Informatyka MIMUW

Iloczyn kartezjański. Współrzędne biegunowe

Niech $\displaystyle A$ i $\displaystyle B$ będą dowolnymi niepustymi zbiorami.

DEFINICJA 1.18.

Iloczynem kartezjańskim $\displaystyle A\times B$ zbiorów $\displaystyle A$ i $\displaystyle B$ nazywamy zbiór par uporządkowanych $\displaystyle (a,b)$ takich, że $\displaystyle a\in A$ i $\displaystyle b\in B$, tj. $\displaystyle A\times B:=\{(a,b): a\in A,b\in B\}.$

Przypomnijmy, że dowolny punkt w prostokątnym kartezjańskim układzie współrzędnych można jednoznacznie przedstawić za pomocą pary liczb rzeczywistych $\displaystyle (x,y)$.

Niech $\displaystyle r=\sqrt{x^2 +y^2}$ będzie odległością punktu $\displaystyle (x,y)$ od początku układu współrzędnych. Jeśli $\displaystyle r>0$, niech $\displaystyle \varphi$ będzie kątem (skierowanym), jaki tworzą dodatnia półoś osi odciętych (tj.dodatnia półoś osi $\displaystyle OX$) z promieniem wodzącym punktu $\displaystyle (x,y)$. Równość $\displaystyle r=0$ jednoznacznie przedstawia początek układu współrzędnych, można przyjąć w tym przypadku, że $\displaystyle \varphi$ jest dowolną liczbą.

Zauważmy, że $\displaystyle x=r\cos\varphi$ oraz $\displaystyle y=r\sin\varphi$.

DEFINICJA 1.19.

Parę liczb $\displaystyle (r, \varphi)$, gdzie $\displaystyle r\geq 0$ oraz $\displaystyle 0\leq \varphi < 2\pi$, nazywamy współrzędnymi biegunowymi punktu $\displaystyle (x,y)=(r\cos\varphi, r\sin\varphi)$.

Uwaga 1.20.

Niech dane będą liczby rzeczywiste $\displaystyle x$ oraz $\displaystyle y$. Układ równań

$\left\{\begin{array}{l l} x=r\cos\varphi \\ y=r\sin\varphi\\ \end{array} \right.$

z niewiadomymi $\displaystyle r$, $\displaystyle \varphi$ spełnia dokładnie jeden promień $\displaystyle r=\sqrt{x^2 +y^2}$ oraz nieskończona liczba różnych kątów postaci $\displaystyle \varphi+2k\pi,$ gdzie $\displaystyle \varphi$ jest kątem między dodatnią półosią odciętych a promieniem wodzącym punktu $\displaystyle (x,y)$, zaś $\displaystyle k$ jest dowolną liczbą całkowitą.