Liczby wymierne

PRZYKŁAD 1.14.

Już w szkole podstawowej dowiedzieliśmy się, że

$\displaystyle 0,(3) \ =\ 0,33333\ldots \ =\ \frac{1}{3}.$

Zwróćmy uwagę, że okresowe rozwinięcie dziesiętne $\displaystyle 0,33333\ldots$ wyraża nieskończoną sumę składników

$\begin{array}{lll} \displaystyle 0+\frac{3}{10^1}+\frac{3}{10^2}+\frac{3}{10^3}+\frac{3}{10^4}+\ldots & = & \displaystyle \frac{3}{10}\bigg(1+\frac{1}{10}+\frac{1}{10^2}+\frac{1}{10^3}+\ldots\bigg) \\ & = & \displaystyle \frac{3}{10} \cdot \frac{1}{1-\frac{1}{10}} =\frac{1}{3}. \end{array}$

PRZYKŁAD 1.15.

Przypomnijmy jeszcze szkolny sposób zamiany ułamka okresowego na iloraz dwóch liczb całkowitych. Rozważmy na przykład liczbę

$\displaystyle a \ =\ 78,(1016)=78,10161016101610161016\ldots ,$ która wyraża sumę nieskończonej liczby składników

$\displaystyle a \ =\ 78+\frac{1016}{10^4}+\frac{1016}{10^8}+\frac{1016}{10^{12}}+\ldots.$ Zauważmy też, że różnica

$\begin{array}{lll} \displaystyle 10000a -a & = & 781016,1016101610161016\ldots -78,1016101610161016\ldots \\ & = & 780938,0000000000000000\ldots \end{array}$

jest liczbą całkowitą. Stąd $\displaystyle a=\frac{780938}{9999}$ jest liczbą wymierną.

Rozumując, podobnie jak w powyższym przykładzie, można wykazać ogólnie, że

Uwaga 1.16.

Liczba rzeczywista jest liczbą wymierną wtedy i tylko wtedy, gdy ma okresowe rozwinięcie dziesiętne.

PRZYKŁAD 1.17.

Liczba

$\displaystyle 0,12345678910111213141516171819202122\ldots ,$

w której rozwinięciu dziesiętnym znajdują się kolejno cyfry wyrażające następujące po sobie liczby naturalne, nie jest wymierna, gdyż nie ma okresowego rozwinięcia dziesiętnego.