PRZYKŁAD 1.14.
Już w szkole podstawowej dowiedzieliśmy się, że
\( \displaystyle 0,(3) \ =\ 0,33333\ldots \ =\ \frac{1}{3}. \)
Zwróćmy uwagę, że okresowe rozwinięcie dziesiętne \( \displaystyle 0,33333\ldots \) wyraża nieskończoną sumę składników
\( \begin{array}{lll} \displaystyle 0+\frac{3}{10^1}+\frac{3}{10^2}+\frac{3}{10^3}+\frac{3}{10^4}+\ldots & = & \displaystyle \frac{3}{10}\bigg(1+\frac{1}{10}+\frac{1}{10^2}+\frac{1}{10^3}+\ldots\bigg) \\ & = & \displaystyle \frac{3}{10} \cdot \frac{1}{1-\frac{1}{10}} =\frac{1}{3}. \end{array} \)
PRZYKŁAD 1.15.
Przypomnijmy jeszcze szkolny sposób zamiany ułamka okresowego na iloraz dwóch liczb całkowitych. Rozważmy na przykład liczbę
\( \displaystyle a \ =\ 78,(1016)=78,10161016101610161016\ldots , \) która wyraża sumę nieskończonej liczby składników
\( \displaystyle a \ =\ 78+\frac{1016}{10^4}+\frac{1016}{10^8}+\frac{1016}{10^{12}}+\ldots. \) Zauważmy też, że różnica
\( \begin{array}{lll} \displaystyle 10000a -a & = & 781016,1016101610161016\ldots -78,1016101610161016\ldots \\ & = & 780938,0000000000000000\ldots \end{array} \)
jest liczbą całkowitą. Stąd \( \displaystyle a=\frac{780938}{9999} \) jest liczbą wymierną.
Rozumując, podobnie jak w powyższym przykładzie, można wykazać ogólnie, że
Uwaga 1.16.
Liczba rzeczywista jest liczbą wymierną wtedy i tylko wtedy, gdy ma okresowe rozwinięcie dziesiętne.
PRZYKŁAD 1.17.
Liczba
\( \displaystyle 0,12345678910111213141516171819202122\ldots , \)
w której rozwinięciu dziesiętnym znajdują się kolejno cyfry wyrażające następujące po sobie liczby naturalne, nie jest wymierna, gdyż nie ma okresowego rozwinięcia dziesiętnego.