x\to \infty$.

b) Funkcja $\displaystyle f(x)=\mathrm{arctg}\, x$ ma przy $\displaystyle x\to-\infty$ asymptotę poziomą $\displaystyle y=-\frac{\pi}{2}$, a przy $\displaystyle x\to \infty$ asymptotę poziomą $\displaystyle y=\frac{\pi}{2}$. Możemy to też zapisać w postaci $\displaystyle \mathrm{arctg}\, x=\frac{\pi}{2}+o(1)$ przy $\displaystyle x\to\infty$ oraz $\displaystyle \mathrm{arctg}\, x=-\frac{\pi}{2}+o(1)$ przy $\displaystyle x\to-\infty$.

c) Funkcja $\displaystyle f(x)=\sqrt{4x^2-1}$ ma przy $\displaystyle x\to\infty$ asymptotę ukośną $\displaystyle y=2x$, a przy $\displaystyle x\to-\infty$ asymptotę ukośną $\displaystyle y=-2x$, czyli $\displaystyle \sqrt{4x^2-1}=2x+o(1)$ przy $\displaystyle x\to\infty$ oraz $\displaystyle \sqrt{4x^2-1}=-2x+o(1)$ przy $\displaystyle x\to-\infty$.

wykresy

d) Funkcja $\displaystyle f(x)=\frac{\sin x}{x}$ ma przy $\displaystyle x\to\infty$ oraz przy $\displaystyle x\to-\infty$ asymptotę poziomą $\displaystyle y=0$, czyli $\displaystyle \frac{\sin x}{x}=0+o(1)$ przy $\displaystyle |x|\to \infty$.

e) Zauważmy także, że $\displaystyle \sinh x=\frac{1}{2}\exp x+o(1)$ przy $\displaystyle x\to\infty$ oraz $\displaystyle \sinh x=-\frac{1}{2}\exp(- x)+o(1)$ przy $\displaystyle x\to-\infty$.

wykresy

f) Podobnie $\displaystyle \cosh x=\frac{1}{2}\exp x+o(1)$ przy $\displaystyle x\to\infty$ oraz $\displaystyle \cosh x=\frac{1}{2}\exp(- x)+o(1)$ przy $\displaystyle x\to-\infty$.

Z powyższych przykładów wynika, że

Uwaga 11.15.

Funkcja $\displaystyle f$ może mieć mieć asymptotę ukośną (lub poziomą) w plus nieskończoności daną innym równaniem niż asymptota ukośna w minus nieskończoności. Może też na przykład mieć wyłącznie asymptotę w minus nieskończoności i nie mieć asymptoty w plus nieskończoności. Stąd istnieje konieczność wyznaczenia granicy ilorazu $\displaystyle \frac{f(x)}{x}$ osobno przy $\displaystyle x\to\infty$ i

$\displaystyle x\to-\infty$.

Przykład 11.16.

Wykazaliśmy już, że $\displaystyle \frac{\sin x}{x}=1+o(1)$, co można też zapisać $\displaystyle \sin x=x+o(x)$, przy $\displaystyle x\to 0$. Można też wykazać, że

$\displaystyle \begin{align*} \sin x & =1-\frac{x^3}{3!}+o(x^3) \\ & =1-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+o(x^5) \\ & =1-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+o(x^5) \\ & =1-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+o(x^7)\end{align*}$

Ogólnie z twierdzenia Taylora (które wykazaliśmy w poprzednim module) wynika, że

Uwaga 11.17.

Jeśli $\displaystyle f$ jest funkcją $\displaystyle (n+1)$ razy różniczkowalną w otoczeniu punktu $\displaystyle a$, to

$\displaystyle \begin{align*} f(a+h) & =\sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(a)}{k!}h^k+o(h^n) \\ & =\sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(a)}{k!}h^k+O(h^{n+1}), \text{ przy } h\to 0. \end{align*}$